книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

Нужно так выбрать закон изменения температуры

по длине

трубы

Т(£),

чтобы

концентрация целевого

продукта

I = Cj (

/ j )

была

максимальна.

Здесь С - вектор концентраций

с

составляющими

С; ,

U

- длина

трубы.

Множество

Д определяется связью

(1.6) и

ограничениями

Заметим,

что,

как и в

предыдущих задачах,

целевая

функция

при

каждом <^Т (

£

) , С ( С

) > 6- Д выражается

числом.

Однако,

е с ­

(расходов

сырья),

то

в данной

задаче

она, в свою

очередь, зависит

от функций

Т ( €

)

и С (

€

) , Такую зависимость

между множеством

функций и

множеством

точек

числовой

оси называют

функционалом.

одного признака или совокупности признаков, присущих

только

этим

предметам. Объекты, объединенные общий признаком,

образуют

мно-

яеотва.

Например: множество

точек

плоокооти

, для которых

д(г-+ У* + I ,

(2.1)

образуют круг единичного радиуса о центром в начале координат

(рис.2.1). Если в (2.1)

стоит только

энак

равенотва,

то

множест­

во, выделяемое этим равенством - окружность, а если

-

только э<нак

неравенства

-внутренность

круга.

Множество

может быть

определено

заданием

некоторой

процеду­

ры, позволяющей решить вопрос о принадлежности

объекта. Мы будем

называть такое задание множества алгоритмическим.

Множества обычно обозначают большими буквами, а их

элементы -

чалыми. Обозначим множество на плоскости,

отвечающее

о р г а -

нвченжю /2 . 1/, через А.Тогда на рис. 2.1

точка "а"

принадлежит

А. Этот факт внражает

запись

CL'

€

J

Точка же "в" не принадлежит

А-.

А .

Пусть имеется набор условий, каждое из которых выделяет, свое

множество А^

объектов (чисел, функций,

предметов

и т . д . ) .

Тогда объекты, удовлетворяющие всем признакам набора, тоже

образуют множество Ап

,

но,

естественно,

не большее~,чем

каждое

2.2.

Выпуклым называют

такое множество

Д

, в котором для любы),

двух элементов,

принадлежащих

Д ,

У,

и

Уц

элемент

J

-

J$X,+

(/-Я!

*Я

'

(2.2)

принадлежит

этому

множеству

при

0

В <£•

I . Геометрически это

условие означает,

что

любая

точка

отрезка, соединяющего У,

и

Я$, л~

принадлежит

множеству

Д.

На рис . 2 . 4,а изображены выпуклые,

а

на

рис . 2 . 4,б -

невыпуклые

множества.

К выпуклым

множествам относятся,

например,

полупространство,

гиперплоскость,

отреэок

прямой линии

и т . д .

Из (2.2)

непосредственно

следует,

что

пересечение выпуклых

мно­

торое множество их допустимых

значений. Это множество

для

условия

/ < X, Л ,

• • • ) = " с

выпукло

лишь тогда, когда функция ^

линейна

по всем

(дока­

жите это

сами).

Дели

выпуклое множество Д содержится в одном

ив полупространств,

на которые делит пространство X неноторая гиперплоскость П, причем -

граница

Д имеет хотя бы одну

общую точку с П, то эта

гиперплоскость

СПдва

р и с . 2 Л , а ) .

Крайней точкой,

множества

называют точку А, если в Д не существу­

ет

двух

таких несовпадающих

точек Xj и Х2, что А может быть выраже­

но

формулой (2.2)

при

0

< I .

Теорема 2 . i . Два непересекающихся выпуклых

множества,

хотя

бы одно

из которых содержит внутреннюю точку, разделимы.

То

есть

ыонно про­

вести такую разделяющую гиперплоскость, ч?о

эти

множества

окажутся

в разных полупространствах (рис . 2 . 5) .

называется его

выпуклой оболочкой. Обозначается оно обычно

через

С0 Д .

На рис.

Q.dfi приведены

примеры выпуклых оболочек

(пунк­

тиром

показаны

границы CQ Д , там,

где они не совпадают о граница­

ми множества

Д . ) . Любая точка

А выпуклой

оболочки

может

быть

представлена

в случае'одноовявного множества Л как

точка

отрезка,

соединяющего

два элемента Д .

( р и с . 2 . 6 , а ) .

Однако множество

ных точек

X j ,

• • • У-п. . В этом случае

выпуклая

оболочка

является

выпуклым

многогранником, в котором

точки X ,>

лежат

случае принадлежит

Д .

Можно доказать

следующее утверждение

(теорема

2.2)

Если множество Д .

принадлежит П.- верному

пространству,

то

каждый элемент

Ср

. может быть представлен как выпуклая

комбинация не

более, чем

( Ш - Р - го элемевта

Д .

