книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

71

§ 3.

О задаче

нелинейного

программирования в

ораднем^:.

S . I .

В предыдущих параграфах мы предполагали, что переменные,

значенин

которых

найдены

в результате

решения оптимальной

задачи,

режимные

параметры (давление,

температура, концентрация)

некото­

рого технологического процесса в его установившемся состоянии.

Однако

применительно к этому

примеру возникает вопроо -

всегда ли

£

минимизации нет. Нужно лишь по характеристике насоса

найти

величину

£

,

соответствующую

значению О д .

Но представим

себе,

что

насосная

установка, помимо

собственно насоса,включает еще емкость

выключении насоса и его работе

в

режиме

о раоходом

О/

и энергозат­

ратами

E j .

Выбором соотношения

между

временем

работы и

временем

выключения

насоса

всегда

можно

добиться

средней

производительности

Q0 . Обозначим

через

~Y0

долго времени, которуя насос нахо

дится

в выключенном состоянии,

через ~о*!| - доао

времениt которую

он включен. Тогда

KQ(0)

+

ff,Q(£,J

.

Q0i

(8.1)

Из этих условий

можно определить V, и средний расход

энергии

На рисунке

8 Л

этот расход оказался меньше, чем

EQv

Таким образом,

установка емкости, позволившая перейти к задаче оптимизации в

среднем, оправдана. Выигрыш связан с формой расходной

характеристи­

ки

6?(Е) .

Если обобщить этот пример, то становится ясно, что одно из

назначений

~

складов

дать

возможность перейти

к режиму, в

ко­

тором

переменные

могут

периодически изменяться.

Так,

штучные

из­

делия

, продажа

которых

магазином приблизительно

постоянна,

вы­

количества изделий приблизительно

так

же, как

Е от

Q

на

р и с . 8 . 1 . Склад позволяет это сделать.

Заметим,

что

размеры

емкос­

ти (склада)

влияют лишь на частоту

переключений

и

никак

не

влия­

ют на

, а значит, во всяком случае теоретически,и

на

Е * .

Все дальнейшее изложение в этом параграфе представляет

собой

формализацию

и обобщение рассмотренного выше простого примера.

Тробуется

найти такую функцию Р(ч),

чтобы достигала СЕоеЙ

верхней грани

величина

% £

\ £

,

(8.*)

•Jp^)^*

/ >

P

f e ^

O

( 8 . 5 )

Функцию

F^) иэяно

трактовать

как плотность

распределения

вероят­

ности

вектора

^

на множестве

.

Такому

перехо­

ду

соответствует

Представление

о том, что переменные

^

на

каж­

дом сколь угодно малой интервале изменения параметра принимают

некоторое

множество

значений

внутри

Vy

,

причем вероятность

то­

го,

что

У

принимает значения,

лежащие

в

£,

-окрестности

,

равна

£

РС^у))

• Плотность

распределения

Р может

содержать и

Ъ

-составляющие

/ см. п.

14.3 / .

• Величина

I представляет

собой

значение

функции £ .

Множество допустимых значений ^ может опре­

деляться

связями

типа

J%ty= 0 или ограничениями

^(^)^-О.

Все

эти сгязи

и ограничения ыы будем далее называть жесткими, так как

они наложены на фактические, а не на средние значения функций.

Связи же (8.3) будем называть ослабленными.

Поставленная задала гораздо сложнее задачи нелинейного програм­

мирования

при

. У £

Vx " '

. •

(8.6)

задача оптимизации в среднем переходит в задачу

(8.6). Однако фор^

ма (8.7)

не единственная из тех, которые

отвечают условиям

ленную

задачу.

.

8.3.

Метод погружения

-

В задаче

8.2

лишь

ореднее

значение

функции

(у) равно

нулю,

для

произвольного же

^

такого, что

Р^/*)

J[

равна

неко­

торому

значению

.

Будем

предполагать, что решение

Р*(у)

задачи

8.2

существует

и ему соответствует максимум функционала I .

Множество вначений

J?

,

для которых функция

Р (у)

отлична о*

s ^ p A t e ?

(8-8)

при условиях

У

ных значений вектора С£

V£ таких, что множество допустимых

решений, определяемое условиями (8 . 9), не

пусто.

Доказательство:

предположим противное, "'• .

