книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

57

Глава П Задачи управления о дискретно изменяющимися переменными.

Оптимизация многостадийных процессов..

§ 9. Задачи с марковской структурой. Линамичэское

программирование. • Выше никак не оговаривалась форма, в которой та или иная

яадают больной общностью, но столь же больной трудоемкостью. Прячем эта трудоемкость быстро растет.о ростом размерности -У . |ля задач со специфической структурой овяаей эти общие методы юлателъно конкретизировать и упростить.

9 . 1 . Одна из самых распространенных структур изображена на рис.9.1. Здесь стрелками показаны связи, характеризующие влия­ ние одних переменных на другие. Кружочками обозначены функцио­ нальные преобразователи. Наконец, все составляющие вектора pe-t

83

Так, для последовательности реакторов функция цехи часто зави­ сит лишь от оостояния (концентраций) выходного потока батареи, т . е . в выражении (9.2) вое слагаемые, кроне первого, равны нуле.

В марковской форме может быть представлена и задача рас ­ пределения нагрузок между параллельными агрегатами. Исходная постановка этой задачи

may £ 0,YyJ,

(Э.а)

ожет быть заменой переменных

(9.4)

преооразожана к виду

а

причем

9.8. В задачах со связями (9.1) последовательность управ­ лений ^ 'ТАL j при фиксированных начальных условиях целиком определяет изменение переменных состояния и значение целевой функции. Часто пакую последовательность управлений называют стратегией. Алгоритм динамического программирования основан

84

его стоит обсудить подробнее. Вспомню, как были получены необ­ ходимые уоловия максимума функций. Предполагалось, что некото­ рое значение аргумента оптимально, и из уоловия максимума выте­ кало поведение функции t окреотнооти предполагаемого решения

многостадийной операции. Кружками отмечены основные этапы, и цифры, проставленные над соединяющими кружки линиями, соответ­ ствуют затратам на очередном этапа. Требуется найти путь, со­

емся принципом оптимальности и зафиксируем последовательность рассуждений.

1. Для последнего этапа из каждого СОСТОЯНИЯ ведет в К

яивь одна озрглка. Значит, управление единственно, оно же оп­ тимально. Соответствующие минимальные затраты отметим цифрой гнутрк круяко, а оптимальную траекторию - пунктирной ливней.

Назовем их соответственно уодовно-оптнмальвнми затратами и условно-оптимальным управлением,

2. На следующей этапе для кагдоге ооотояння перебираем

все управления. Находим то из них,для которого суша затрат ва предпоследнем этапе и минимальных затрат, подсчитанных

нами для последнего атапа, минимальна. Эту оуиму, как и ранее,

вносим внутрь кружка, а соответствующую траекторию подчерки­ ваем пунктиром. Еолн затраты оказались равными для двух управ­ лений, выбираем любое за них.

3. Так продолжаем до тоади Н. Та условно-оптимальная

(9,,2) и получим формальную запись алгоритма динамического прот. рашировання.

каждую из полученных функций приходится держать в памяти машиш до самого последнего этапа расчета. Чем больше возможных

ооотояний, тем больше требуется объем памяти. Этот фактор осо­ бенно сильно сказывается при увеличении размерности вектпра У .,

22

§10. Достаточные уодовия оптимальности для дискретных аадач и следующие из них алгоритмы -

10,1. Алгоритм динамического программирования пра воем своем яеоокненноы изяществе обладав* одним существенным недостатком. Недостаток атот осстоит в том, что он никак не вытекает (во всяком случае на первый взгляд) из методов нелинейного програм­ мирования, между тем рассмотренная в § 9 задача есть чаотный случай задачи нелинейного программирования. Ниже мы. будем рас ­ сматривать дискретную задачу как задачу нелинейного программи­ рования. Эта точка врзння полевна не только из-аа своей общности, но в потому, что позволяет естественным образом перенести пред­ ставление о оедловоа точки фу акции Лагранжа, связанные о ним методы получения оценок решения и поиска условного максимума, на важный класс оптимальных задач. Покажем также, ч?о иа этого подхода, в частности, одедует и алгоритм динамического програм­ мирования.