книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций
.pdf20
Глава I.НЕЛИНЕЙНОЕ ИРОГРШЛИРОВАНИВ
Большинство задач оптимизации сводится в конечном счете к отыс
канию наибольшего или наименьшего значения функции |
нескольких |
пере- |
||||||||
менннх. на некоторое множестве юс доиустиынх |
значения. Так как |
зада |
||||||||
чу определения минимума функции £ 0 |
всегда |
можно свести |
к |
задаче о |
||||||
максимуме функции |
J |
, то ниже мн будем |
говорить |
лишь |
об |
отыскании |
||||
максимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метода |
нелинейного |
программирования |
изложены |
в |
предельно |
|||||
упрощенном |
виде, |
причем основное |
внимание уделено |
тем |
методам, |
|||||
которые нашли прямое продолжение в |
исследваняи вариационных задач. |
|||||||||
2/
§3. Условия максимума функции
ЗЛ . Об условиях необходимых и .доотвточныхо-
прежде чем рассматривать условия максимума, остановимся на
смысле необходимых и достаточных условий.
Если из положения А всегда олвдует В, то В - необходимое .
Условие для А. Если, наоборот, из В следует А, то В |
доста |
точно для А, |
|
Приведем пример задачи, которая может быть решена на основе
необходимых и достаточных условий. Пусть имеется критерий I , по
которому |
может быть оценен любой студент. Этот критерий |
учитыва |
|||
ет успеваемость, общественную "и научную работу и т . д . |
|
||||
1?ак,что |
каждому |
студенту |
соответствует число, Нужно в некоторой |
||
J-ой |
группе |
(множество |
Д) определить лучшего студента. |
||
Получим необходимые условия. Если студент |
лучший (А), |
значит |
|||
Он не хуже своих соседей |
по списку (В). Таким |
образом, для того |
|||
чтобы студент был выбран, необходимо, чтобы он был не хуже |
|||||
ОБОИХ соседей. Пользуясь |
этим, мы можем сначала выбрать |
тег |
|||
студентов, которые удовлетворяют В, а потом уже из них выбирать лучшего. Необходимое уоловие не дает решения, но сужает множе ство Д, выделяя в нем подмножество "претендентов" на решение.
Пусть теперь в нашем распоряжении имеется список студентов,
каждый из |
которых лучший на своем курсе. Мы можем |
в этом |
случав |
||
опираться |
на достаточное условие |
(если |
студент лучший на |
курсе |
|
(В)у то он |
лучший и в группе (А)), |
и |
попытаться |
найти |
в |
списке лучших по курсам студента данной группы. Найдем - все в порядке. Не найдем - ничего не поделаешь. Достаточные условия гарантируют решение, но, увы, не всегда выполняются.
Характерно, что при использовании необходимых условий мы каж дого кандидата сравниваем с его.соседями по списку (множество
сравнения уже, чем Л) , а при использовании достаточных - со всем курсом (множество сравнения шире, чем Д)„
8.2. Наибольшее значение функции одной переменной
|
Если Ja(y)непрерывна |
в ограниченной |
замкнутой области |
|
||||||||
то |
в этой |
области она достигает |
своего максимума и минимума / те* |
|||||||||
орема Вейерштрасса/. Если область t) |
не замкнута, то ф у н к ц и я ^ |
|||||||||||
достигает |
|
своей верхней /нижней/ грани. |
Ниже в этом |
пара |
||||||||
графе мы будем считать, |
ч т о ^ ^ г |
£ ) |
и . следовательно, |
верхняя |
||||||||
грань функции совпадает с ее максимумом. |
|
|
|
|||||||||
Простейшим способом определения максимального значения функции |
||||||||||||
«У^,( у |
) |
мог бы быть |
простой перебор всех допустимых |
в |
вадаче |
|||||||
значений |
^ |
с вычислением |
функции |
^ а |
для каждого |
из них. |
||||||
Однако этот |
путь |
сколь |
прост, |
столь |
и трудоемок. Мы вместо |
част |
||||||
ной |
задачи |
|
(найти |
максимум) решаем |
более |
простую задачу (вычис- , |
||||||
лить |
функцию), но решаем многократно. Такой прием - погружение за |
