книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

нескольких

вариантах

такой задачи.

Л р

Если какая-то

из разовых

координат >УК

или время

^Х^+/

не

входят в функцию

, т . е . может принимать произвольное значе­

ние,

то

соответствующая

частная

производная, а

значит

я £££ СТ)

или

+ / к1)

равны .нулю,

.что совпадает

с условием (16.7;.

Условия,

оптимальности,

относящиеся

к внутренним

точкам

отрезка

\ 0,Т ;( "не

изменяются, так как последнее слагаемое

в

И ? отлично

от нуля лишь

при

6 - Т.

•

•Еункция

в

(16.10)

может быть

векторной

и )

+=а о;

/Ja)

= о,

.

. . / Х ^ > > =

о

и означают, что вектор

У

(,Т) может

быть

представлен как сумма

градиентов .функций

. Например, для

J

-

1,2

^ ^ / ^ л е ж и т в той

же плоскости, в которой лежат градиенты

и / - 7 - .

Ад. Вместо или наряду

с равенствами

(16.10)

в задачу могут вой­

ти и неравенства

венству в

соответствует слагаемое

причем

Q/У ^

0.

А 4 . Частным

случаем условия (16.10)

является условие, наложен­

ное на одну из координат (п+1)-мерного

вектора У (Т), его можно за ­

писать, как

/-J

Су =0

U 6 . I 5 )

|Для простоты

считаем,

что

смешанных условии

в форме

(16.10),

(16.14) на J^(T ) не наложено. Тогда условие трансверсальности при­

мет форму

{;

j

fyCTJ

= *s£-

(16.16)

Таким образом,

если

время

или фазовая

координата

фиксированы, то

Ьоответотвупцая

составляющая

вектора

^ ? ^ / ' о т л и ч я а

от нуля. В

маетности/ для задач

с фиксированным Т и функцией Н,

не зависящей

гот

~£

явно,

на оптимальном

решении Н (. XCU^Jj ^С^У

) равна

некоторой константе,

так как

С^,,, (Т) = ^У^^

.

Условие

общности положения

распространяется,

конечно, и на

связи

i(I6.I0)."

\.Т) и

Т

не

должны быть

"исключительными" точками»

Б. Оптимизируемый

функционал зависит от конечного

состояния

аемого ^ э

о

Широкий класс

задач

управления

сводится к

рстижению максимального

значения

одной

из переменных состояния

(Т)

при произвольных значениях

остальных переменных .в момент Т.

этом

случае

в соответствии с

(16.18)

С £ (Т) =+1, а

остальные

составляющие вектора^Т)

равны нулю.

JSOC/O ./Л(-*<

U; ^Je/J

(16.19)

Кроме дифференциуемости no «X,

потребуем дифференцируемости

d0 по I*- и сформулируем

условие

оптимальности

как условие

стационарности /S ,

а значит

и &

по У

и ^

. Множество

сравненияйри этом,

конечно,

уже^чем

при использовании

прин­

Э

£<_

Искдючая из этой

оистемы ( / * & ) и учитывая, что ti = У, получим

вдоль оптимальной

траектории

Уравнение (16.21)

называется

уравнением Эйлера. Его решенья, удов­

f6i

Получим

^

так что

/£ц непрерывна по ^ .

ция Н достигала

максимума.

Запишем разность между значением

Н на оптимальном

управлении

некотором допустимом U.

на втором случав,

когда условие

/ 7 7 ^ - ^ = 0

(16.23)

наложено для некоторого м о м е н т а ^ f ,

В остальном не

условия

задачи

совпадают

с п. 1 6 . I .

функция

в

соответствии

с

табл.

I b . I имеет вид

(?=/

'

Условия

для выбора

£ /

(•£)

не изменятся,

а стационарность

R ао X

приводит

к уравнениям

^

f7

откуда

следует*

что в

точке

£а

^ ( ^ м е н я е т с я

скачком, причем

(.16.25)

0= I , 2,' . . . п+1

Теперь

рассмотрим

случай ]_

t когда

задача

п.16.1 осложнена

условием

С(х,*)*о

U6.261

для всех

i ^ f o . T j . Скалярная функция

G- (У.

; предполагается

можно было бы ограничиться добавлением в

R

слагаемого,

соответ­

ствующего

(16.26), s записать эту функцию в

виде

•?=/

х

U

6 .

