книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

f3f

заменить усреднение по множеству в /13.18/, /13.19/

усреднением

по времени /введение

Atn(i)вместо

<fK(i)./. Таким

образом,

верхняя

грань функционала JT з исходной задаче

равна ХР(Р*)в

расширенной.

В,Условия оптимальности исходной задачи на множестве ограничен­

ных кусочно-непрерывных функций

Необходимое. Если

есть решение задачи /13.12/, то найдет­

ся

такое

значение

j/

/ ч т о выполняется условие

/13.10/.

В самом деле, так как

Su/o2=Muf2j))io в расширенной задаче

P^f/J-

SfyftJ-jS/Zjl то есть для каждого

/

множество

базовых

значений

^

состоит

из

одной

точки ^

*,в которой и

выполнено /13.10/.

Достаточное. Если условие /13.10/

выполнено при каждом

£

в

единственной

точке ^

£

Vy, то полученная функция £f*@J является

решением

изопериметрической задачи.

Действительно,

она доставляет

максимум

~Гр, который не меньше

оптимального

значения JT.Ввиду непрерывности

функции / ? n o j / и

"£

полученное решение кусочно-непрерывно

/докажите

это/ и при каждом

-£

принадлежит

Vy . Таким образомч

^/допустимо

для задачи

/13.1+13.2/,а значит оптимально.

Условия,полученные в

п . 1 3 . 1 , гарантировали

существование J

лишь

в случае

узкого множества L и ограниченного

класса

функций J?0 ,

J

, ^ ' . Как следует

из

вышесказанного, множитель

и/

существует

для гораздо

более

широкого класса

функций Jg

t

_/

, ^

и множества .

сравнения, совпадающего о & .

13.3 Примеры

у.

Пример I

Su^T^

S^J-fit-

Qsfa//

при условии

3 =

J i

t X Q / i f

\ ^

/

j

f A

/ >

/13.20/

Так

как /

£

Т,

то

У*Мг/.

1*=*

-0,28

Т

Пример 2

При тех ае

ограничениях

и уравнении

связи

найти

Sop

I

= /

( X

- 0 , 5 / W

фикция

£

=

( X - 0,5

) 2

< v / f /

Эта функция недапунде, и наксииум ее находится на границе

йноееотва

У£

, заданного неравенствами. (13.20). Так как оп-

гянальнов

решзняе

соотоит из участков, на которыхX(4)

РБВНО

I или

-

I ,

сравнив

значения

функция R,

ддя

х=1 и х=-1

(I (

+ I )

= 0,25

+

J{

Уоловие общности положения требует, чтобы

функция ^ * ^

не доставляла

максимум или кииицун

ни одному

на функционалов

при остальных

(яункциоаалах

у ^fZj

.. , $/^„, *ftat-. • равных нулю.

Пусть теперь связь задана

в форме

где окалярвый параметр

L , в отличие

от индекса

v , пробегает

яепрерывное

множество значений от

СС1

до

,

Ниже будет по­

казано, что связь (14.6) являетоя

очеиь викой, и > такой форме

можно записать самые разнообразные

у о лом я,

наложенные ив искомую

вектор-функции. Эту форму овя8Н будем называть кааоннчеокой.

мы попытаемоя в атом

параграфе

сформулировать

«обходимые и

достаточные

уолоаня оптимальности

для задачи

о максимум фу як т о ­

пала (14.3)

при уоловии

(14.6), близкие

по своей

структуре к усло­

говоря,

как уоловия

максимума обобщенного функционала Лаграин»

fS

аа допустимом

множестве

сравнения L

. Связи (14.6) будет

соответствовать свое

слагаемое в функционале

я его подннм-

гральиом выражении Р .

Важным моментом при этом будет

определение

в&шоямооти ывожеот-

ва

L

о* характера

функций

и £ .

Следующий этап - запись разнообразных овяаей в канонической

форме и получение одагаемых

Рс?

, соответствующих каждой нв них.

каждой связи соответствует свое слагаемое.

Это поввояяа», отдель­

но проанализировав различные типы связей,

Для каждой кошкрвтной

/36

14.2. Необходимые условия

оптимальности -

Конкретизируем

вид функций

^ и J в задаче ( 1 4 . 1 ) , ( I t . 6 ) , paii

Сив каждую из

них на две составляющие

где

SfotfjT)J

-

функция

Дирака.

Воктор-функдии ХМ

и и { о п р е д е л е н ы

на отрезке [ 0,Т j

;

при

каждом

/

вектор

&

принадлежит ограниченной

замкнутой

области \ и

пространства

1/

. Две названных составляющих

реше­

ния

отливаются

друг от друга

тем, что ^

входит

лишь

в регуляр

ныв

слагаемые

подинтегральных вырагений _/„•

и

У

, aJC

входит еще и в сингулярные слагаемые

этих функций

Ут

. Будем

называть

первой, а У. ('t'J второй группой

составляющих

решения.

Функционалы

_/

и У (''С) определены

на любом

элементе

множества

допустимых

решений,

причем

условия

(1^.6;

выполняются

тождественно для всех

Тб/TjуСгУ

• Требование

существования

эквивалентно,в частности,

требованию

непрерывности функции

У£

на множестве таких пар i

^ Т

) , для которых

б?^У, Т J-

О »

оно же накладывает ограничения

и на вид функции

6/(^У

)•

Наряду

с

исходной

задачей

будем

рассматривать ее расширение, '

отличающееся

тем, что функции

у?

и У

заменены выражениями

(14.Й)

/ f x , / / f x , u , f z j / Y v O c / v ,

в которых

flfs/J-

плотность

распределения, определенная н а \ £ ?

такая, что

помощью условия оптимальности для задачи

(14.1),(14.6). Это дока­

зательство проводится по той же схеме,

что и в предыдущем

параг­

рафе. Отличие состоит в том, что в рассматриваемой здесь

задаче

два

типа

переменных

Ы и

Ц.

, изменения

переменных

первой

груп­

пы

*У

при вычислении _ /

и

иУ сглаживаются,

что

нельзя

ска­

зать о изменениях

У

. Именно с этим связан

тот факт,

что рас -

• шшрение

задачи

( I f . I ) , ( 1 4 , 6 )

произведено

только

по

U

,

этим

же

объясняется различная роль

<V и

У

в приведенных ниже усло­

виях оптимальности. Грубо говоря, по ^

условия

оптимальности

аналогичны условиям оптимальности п.13.2

,

по -У

же эти

условия

аналогичны условиям

п . 1 3 . 1 .

Булем считать

функционал ^

м е р н ы

м

вектором и введем

функционал лагранжа

>Sp

для расширенной

задачи

Здесь,

как и выше, \е(4)^-0, 2->

/

, э ю Последнее усло-

вие и приводит к появлению _/?№J

в функционале «-V .

Необходимые условия оптимальности расширенной задачи:

пусть

XYdJj ^e'C^J

- решение

расширенной задачи,

нулю,

такие, что на оптимальном решении;

I /

подинтегральное

выражение @ р

функционала

стационар­

но по

У- ',

2/ достигает своей

верхней грани по

U G Vu

функция