|||||||||||
дачи в класс |
более простых задач - в некоторых случаях с успехом |
|||
применяется. |
Однако |
в данном случае он вряд ли целесообразен. |
||
Совсем |
плохо |
обстоит |
дело', если множество Д содержит |
бесконечное |
число |
элементов. Поэтому обычно |
выявляют уо - |
||
ловия, которым должно отвечать решение, и заменяют задачу о по
иске |
максимума |
задачей о выполнении необходимых или достаточных |
||||||
для |
этого условий. |
|
|
|
|
|
||
Необходимое условие максимума функции одной перемвнной- |
|
|||||||
Обычная логика получения |
необходимых условий |
такова: |
|
|||||
стараются выбрать |
такое |
подмножество I/ |
(= £} |
значений аргу |
||||
мента ^ |
, на котором |
функцию^f^J можно |
было бы заменить |
неко |
||||
торым |
простым |
выражением. |
При этом уяловие максимума ^ 0 |
( ^ |
||||
22
на /j |
|
удается |
сформулировать |
|
сравнительно просто, а оно явля |
|||||||||||||
ется |
необходимым условием |
макоимума _/-0 |
( у |
) |
на |
Д. |
|
|
||||||||||
Будем |
рассматривать |
функции |
дважды |
дифференцируемые. |
Тогда, |
|||||||||||||
выбрав |
в |
качестве |
множестъа/j |
|
£ |
- |
окрестность |
некоторого |
зна |
|||||||||
чения |
а р г у м е н т а " , |
иожно |
|
на |
|
Z |
заменить |
J^^ty |
) |
квад |
||||||||
ратичной параболой, что приводит к условиям максимума, |
|
|
||||||||||||||||
для |
того, |
чтобы |
|
^Jv |
( ^ |
) |
|
была |
максимальна |
при |
у |
= |
у * , |
|||||
необходимо |
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O . I ) |
||||
|
Условия эти следуют из того факта, что любая допустимая |
|||||||||||||||||
вариация |
у относительно |
|
|
не |
должна |
приводить |
к увеличению |
|||||||||||
|
|
|
) . Выбрав окрестность df |
|
достаточно малой, |
поведе |
||||||||||||
ние функции в ней можно охарактеризовать первыми двумя членами |
||||||||||||||||||
ряда |
Тейлора, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п р и — - - . ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чразложим |
|
( ^ |
) в |
ряд |
|
Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Г)- /»г? v+7A'f??+£ |
Г/Лу*м .. |
||||||||||||||
Будем считать (это существенно), что точка |
|
|
расположена |
|||||||||||||||
внутри |
области |
Л |
допустимых |
^ |
, |
и |
значит, |
множество |
оравнения, |
|||||||||
как |
это зафиксировано |
в (3 . 4), |
включает |
как |
положительные, |
так |
||||||||||||
и отрицательные |
значения |
~jT |
» ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24
При |
достаточно |
малых |
^ |
знак разности |
Д J~J-d> |
fy*) |
|
зависит |
от знака |
~f j£' |
(^^J. |
Тан как величина |
может |
быть |
|
как положительной, так |
и |
отрицательной, а из (8.3) следует,что |
|||||
|
|
|
-jCteV^-q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(з.5 |
||||
последнее |
возможно |
лишь при выполнении (3 . 1) . |
Иначе |
мы вбегдь |
|||||||||||||
могли |
бы |
выбрать такое |
^> |
, |
чтобы |
внак |
(3.5) |
стал |
|
положи- |
|||||||
телан. |
Таким |
образом, |
энак |
(8.5) |
зависит |
от знака |
f |
|
сг0 |
) |
|||||||
а так |
как |
первый сомножитель всегда положителен, то |
(3.5) |
» |
|||||||||||||
может быть выполнено лишь при условии |
(9 . 2) . |
Таким |
образок, мы |
||||||||||||||
показали, |
что из (3.3) |
следует. ( З Л ) |
и (3 . 2) . |
Значит, |
каждое |
||||||||||||
из этих условий необходимо для максимума |
|
^ |
( |
у |
|
) |
в |
т о ч к е ^ . |
|||||||||
Заметим, |
что условиям |
(3.1) |
и |
(3.2) |
удовлетворяют |
не |
толь |
||||||||||
ко точки |
максимума, но и точки перегиба. Если |
же условие |
(З.'О |
||||||||||||||
усилить, |
отбросив знак |
равенства, |
то |
точки |
