книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

1.

Выбираем

jf

так ,

чтобы а

окреетяоотв

предпонагвемого

реивияя Jf * функцвя

Лаграняа

1$

не зависела

os

Х2 Сусло­

ва в

(5.6)).

2. В этом случае

no Xj„ как по независимой

переменной,

она должна быть иакоамадьва

аа ннозестве

сравнений

. Необ­

ходимое усдовзв ыаковыума по Xj

примет вид

(5.7).

Условия максимума

,нсполь8увщи@

множители

Лагранза, ,как

в всякие необходимые условия,

выделяю? в общей случае набор

"претендентов" аа реиенне.

Dps этой, как в для безусловного

яакснмума, функции J-o

в

J.{

предполагаются твхт

дяффе-

рвЕцаруеиыми,

а в аачастве

множества

сравнения

L

внбзравэ-

оя точки, лежащие з

<f-окреотноотв

. У *

н удовдетворяющно

яквварввованвоиу уравнению

связи (5.1а).

5.3. Геометрическая

интерпретация

J

- кнокигоязй

Остановимся на гвоыегрнчвской

ингерврвтацвв ветода иеопреде-

яашшх множителей. На рисунке

5.1 нзобрагены

пннин уровня

фунгциа j f 0 ( I j , Ig) и мигая, удовлетворяющая

условию

w

- J

w - .

ке X

градиентов

функций J-0

н

. Два

вектора

пропорцно-

•иальиы друг другу

лишь в той

исключительном

олучае,

когда

такого

скалярного множителя ji

,

который бы обеспечивая ра­

венство

(5. I I ) .

Так как градиент функций перпендикулярен касательной к

линии уровня,

то в точках А и Б условие

( 5 . I I ) выполняется,

множители J ,

являющиеся коэффициентами

пропорциональности,

понятно,будут

в А и Б равными.

5.4.Экономическая интерпретация

J

- множителей

ческое толкование. Представим

оебе, что условие

^,(Si)-Q

вы­

ражает собой ограничение на дефицит ресурса и что при

(х)< t

максимум целевой функции J-0

растет.

Будем толковать функцию £ 0

как прибыль, получавмув не­

которым предприятием,при использовании ресурса.

Предоставив

тации

tj/l

-множителей

и даже

метода Лагранка.

Скорее

всего

он

будет решать

ее

так:

I .

Назначит

некоторую цену

Ц

на единицу

реоурса J t н

предложит потребителю купить его по этой цене. Последний,

максимизируя

чистую

прибыль

X

(

У

)

-

4

4,

( х

)

без всяких

дополнительных уоловий,

найдет

X

(Ц) и

окажетt

сколько ресурса

/

он хотел

бы купить.

Очевидно,(во

всяком

случае з экономике почтя всегда так бызает),

чей больае

( / ,

геи меньие

Д

,

чем ниже

У

тем больше

^

.

Если окажется,

что

^ >

О, то

экономист

повысят цену,

если

4.

0 9

понизит. Так проиоходи*

до sex

пор,

пока

при

некоторой цене

<Ур(

равиозеоной

цене;

потребителя

выгодно

будег,

чтобы дефицив реоуроа

jff

был равен нули.

При этом

чистая

прибыль накоимальиа,

т . е .

Он, меняя Ц

,

регулировал

опрос

на реоуро, предоставляя

one

рацнв иакоаззяаацаа

потребителю,,

5.5.

Особые

оду чад

Сяедуе? оообо

остановиться

аа

олучаях,

когда

градиен!

J.f

шш градиент

J 0

отрвыятоя к

иул».

Но рисунке

5.2

решением

задача условного г-акоинуиа

могуя

йтъ

гочкя А,

В и С. Точке

А -

обычная, она находится

аа

ано-

веотза Э

(J.

t

(Jc

)

= О )

в

общем положении, s ее можно найти,

В?ц

гочки находяя as уравнения

У

С$= 0. В ни» нужно

с

i

просчитать аначепне функцин

^.

(j( ).

х

«

-

0

lips 8iou число уодомй

должно

быть мвньи равывряоотн

вектора I , чтобы множество допустимых рменвй оотавлядо сво­

боду

выбора,

необходимую для макоииивации. функция

R примах

вид

^ '

b

«л,

( 5 . И )

~* Z diii ,

* необходимые уожохия максимума в векторной форме —

/Г}

ямш

* Ь

-

~

£

Ж

7 А .

(5.15)

Д - ураввенив

(5.15)

совместно

о

*"П-урешениями (5Л8)

П08В0ДЯЮТ найти

(П + гл)

нвиэвеотяых

-( *y\ множителей Лаг-

раваа в

Д. ооогажяявцях вектора

,Х ) .