^ - 2 4 * *

i<**.*of)

к . * )

Если, например, Д

- множество векторов на плоскости

(П.-2),

то теорема 2.2 утверждает, что любой элемент

выпуклой

оболочки

лежит внутри треугольника

о вершинами

в

. У ^

( р и с . 2 . 6 , б ) .

Этот результат может быть несколько

усилен (теорема

2 . 3);

Если многеотво

JL

в

й, - мерном

пространстве

оостоит

не

бо­

лее,, чем из Игкомпонент связности, то число элементов

.

вхо­

дящих в {й.3)ш равно

не

(R+I). a

TL

Так, для плоскости

множество . Д .

должно состоять не

более,чек

определенной

на

выпуклой оболочке

множества

Д, свести

к

опреде­

лению

таких

(П+1)-го элемента

Хк

и (П+1)-го

чиола otK

,

для кото

рых функция

от

выражения

(2.3)

максимальна.

2Л.

Мощность и мера

множества

жества, у которых число элементов больше, чем у

бесконечного счет­

ного множества. Оказывается еоть, но чтобы одну

"бесконечность"

туральных

чисел здеоь

не хватит, хотя, оно и бесконечно.

Существуют

множества,

имеющие мощность болыцую, чем континуум,

однако, в

за ­

дачах оптимального управления, как правило, приходится

иметь

дело

с конечными, очетными

множествами и множествами мощности континуум

В некоторых задачах приходится учитывать другую характеристику

множества,

его меру.

Сначала

рассмотрим

множество точек числовой оси

( р и с . 2 . 7 , а ) .

два_отреэка на этой оси. Над каждым

отрезком построим

функцию

Н ( Ъ ), равную единице на и

нулю вне

рассматриваемого

отрезка

(характеристическую

функцию

отрезка). За меру множества . X примем

м c j f - i

= fy(4)

с/1

.

. - е><=>

Меры отрезка

и соответствующего ему интервала, т . е . отревка

без конечных точек) равны друг

другу и равны длине отрезка.

Меру множества У, элементами которого являютоя точки некото­

рого

отрезка

(а,

в'],

определяют

через построение системы и н и р -

валов, заключающих в себе вое элементы У.

Минимальная суммарная длина таких интервалов называется внеш­

ней мерой

множества. Внутренней

же мерой множества У является

разность

между длиной

отрезка (а,

в) и внешней

мерой множества,

дополнительного

к

У

относительно

отрезка (а,

в ) , т . е . множе­

ства всех точек этого отрезка, не принадлежащих У. Внутренняя

мера

всегда

меньше

внешней.

Если же они равны, то множество называется измеримым и их

общее

значение называется мерой.

При таком определении меры ясно, что любое счетное множество,

отображение которого показано на рисунке 2.7,6, имеет нулевую

меру

( М С У 1 =

0) .

Решение некоторых оптимальных задач определится о точностью

до множества нулевой меры, подобно тому как решение дифферент .

анальных уравнений определено с точностью до произвольных ПОСТОЙ

янных. Например,

если

^*(^J

в ° т ь решение

задачи о. макоимума

функционала

- г

где J - непрерывна

и ограничена,

то и

является

решением,•если она

отличается от

) на конечную величину

на множестве нулевой меры С ведь

по

величине функционале

эти две функции неразделимы).

Гос. публичная

1

научно-тс.чн;!чес1-:пй i

библиотека СССР

]

ЭКЗЕМПЛЯР

I

ЧИТАЛЬНОГО ЗА.1Л

•

Часто в задачах определения минимума и максимума некоторой

функции можно игнорировать те ее вистремадьные значения,

которые

существуют

лишь на

множестве

значений аргумента нулевой

меры,

В этом случае говорят о существенном максимуме

(минимуме)

функции.

2.5.

Возможно,

что на множестве допустимых решений целевая

функция

вообще

не

имеет

максимума или минимума. В таких

олуианх

требуется

найт^

•

последовательность элементов

J0,

которая

сходится

к

пределу

(возможно и не принадлежащему Я) такому, что

предельное значение целевой функции не меньше, чем любое ее

значение

для

допустимых

решений.

Например, максимальное значение линейной функции

I

= у

на

множеотве

/у//

не

достигается. Но

-&т.Т

= i

у - /

и

превосходит

величину

I для

всех допустимых значений

аргумента.

'

Или функция

I

( У ) - : I - £ ~ у )

(рио.2.8)

ничена

оверху.

•

х

Чтобы учесть такую возможность, говорят о

верхней грани целе­

вой

функции

на

Л : ( * у £ £ Р I ( I / ) )

или о ее

нижней

грани

( I v \ - ^

1

(У )

) . Если решение принадлежит J},

то

Для

I

( у ) ,

показанной

на р и с 2.8,

\£<^-pT()/J-

I .

Pec.

$j

/ V c 2.2.