перегиба |
|
отсеивают |
||||||||||
ся? Когда |
ни одна из внутренних точек JB не удовлетворяет |
усло |
|||||||||||||||
виям |
( 3 . 1 ) , |
(3 . 2), |
"претендентов1 ' на |
решение |
оледует |
искать |
|||||||||||
среди точек границы допустимого моножоства. Пример:
Множество допустимых значений Д вададим неравенством
Из условия ( З Л )
Проверим знак второй производной! j |
) ~ |
^ |
25*
Значит, |
при |
^ |
= Н |
достигается |
не максимум, а |
минимум. Так |
||||||||||||
как экотремум |
единственный, |
то "претендентами"на |
решения |
Могут |
||||||||||||||
быть |
только |
граничные |
точки |
Л. Проверим |
|
аначение |
функции |
в них: |
||||||||||
|
/ ( 0 ) = i ; |
|
|
|
|
з ) = |
|
|
+ |
8 |
ПВ~ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким |
образом, |
решением |
является |
|
= |
|
0. |
|
|
|
|
|||||||
Множество сравнения, использованное при выводе необходимых |
||||||||||||||||||
условий, |
представляет |
собой |
з н а ч е н и я ^ , |
близкие |
по |
модулю к Jf«^ |
||||||||||||
Поэтому |
на |
Л |
может |
оказаться |
несколько |
кандидатов |
в |
максимумы |
||||||||||
(рис.3.1). |
Точки |
^ |
|
( |
ty0/ |
|
) , |
^ |
|
( |
|
) |
называют ло |
|||||
кальными |
максимумами |
|
функции |
^ |
( ^ |
|
|
) . |
|
|
|
|
||||||
3.3. |
Необходимое |
условие |
максимума функции нескольких |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
переменных |
|
. У ' ( |
£ ^ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Будем для сокращения записи рассматривать функцию двух пере-, |
||||||||||||||||||
менных в |
окрестности |
|
точки |
"подозрительной" на максимум |
|
|||||||||||||
Аналогично случаю одной переменной, принимая ~ff и малыми и независимыми друг от друга, можно показать, что И8 .
условия |
максимума |
|
следует, |
что |
, |
byjy* -<ъ#лУ?* ; (з.б)
и квадратичная форма, стоящая в квадратных скобках,неположительна
26
При решении примера мы первоначально находили ^ из условия равенотва нулю первой производной, а потом уточняли характер вкотремума по знаку второй производной. Лля функций несколь
ких |
переменных |
обычно |
бывает |
проще |
вычислить |
значение функции |
||||||
в, окрестнооти |
|
, чем найти знак ее второй проиаводной. |
||||||||||
Поэтому |
чаото иопольэуют лишь уоловие |
экотремума (3.6). |
|
|||||||||
|
8аметим, |
что |
не всегда удобно использовать в качестве |
|||||||||
множества Ц |
|
с?-окреотность |
Jf* |
В конкретных |
задачах |
функ»- |
||||||
ция |
J . |
( *^ |
) |
может |
быть не |
гладкой |
или |
заданной алгоритми |
||||
чески и т . д . Если удастся найти такое |
множеотво |
значений |
ар |
|||||||||
гумента, |
для которого |
вычисление |
^ |
( |
'У |
) |
упрощается, то |
|||||
на этом множестве и формулируют необходимые условия. При этом?
чем шире |
/j |
, тем более сильными эти |
условия |
являются^ |
|
выделяют |
меньше |
"претендентов"). |
С другой |
стороны, чем правд |
|
определяется ^ ( ^ ) на |
/ , , чей |
проще |
испольвоьчть |
||
их для вычислений. Эти два требования, к сожалению, противоре
чивы |
в большинстве |
задач. |
|
|
|
|
|
||||
8 Д . |
О непрерывности максимума функции |
по |
параметру |
||||||||
Рассмотрим задачу о максимуме функции |
J-b |
( у , О |
) непре |
||||||||
рывной |
п о ^ |
и |
6? |
на |
множестве,^? |
при уоловий, |
что ска |
||||
лярный |
параметр |
& |
|
принимает |
континуум |
значений. Ясно, что |
|||||
решений |
ее |
|
будет |
зависеть |
от & * |
|
|
|
|
||
Нас |
интересует характер изменения |
|
|
|
|
||||||
как |
функции |
<б? |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, что даже при разрывной функции |
|
||||||||||
J^(&) |
будет |
меняться непрерывно, |
Запишем |
разность |
|
||||||
2?
