книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

Обобщенных функций изложена

в

2 5

и др.

J

. Здесь огра­

ничимся

лишь краткими

сведениями,

используемыми в

дальнейшем.

S

- функция- и ее

свойства

Функцию единичного

скачка

или функцию Хевисайда

(рис.14.1а)

'jj ex. •З' 5Г

4 '

( 1 4 Л 6 )

площадь

втой производной,

вычисленная

в пределах

от - =—=> до

£>-=>

, равна единице для

любого

. Предел

последовательности

щуюся к

К . (х), называют

%

-

функцией или функцией Лирака и

принимают

8а производную

К ( { )

в обобщенном омыоле. ^ ( t ) отлич­

на от нуля

при всех £ ^

О,

а

её площадь равна единице, поэтому

При этом

предполагается,

что при •jr=ct

функция

J-(-j;)

непрерыв­

на.

В точках

разрыва

функцию /

(-t) можно доопределить. Конечный ин­

тервал интегрирования

{р»"^} эквивалентен умножению в (14,17) не­

прерывной

функции

J. {{)

на характеристичеокую функцию интервала

Ц(4),

равную

единице

внутри

и нулю вне интервала .Произведение

это

для всех

4

G

( 0 , Т ) непрерывно,

и формула

(14.17),

следо­

вательно,

верна.

/«г

J

Производные

% -

фикции

Аналогично

S -фикции можно говорить и о ее производных или

о производных

второго, третьего и т . д . порядков единичного

скачка.

Так

как

<S -функция и определяющая

ее

последовательность

S^C-t)

четная, то последовательность первых производных

и

ее

предел

-

нечетные

функции. Л ля

дифференцируемой

функции

«=•0

ОСТ

Для

^ыкцин,

имеющей

в точке

Т

налом:

Наконец,для функции,

имеющей

при

гг

=• Т

разрыв

первого

рода;

Гит

to

- m - x j u

м

-ш]

Совершенно

аналогично

можно

рассмотреть

производные

8

-функ­

ции

порядка выше первого.

Порядок

сингулярности обобщенной

функции

Обобщенная

функция

-f

({)

может

быть

в

окрестности

произволь­

ного

значения

4

= t

представлена

в

виде

суммы

где

С

- постоянные;

1\.

-

единичная

функция;

Ъ

'-

I

-я

производная

% -

функции,

и

Л+

~ гладкие функции.

Первые два олагаемых представляют собой локально суммируемые

функции. Они ограничены по модулю,и лиоо

непрерывны при

= Т"

и имеют непрерывные производные до порядка

-б

,

либо

имеют

разрыв

первого

рода. И в

том я

в

другом

случае

эти составляющие

называют

/4£Г

Теорема 14.2

Для того, чтобы решение ^ki)

доставляло абсолвтный максимум

функционалу

( I 4 . I ) при условиях

(14.6), достаточно существования

•такой

функции

tyt1j

% что

1)

скалярное

произведение

J^J оущеотвует и интегрируемо в

прямоугольнике [ 0 , Т \

/ ^ г ] \

2)

функционал S

достигает

абсолютного максимума на множестве Vv

при У

=

У*

Доказательство.

Выражение

ния по Т

I

f

,

Требование

I ) теоремы

было

необходимо,

чтобы

иметь право

менять

порядок

интегрирования. На множестве^?

второе

олагаеное

в

(14.29)

равно

нулю и абсолвтный

максимум

S

равен

абсолютному

максимуму I . На множестве V^^O

абсолютный максимум

больше,

чем на

Z? » Поэтому, если удалось найти dfeftj такую,

что абсолютный

максимум го

достигается

на

</

€ О

, то решение по-

лучено, если же £f*

$ X)

» 1 0 соответствующее значение

*5>

даст верхнюю оценку

решения.

Здесь

уже не

требуется

выполнения условий гладкости

функций ^ ь

ничений

и на структуру

множества Vy

(оно может оостоять, на­

пример, из

изолированных

функций). Увы, мы не можем быть уверены,

что нужная

функция ^^,Т)

найдется. Да,и найти

ее в общем случае

гораздо

труднее, чем Л(ч~)

• Достаточные условия

оптимальности

(теорема

14.2)

служат саоооораэной леммой, .которая для конкретных :

классов

задач

помогает аайти

алгоритм реиения.

' i

Сделаем два замечания.

j

I .

Функционал

I может воооще не иметь абсолютного максимума на

\

множестве £ ) .

Но так как он ограничен сверху, то достигает своей

;

верхней

грани

на

последовательности

\ Ук

|

, предел

которой

J

не

обязательно

принадлежит

О

. и

этом

случае

достаточно

су-

\

ществования

функции

jff^jl:)

, удовлетворяющей требованиям тео- <

ремы и такой,

что

функционал

,S

достигает своего

абсолютного

<

макоимума или верхней грани на предельном элементе последователь-

\

вооти

.

'

,

2.

Для

функций с//

и

•(-

таких, что подинтегральное

выраже-

'

ние

функционала

^

в номеЁт

-i

эависит

только

от

,

уолоаие максимума

*S

эквивалентно

макоимуму

X?

по

У

для почти

всех

£ .

14.5. Оценка реиения иоходной задачи

Будем для простоты считать, что в исходной задаче имеются линь

условия типа

равенотв

(14.6). Разобьем все

составляющие решения

на

свободные

<-/с

и зависимые

УА

так,

что

задание

Ус

опреде­

ляет

9 4

ч**рез уравнения

(14.6). Это разбиение

может

не

совпадет:?

о разбиением

<-/

на

U

и

У

, Пусть

% <? Vyc

,

%

€

VVs

1

~~&Г'' такае

задана

некоторая

функция о

/

)

,

удовлетворяю

щая условию I ) предыдущей теоремы. Тогда справедлива теорема об

оценке

решения: значение

функционала I на

оптимальном

решении У ^ Д

подчиняется

неравенствам,

адесь

О

У

* в

ул

Ус

для

выбранной Фуннцли

a//(рС

.

Действительно, при

вначенке

функционала

£

не

аави-

оит

от

о / /

,

a

£*=T(y*J' Множества

ТУ С Vy

, по-

втому

I

'Если теперь

для

каждого У3 и

определять

максимум

процессе максимизации

&

зависимости

<ЛJ

,

полу-

;?нм вектор ^(<yj€t?>

Так

как о/

выбрано

не

оптимально,

\S

fy<)(<JjJXfy")'•

Э т 0

неравенство

только

усилится,

е с л и ,

[вместо

допустимого' значения

взять

в

каком-то

смысле

наи­

худшее,

которому

и соответствует

.

Неравенство

(14.2.1)

подсказывает

один

из

возможных

путей

вы-

бора

I//

(zfj't)

- этот

выбор должен быть таким, чтобы максимум

функции

/Q ^ по

С/с

не

зависел

от

^ / .

j

Практически

можно надеяться

на удовлетворительную оценку, если

для нескольких

заранее

выбранных

траекторий

^(-1)

значение максииу-

|Ма

R.

по

Sc

одинаково.

§ 15. Приведение различных

типов связей и ограничений

к каноничеокой

Форме.

15.2. Уоловия, наложенные при фиксированном

^

=. 7 / в .

В каноничеокой

форме может быть

записано

аналогично

( Б . 1 )

JJfttfjW-AMe

- 0

(15.3)

Здеоь . C

J -

любой

промежуток, включающий

в себя значение

-Г-^о'

Ив

(15.3) и

(15.2)

следует,

что

,(15.4) '

Связь

сингулярна по входящим в нее составляющим решения, но Rcg •

равно

нулю для всех T T V Z ^ *