2

7 ,

оговарив

неположительностьJ(4). Это было бы верно,

если

бы неравен­

ство

(16.26)

выполнялось как равенство на воем

отрезке [о,Т']

при

$

-

JC*~

« Но оно выполняется, вообще

говоря,

лишь на подмно-

иестве.

этого

отреака. Обозначим через 9 это

подмножество

165

Для

точек

i , d efO, Tji

в которых происходит

переход от неравенства

!с равенству

и обратно, нужно,

как об этом

было

сказано

в п. 15.3,

добавить

в

с 16.27)

слагаемые

типа

^//^ Q (У-)Ь'(4.-~L^i

Чтойы

учесть

такую возможность,

запишем /Qв

форме

|)=/

(16.28)

Здесь уУ(|-)

-

разрывная

функция

и ее

производная в точках

разры­

ва

~ £ и

равна

$f/~

T?J°, на остальных точках мнояе ства

&

,

vo

есть

там,

где

Q

(У-)~

О,

^rz" -У69^0; наконец,

вне б?

. Уравнения для

сопряженных

переменных

; 5 3 Г

~~ ^

примут форму

Остальные

условия

оптимальности

совпадают

с п . 1 6 . 1 .

16.5. Неявная форма

задания

дифференциального уравнения.

Сыешанше

ограничения

задачи,

рассмотренные выше, были

регулярны

по управления» и

сингулярны

по фазовым координатам

В ряде

случаев

задачи

оказываются сингулярны п noi(({). Остановимся на двух

вариан­

тах

такой

постановки.

А . Дифференциальное

уравнение, задано

в форме

У

(У,

tt^XJ-O,

(16.30)

причем

оно имеет

такой

вид, что его

нельзя разрешить

относитель­

но J{ . Перепишем

(16.30),

как

У

-

U

^

116 . Ш

п . 1 6 . 1 . Связь

(16.32),

а значит и вся задача сингулярна по всем

входящим &у

составляющим .решения. Составим функцию £2 ,

считая

для простоты,

что дифференциальные уравнения в явной форме

отсут­

ствуют, функция у/

скалярная. Следует также потребовать

ее не ­

для функционала

(16.2), связей (16.31) и iI6.32) -

42= JO fa,

«fj7?j*<^у+

<ft/s^Уу?As,у

ъ

жества допустимых управлений

Vu,

D£

Э/2

Ъ£

Ъ У

J

Э К*

Э U,

о

• —

= о

J

приводят к

уравнениям

по j{

, так и по У% и

Расширить множество функций сравнения

можно,

перейдя

к задаче условного максимума АР.

дадим задаче несколько более общую формулировку,

а именно,

потре

буем,

чтобы на

множестве

допустимых управлений

IL

faL

достигал

своей

верхней грани

функционал ( 1 6 . 2 )

со

связью

\ . I 6 . J I ) .

Множество

V ^ - пересечение

и множества

значении

ILj,

>

/6Я

j / a

(iCtuJ- - I , и функция H запишется

как сумма только правых

частей

диффарешцшльных уравнений связи на

соответствующие

ектом, характеризующимся

уравнением

of**-

и ограниченным

управлением

j U M l

. Введем следующие переменные

»У = <fX, и

= Mr^

t

тогда

исходное уравнение связи 2-го по­

Согласно процедуре

принципа максимума:

1)

запишем функцию Н для

системы уравнений

связи

2)

составим систему уравнений для вспомогательных

переменных, ис­

пользуя условие

-

—

%f^~.

Решение

этой системы:

= (3/^ •

3)

записываем

условие

принципа

максимума:

так

-RBR^.-C/J

и первое

слагаемое не зависит

от М,

то

169

Н примет

наибольшее

значение„ если при

1)

9^

^

0,Ц.=

+1 -

максимальное значение управления,

2)

у>

0 , l i =

- I - минимальное значение управления,

'3)

(/s

= 0,М_

-

не

определено,

из которых оно равно +1, а на другом

-

I .

Оптимальная траектория будет состоять

йз

двух отрезков ( соответ-

.ственно числу интервалов постоянства

оптимального управления):

1-й отрезок

У I — У- У2 ~>- О ±

- отрезок параболы;

У, s

_

J

_

y

J +

с <

«2

''

-2

-также отрезок параболы.

На рисунке

16.2

показаны

семейства оптимальных траекторий для

U = +1 и К

=

-

I .