Так как V (Q) соответствует максимуму
рткуда |
следуют |
неравенства |
|
|
|
|
|
||
» /.ГУМ |
|
|
-^ |
BJ |
|
|
|||
При &-»-0 |
|
левая |
и правая части |
этого |
неравенства |
||||
стремятся к нулю, |
Так |
как |
у £ |
непрерывна |
По |
'8 |
, а значит |
||
и < 4 j £ * - * - 0 , |
т - 8 « |
^ |
Л |
непрерывна по В . |
|
|
|||
3.5. |
Понятие о |
выпуклых |
функциях |
|
|
|
|||
Так |
как необходимые |
условия |
экстремума |
функции t |
ваключающие- |
||||
оя в равенстве нулю ее |
градиента, выполйяются.'во многих точках |
||||||||
и не дают однозначного |
решения |
задачи Об абсолютном Максимуме |
|||||||
(а именно он нас интересует), желательно выделить класс задач, для которых условия экстремума гарантировали бы нужное решение* Такой класс образуют задачи на максимум выпуклых функций, опре
деленных на выпуклых |
|
множествах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функция |
/ |
( |
У |
) |
называется |
выпуклой/ если |
вое |
точки |
от |
|||||
резка, |
соединяющего |
|
^ k^-i ) |
и |
^ |
(. «V& |
)t He |
превосходят, |
||||||
/(Ус), |
|
где |
X |
|
£[*>>Хг] |
|
|
|
|
|
|
|
||
Все |
значения |
|
|
, |
принадлежащие |
отрезку |
|
i^s] |
^ |
Ш~ |
||||
ражаются•как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
U ^ |
J3 < |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ординаты |
отрезка, |
соединяющего |
|
-£(. |
.У, ) |
и |
JL ( |
.Уд |
) f |
|||||
Z8
Поэтому данное выше определение можно записать в виде неравен ства
СШЛь)^1Ах,+('-АЩ |
(з.8) |
Если в этом неравенстве нет знака равенства, то функция назы вается отррго выпуклой, т . е . она не содержит линейных участ ков. Заметим, что функция, у которой вторая производная для любого значения неположительна, выпукла. Однако класс выпук
лых функций может содержать и такие, у которых |
вторая произ |
||||||||||||||
водная не определена в некоторых точках. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
На рисунке 3 . 2,а изображены выпуклые, а на |
рис. |
3,2,6 — |
|||||||||||||
невыпуклые функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Множество Ж |
точек, пространства |
J^Q{ |
^ |
) |
|
|
„принадле |
||||||||
жащих |
Л и лежащих |
под |
графиком |
функции |
-f0 |
, |
выпукло |
лишь в |
|||||||
том случае, когда выпукло множеотво допустимых |
значений |
ар |
|||||||||||||
гумента |
и функциД |
д 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Бели же одно из этих условий не выполнено, то можно пост |
|||||||||||||||
роить выпуклую оболочку % . Если, |
в частности, |
невыпукда |
|||||||||||||
только |
функция zf0 |
, so |
выпуклая |
оболочка |
множества |
% |
ограни |
||||||||
чена |
графикой |
функции Со |
<£-0 |
, |
которую иногда |
навивают |
выпук |
||||||||
лой |
ободочков |
функции j!Q |
. |
Не рис. |
3.3 |
показаны |
функции |
||||||||
Предоставляем читателю доказать следуввдэ утверждения:
•1. Сумма любого числа выпуклых функций выпукла.
2.Выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве, имеет единственный максимум.
8. |
Если аргумент функции |
^ ( ^ |
) представляет |
собой |
|
/ 2 , - |
мерный вектор, то Выпуклая оболочка Оо |
у £ ( |
^ ) может |
||
'бить |
достроена в ревультате |
решения |
следующей |
задачи.' |
|
29
Cj |
/ / У |
1 = |
™а |
|
* |
- 2 Г |
К : do |
(fa) |
(3.9) |
||
при |
уоловиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л * / |
|
~ ^ |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 T'ic |
|
|
|
|
|
(ЗЛО) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
л*/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( а л р |
|
|
21 |
& У*- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Геометрически это означает, что всегда найдутоя (R+I) век |
||||||||||
торов |
такие, |
что |
^ |
лежит внутри проотранотвенного |
|||||||
угла, образованного ими, а ординаты выпуклой ободочки в |
f очках |
||||||||||
|
оовпадакге |
о ординатами |
^ |
. Так, |
на рио.Э.З |
И» |
I |
||||
при y^^lg^ |
tyf, |
в |
выранвнви |
(3.9) |
^ я I j |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
а величина |
мнохателей |
Г , и |
||
Определяется условиями |
(ЗЛО), |
( 8 Л 1 ) . |
|
|
|
||||||
Рнс. ЭЛ
Со/
- I |
' |
|
l |
l . |
|
РНС. |
3.3 |
{//way |
Рае . 3,2 |