что функция

Р ( у

)^/7для некоторс

го допустимого значения

, при котором

Образуем

функцию

Pj (

)

такую,

что I )

Pj

(у)

=

0 воюду

в

Е-

окреотнооти у = £ \

2)

Pj

(ty)

= Р *

(

^

)

+ Р *

(

) ;

8)

для

всех

значений

у , не

принадлежащих

Е -

окреотнооти

^

и

<з^1?

» p

i

W

= Р *

( у ) .

Построенная

функция удовлетворяет

условиям (8.5).

Как

следует из

(8.II),величина

интеграла

(8.8)

для

Р *

(у)

и Pj

(у)

одинакова. Функционал

же

> I

(Р)

> • !

( Р * ) ,

что противоречит

предположению о максимуме

I

( Р

) .

В силу доказанной теоремы и того, что каждому значению

С € \ £

соответствует некоторое условно-оптимальное

решение

аадачи

8.3

^

,

задаче 8.2

можно

поставить в соответствие

задачу

8.Ца:

при

P(ij

ус

l8-I2»

/ < Л

/>{СJ

C/CL

~ ^ 7

(8.13)

Ус

1 5

*"

2 = 1 , 2 , . . . ' * /

JР(с

)

< ^

=

I J

Р(с)&6>

Ve

(8.14)

Размерность

вектора С здесь

равна

7Y11 .

В формулировку

задачи 8.3,а

непосредственно не входит вид

функ­

ций J. ,

J0

и множества

\/у

• Вся информация о конкрет­

ных особенностях

исходной задачи заключена в функции J-*Xc)

и множестве

Y£

, которые определяются еемейством задач нелиней­

ного программирования

,8.3.

Будем

называть скалярную функцию

от

переменных

(с) функцией

достижимости.

76

Верхняя грань функционала (8.12), а значит, и

функционала

(8.2)

равна ординате выпуклой оболочки CaJ^

(С) функции

достижимости

при С = 0. Выпуклой оболочкой

у

(С)

ыы называем

границу выпуклой

оболочки множества, лежащего под графиком J-*(c).

Эта

ордината

больше или меньше равна / * ( 0 )

( р и с . 8 . 3 ) . Если

CoJ*(0)-J*fOh

то Р(С)

= 2 (С),

и задача 8.2

имеет

то

же решение,

что и обычная

tit-

задача

нелинейного

программирования

8.3

при С = 0. Функции^

(С)

будем в этом случае называть нуль

-

выпуклой ( р и с . 8 . 3 , 6 ) . Если

Coj^b)>j/*(0}*

т о » с о г л а с н о

п..

2.3,

решение 8адачи 8.8,а

т

27

Л

СК£

= ^

(8.13а)

1= 1,2, ... , tr\ .

Максимизируемое выражение (8.12) примет вид

5ир

2!ft /

CC*J

(8.12а)

Таким образом,

задача оптимизации з среднем в постановке

8.3,а

сводится к щонечномерной задаче с числом переменных (ГП+1)^,

Требуется

найти

( Пг\+ I )

векторов С к размерности YY\ и

(п\+ I )

скаляров

^

.

Залишеи функцию Лаграяжа для полученной

задачи

78

8деоь

требуется определить

(ГП+I)

вектор

размерности

П

и

(ТП +1)

скаляр

tfK

• Так

что

общее число переменных

равно

( m + I ) . ( U + I ) . Так

как

r t > m . .

то

такая "одноступен­

чатая" процедура может оказаться не менее трудоемкой, чем по­

строение функции доотижимости

о последующим

решением

8адвчи

8.3а. Если

$^.>0,хотя бы для двух

значений К,

то реше.

как периодическую функцию, принимающую значение

£fK

в

течение

доли

от общего

периода

его иаменения. Такой

режим будем

называть

скользящим.

Условия оптимальности для

скользящего

режима

могут

быть

получены

совершено так

же, как

и условия

(8.18а)

Функция

Н представляет собой функцию Лагранжа, составленную

для задачи

нелинейного программирования 8,3 . В точках 3 £ , меж­

выполнения неравенства Со

*(Oj^> J-

а? следовательно,

а в задаче 8.Ца пдотнооть распределения

будет аавноеть не толь­

ко от

С, но

и от

2 . Причем наряду о

условиями (8.13} (8.14}

будет

иметь

место

неравенство

Задача

8.5л

Требуется найти уодовный макоимум функции от

аре дне го значе­

ния вектора

у ,

. -

-

^ -

(В.28)

при

(8.24)

Уножеотво

определено

ограничениями наиектор

Задача

8.5р.

Максимум среднего значения целевой функции при овя8й, нало-

аенной

на среднее значение

аргумента: