книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

if

(7.14)

Rjfe^)

как оильяо в точке -X ,

*о_величина

показывает,

нарушены уравнения

связей.

Изменение и у/

стремятся

ввести точку поиска в допустимое мнряеотво.

Алгоритм

(7.12),

(7,10)

може? быть назван алгоритмом управ­

ления в децентрализованной

системе. Именно яакой

алгоритм мс-

пользоваяся гкономнотом, меняющим цены, и потребителем,

мак­

симизирующим на каждом шаге свою прибыль

X? .

Причем формула (7.IG) (правило действий экономиста)

никак

не 8азиоит от целевой функции потребителя

J-0 .

Пример;

Последние два ограничения определяют множество

V

Зададим

некоторое

tA0

= I

и,ооглаоно aarc ритму

(7.12),

(7.10)^ найдем

Х0

как точку

иаконмума

на V по

a tX5

каа иезависииыы переменный

Этот

аакоимум,

легко видеть, достигается в точке

(2.2).

Теперь,

вшбрав

а

0,1,

например, можно

оделать

шаг по

J

Ум

= I

+ 0,1

(23 -2) -

I -0,6 = 0,4

6f

и,подотавиэ

новое значение

ь//

в

/2 , искать наксииум

этой

функции

по

-V .

Вычисление максимума на V выражения

г i j х 2

+ 0, 4

-

0,4 х 2

вновь приводит

в точку

(2.2)

J2 » 0,4 - 0,6 « -0,2

и т . д . дс тех пор, пока в точке безусловного макоимума

X? не

будет удовлетворено уравнение

о вязи,

7 . 4 ,

Метод штрафных функций

Задачу о максимуме

qj/нкции

Ja

(X) при уоловнях (7.1)

и огра­

ничениях

/?j

(Х)

£

о

17.Б)

где функции //j

таковы, что при выполнении уоловка (7.15) они

равны нулю, а при их нарушений положительны. Примером такой функ­

ции может быть

(рио.7.2)

+

( 7 .Г7)

али любая четная отепень о& этого выражения. Kj и Kg-

достаток

/ 0

6 v

стремится к котанному лишь при неограниченном

росте

Ej

ж Kg . Однако при этом обобщенная целевая функция содержит

крутые "гребни8 именно в окрестности искомого решения, что

сильно

затрудняет

поиск.

7.5.

метод проектирования

градиенте

При поиске в задаче о ограничениями приходится контролиро­

вать, находится ля текущая точка в пределах области V , опре­

деляемой соотношениями (7.15).

Еоли некоторое соотноиевве

P^i

нарушается, его

оледует

акйючвть в число связей и двигаться вдоль границы области V.

При атом, однако, условный градиент функции

с учетом

усло­

вия

(7.1)

и градиент

функции

должны

образовывать острый

угол, т ' . е . увеличение

| - с

с

учетом

только

связей

(7.1)

должно

приводить

к росту

.

Если

вааимное расположение

этих векторов, о котором можно судить по знаку их скалярного

произведения, изменилось

и угол

оказался тупым, происходит

отход

от границы

= 0 внутрь

области

V

и соответст*увщее

ограничение

отбрасывается. Но при нарушении

одновременно не­

ного

вектора

^

окажутся

нарушенными одновременно два

ограни­

чения, то,на

первый взгляд,

точка

пересечения

кривых Fj=U и

р £ =

0 (рис.7.3)

определит

решение. В действительности

далеко

не всегда так. Лело з том,

что в

точке локального

максимума

^ ь

на 3? любое

направление,

составляющее острый

угол с

У

/

а значит, приводящее к росту

J.

, не должно

вести внутрь

Д,

г . е . не

должно

уменьшааь функциа

Fj .

Иначе

говоря,

( р и с ? . 4 ) ,

вое вектора, лежащие по правую сторону

от

прямой М//,

нор­

мальной

градиенту

J.o

, должны образовывать

острый

угод о гра­

диентами

На рио„7.8 вто условие не выполнено, так как вектор

7 Л

не

зенит внутри угла,

оорааованного

VР,

и

V

^

,

на

рисунке

7.4

оно

выполнено.Таким образом, еоли

острый yros

7 /0

о

V F*j

необходим для движения по границе,

то

для

оотавовки

алгоритма нужно, чтобы гыпояняиооь условие

где

-

нарушанвые

ограничения, а

вое

^

^

0.

Мы не

учитывали в этих рассуждениях наличие связей (7 . 1) .