Условия (5.15)

можно

геометрически

трактовать

как уодовия

попадания

вектора oj[s

ГП -

тарное

ыногообразке,

образованное

векторами

V ^ - . Так, пра в <=< 3, а П\

« 2,

градлвга

ив-

анг в плоскооти, натянутой на векторы

Ч J-±

я V J-£

s точке

а

Ранение

сиотвны.(5.15)

существует,

веля в яочка

. X * авт-

рйца

Л

в об«даи чавяоя

,

В9 В08М0МЫХ поотаноаок аадача раопредежеаяя

вагруаок между па рал*

ле льдами агрегатами. Такая задача (он, 8 I )

аакдвчадвсь i вы­

боре переменных - ^Si так, чтобы цадааад &гвходя

1

-SRC*).

Iх-!

бнжа махошелмая прв уолоаю

2L*bl ~ £

(5Л6)

?проотвм задачу, одалаз допущения о том, что фгахцяя Р ^ ^ ж -

пумы

в ва переменные

^

so положено накаках JOHOSSH, кроне

(5.16).

Такуа постановку

будем называть проохвйшев.

Необходимые уояовяя наковкуна

2

J L

„

2

А -

.,

j

. о

(5.18)

I

ш I ,

2, . . . Д

Таким образом,

мы получила

( п+1)-мо"" урамвим® (5.18),

(5.16)

для вычисления

(ft+I)-

og ивиаавотяой - онтвнадьвнх ва-*

грузок

и множителя

Награваа

jf'.

Уоловая [5.29

дока­

зывают,

что прн опгинальнов распределении

нагрузок

приросты

производительности

при малой изменении подачи сырья

4-i

йдзйй-

имеются ограничения

(х

)

^

о

/

е ^

X ^ ^ O j

Х.*-^!,

+

/ б . з /

Первоначально будем

считать,

что

функция J 0

(х)

выпукла,

а усло­

вия / 6 . 1 /

+

/6 . 3/

выделяют

выпуклое

множество. Последнее

означает,

что

-линейные

функции,

а

-выпуклые.

6.2. Теорема Куна-Таккера

Для того,

чтобы

значение

X*

вектора

X

было решением

пос­

тавленной

задачи, необходимо

и достаточно

существования

такого

вектора jj

с составляющими

и

^

,

что

функция

Лагранжа

£

-

/ 0

f

Z

4

4

*

Z'Jj

%

/8.4/

стационарна

по составлящим

в е к т о р а ,

не

ограниченным

условия­

ми /6.3/

g

Для ограниченных

составляющих

ъе/м^О

j

*4

*о.

/бтВ/

*%xk-s*

-

Ъ

4

~

°

/ 5 - 7 /

функции /

,

_ / и

/ /

предполагаются

непрерывно дифференцируемыми

Не будем приводить доказательства

этой

теоремы, ограничившись

лишь пояснением его узловых моментов.

Пусть

задача

о максимуме ^

содержит

лишь

ограничения типа

/6 . 2/ . Область, отвечающая этим

ограничениям /множество

Д / ,

на

рисунке 6.1

заштрихована.

На том же

рисунке

нанесены

ливни

равных; значений

максимизируемой

функции

J.

(X),

— *

Точка предполагаемого

ранения

X

обладает

тем свойством,

что любое перемещение иа нее

в

сторону увеличения

/ „

не

ДОЛЕ­

НО призеоти

в

облаоть J3,

иначе

з

t>

нашлась

бы точка

с

боль-

юн

значением

J0

,

которую

и следовало

бы

считать

решением.

Будем раоснатривать

множество

сравнения ^элементы

которого

рас ­

положены в (^-окрестности

«У, и

считать

все

функции

дваждн

дифференцируемыми. Выделим множество

Л

точек, для которыхJte£",

J0

( X

)

^> J0

( У * ) . Это нножеотво

лежит

по

одну

сторону

от каоательной,

проведенное

в

лвнян

разного

уровня

функции

-£с

i точке

X*

.

Точки

множества

Л,

принадлежащие

£

-рв-

рвстнооти

<Х*

,

должны

лежать

на этой

касательной

( р н о . 6 . 1 )

или по другую ее сторону

(рис.6.2

) . В первом

случае

градиенты

функций -/0 и

F\

совпадают,

так

как

они

нормальны

к

общей .

касательной,

и

v

/

o

-

'J,

vfi>

(б'8)

где

j/j

<с

0,

во

втором -градиент

функции

Jb

лежит

внугрв

угла, образованного градиентами f ,

и

, Последнее означа-,

вт, что этот вектор может быть представлен как сумма

причем

jf,

и

jfa

меньше

ну ля "и ли

Ч^чЬ^Р^+Лч^'0-

Условия

(6.8),

(6.8( а) как раз и доказывают

необходимость

существования

множителей

,

фигурирующих

в выражении

(6.6).

Совершенно

аналогично

доказывается

необходимость

существовав

;Иия множителей

у//

при

наличии

связей

(6 . 1) .

Так как задача выпукла, необходимые условия оказываются

достаточными.