В действи­

тельное та

речь

всюду должна идти ие о

градиенте

J-0

,

в об

условном градиенте атой функции вдоль направления,

опра да дле­

но то СВЕЭЯМЕ,

Для

вычисления условного

градиента

моаат

быть

жшольвовезд

функция Лагранжа (7.2).*

7.6.

Поиск

селлозой

точки функции Загранки

стоящие в

R

при функциях

, оаш ограничены (иенаве ига

равны нуда), как етого требует теорема Нуяа-Тавкера.

Причем,

не

обязательно учитывать see ограничения, вводя

ченна

определять множество ¥

допустимых вааченнй век­

тора X

в иродеосе поиска.

65-

не

зависела

на

от Хд, то достаточно найти Хс

из

усдовия

максимума

$

,

подставить

полученное значение

Хс*

в

урав­

нении связей

и

определить

истинное

решение

(

X*,

Хд •').'•

Максимум

R.

по

. Ус*

даст

верхнюю

оценку, в точности

совпа­

дающую с

решением. Действительно, функция R. максимальна цо

и

Xj

,

причем от последней составляющей она не зави­

сит. Это

значит,

что

максимальное

значение

Q.

одно

и

то

ке

для

многих точек

аножестла

V j

,

в

том

числе

н

для элемен­

тов

его подмножества

Л.

На Л

же максимум

R

и

совпадают.

Таким образом, оценка в точности совпадает с решением.

Рисунок 7.5,а иллюстрирует приведенные рассуждения. Линия K/V

максимального

значения

R

по

параллельна

плоскости

J(

.

Решением

J(

* является

точка

пересечения

проекции

ICV на

плос­

кость X

с множеством

Л,

Рассмотренный случай является идеальным, можно, однако, на­

деяться получить

хорошую оценку

решения,

если

выбирать jf

или

j)

(X )

так, чтобы на некотором достаточно просто организо­

ванном множестве V, включающем JJ, максимум

Q

по

свободным

составляющим

X

возможно меньше зависел от остальных состав­

ляющих. Тогда

абсолютный^максимум

•£

на У не должен

сильно

от­

личаться

от

максимума

&

на Л

^-5" ,30^}.

7.8.

Конкретизируем

последнее

предположение,

дав оценку

решения снизу.

Нижней

оценкой решения может служить "вообще говоря~

значе­

ние

функции

J-0

для

любого

допустимого

значения

аргумента.

И если априорк

известно,

что

некоторое допустимое

значение

недалеко от оптимального, то этот способ получения оценки

вполне приемлем.

В качестве множества V,

выберем

множество

значений у ,

ограниченное неравенствами

в (7.11).

Функция

Лагранжа

+Jy, + 2Jyt

-ЗУ

Зададим

некоторое значение jf"

и найдем верхнюю оценку

Пусть <jf = I .

^

Максимум

этой

функции

на

множестве

\^

достигается в точке

(3.3) и равен /? *-"/S"".

Множитель

ыожет

зависеть

и и

^

. Пусть, например,

Максимум

этой

функции

на

V/

достигается в точках (3.0)

и (0,3) .

т . е . оценка

оказалась лучше,

чем при

а//

= I . Более того,

дено решение.

Действительно, одна из

точэк,

в

которой

достигав

сн максимум

R

на

V ,

а именно

точка

^

- 3,

^ =

О,

удовлетворяет

(7.21)

(принадлежит

t)

) ,

а

значит,

является ре

шением.

Совершенно очевидно,что в общем случае такой произвольный

подход к выбору j/

вряд ли приведет

к точной

оценке. Поэтому

выберем

«У

так,

чтобы максимум

А?

по

возможно

меньше

зависел

от

составляющих

•

Заметим,

что при

< y ~ J 4 ^ - ^

(7.22)

этот максимум достигается

при J ^ = 3 ;

69

Фушщии Hi

при достаточно

больших положительных коэффи­

циент!

"штрафуют" за нарушение уравнений

о:нзи.

Пред полонии,

что иакоимуы критерия

(7,24)

при некоторых С(-

впйдон н оказался в точке

JCK

. Тогда

я этой

точке

Л/,

v/

1_

/

/ V .

1л.

/

П Л

.

f X.

У /

/ У.

I =

(J

25)

С другой

оторозы,

фикция

Лагранжа

R

при правильном вы­

боре множителей

jj

имеет относительный

иакоимуы по Л в

ючке

X*

• .

Значит

_

Еоли

У к

достаточно

близка к

то приближенное значение

множителей jj.

,

как следует

иа оравнения (7.25/

и (7.26), раз­

но

^

.