книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций
.pdf
|
|
|
190 |
• |
|
|
|
|
|
|
Оптимальная |
траектория |
. У * н а |
участке |
t ^ / j " ^ ] |
определя |
|||||
ется, очевидно, |
И8 условия |
(18.5) |
и не зависит от ее характера |
|||||||
•а других участквх. Траектория |
на первой участке |
определяется |
||||||||
ив условия |
максимума оуммы j^f/j |
|
|
|
|
|
||||
причем правый конец'траектории |
при поиске |
максимума I j |
свободен. |
|||||||
Аналогично |
для полуинтервала |
( - ^ T j |
положение |
левого |
конца |
|||||
траектории, |
и ее |
дальнейшее |
протекание |
должны обеспечить абсолют |
||||||
ный максимум |
-х6*л) |
|
|
|
|
|
|
|||
—с
Таким образом, возможность находить экстремаль в классе разрывных
функций |
на отрезке |
{Н-,"^} |
ослабляет |
связь |
между начальным и |
||||
конечным участками |
оптимальной |
траектории. |
|
|
|||||
г . Задачи, приводимые в отдельных |
точках |
отрезка [ |
О ,Т] |
||||||
Отрезок |
|
может |
стягиваться |
в |
точку |
7^^,тогда |
для |
||
каждого |
ив полу отрезков |
[ |
0, |
) |
и |
|
справедливы |
||
условия |
оптимальности, |
обеспечивающие |
максимум выражения |
||||||
Здесь 6^,- малая окрестность |
момента ^ . Вариации траектории до |
|||||
момента |
jig |
меняют величину |
первого и |
второго слагаемых, |
после |
|
/ . - |
второго |
и третьего. Ист же функция r/{X,i,)*0и |
второе |
|||
слагаемое пропадает, то У ( ~~L$- ) и |
У. (~tl/f ) определяются |
|||||
независимо после решения задач о максимуме функционалов |
I j и |
|||||
Ij) |
со |
свободным правым и левым концами |
траектории соответственно. |
|||
i9i
Припер 18.4 (задача Вейерштрасса) , Минимизировать функционал
При •£• = |
=» О подинтегральное выражение не зависит от X . |
|
Поэтому |
решения |
от ~Ь = - I до / = 0 и от 4 =• 0 д о ^ =1 н е з а ш - |
гмлмы и |
обеспечивает минимум функционалов |
|
|
а |
,2 /rScW^e |
7 = |
||
-Й
о
соответствэнно. |
Причем |
в первом |
случае |
свободен правый, а во вто |
||||||||
ром левый |
конец. |
и тот и другой |
функционалы доотигают абсолютного |
|||||||||
минимума |
при X |
=> 0. |
Решение |
аадачи показано на рис. 18.8. |
||||||||
|
18.8. |
Задачи, приводимые но одной |
из |
составляющих вектора |
||||||||
|
|
|
|
состояния |
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим задачу, в которой |
|
П.- мерный вектодХи пг\- мерный |
|||||||||
тектор |
'Ц |
могут |
быть разбиты на две группы составляющих |
каждый: |
||||||||
X |
на |
X, |
и У о } |
t C |
па |
1 ^ |
и Ц0 . |
Xt |
н Ц, имеют |
размер |
||
ности (Г\-1) и CTTV-I). а Уа |
u |
U.„ |
скаляры. |
Уравнения |
овявей |
|||||||
имеют вид |
V |
= и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.19) |
|
а |
максимизируемый |
функционал |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.20) |
|
функции M„,f , Л£ непрерывны |
по Ха |
; |
U |
, Ы„ъ дифференцируемы по |
||||||||
J |
и t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192
Необходимым условием оптимальности этой задачи является достижение иакоинума на множеотве допустимых фикций сравнения L функцио налом
(18.22)
о
при условии (18.18) и ограничениях (18.21). |
При составлении £ здесь |
||||||||
учтены лишь связи (18.19). Сравнение |
задачи |
о максимуме |
функциона |
||||||
ла |
о рассмотренной |
выше исходной |
задачей |
показывает, |
что |
они |
|||
однотипны. Записав подинтегральное выражение функционала |
£ |
как |
|||||||
запишем |
аналог |
функции |
(18.5) |
|
|
|
|
||
К |
|
К * |
£ |
Э£ |
' |
|
(18.23) |
|
|
Условия |
оптимальности |
задачи (18.18) |
- (18.21) примут вид: |
|
|||||
ЪУ, |
° J |
И ( |
- Х ' Х ° ' U>*W |
ue\/4jx.eVK |
|
|
|||
или |
иначе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j= |
Л''- |
( I 8 . 2 4 ) |
по U должно |
достигать своей |
верхней грани |
выражение |
|
|
£/- |
М |
^ Z ^ f |
• |
|
(18.25) |
Условия (18,24), (18.25) и данной задаче, естественно, лишь необхо
димы, так как множество Let). Как и для одномерных задач, можно
т
записать условия приведения задачи к форме (18.18) f (18.21). Пример 18.5.
Требуется найти такое распределение теплового потока Q по длине химического реактора или во времени /которое обеспечивает минимальное значение
Х -
о
при условиях
c=-tCcJ*r)i
*r BV.CCKQ'J^-UCTJM+Q |
|
|
• |
( I 8 T 2 6 |
) |
7^ ^ |
7 ^ |
7} |
|
|
|
Здесь С - концентрации, Н - теплота |
реакции, |
2f - |
скорость |
ре |
|
акции, Т - температура (У&= Т, У= |
С, 1<„=<3). |
|
|
||
Составим функционал Лагранжа |
, учитывающий |
вид |
1 и все |
|
|
овязи, кроме (18.26) |
|
|
|
|
|
Оа
Из условий приводимости найдем
Статическое управление (Т = О)
откуда |
|
|
так как |
*д ^ _0 |
/Q ^ Л/. |
Условие абсолютного максимума этой функции по температуре
|
|
№ |
|
|
вместе |
о условием |
экотремума по |
0. |
~ |
2 |
£ - и. - |
и, эг&ту |
|
|
ъс |
~ '/ |
v г - с - |
|
а |
|
|
|
|
являются необходимыми уоловиями оптимальности. Иа них, в частнос ти, следует, что при монотонной зависимости скорости реакции от температуры она должна принимать граничные значения всюду, где
18.4.Учет ограничений на окорооть изменения фазовой координа ты <У0 .
Перевод фазовой координаты в разряд управлений, как ато было сделано выше, в ряде случаев сильно облегчает решение. При этом мы предполагали, однако, что "исключаемое" управление не ограни чено. Для многих задач управления такое допущение правомерно.
Так, в задачах управления технологическими процессами управляющим воздействием является часто изменяющийся во времени или в про-
транстве |
расход одного |
из компонентов. |
В этом случае можно |
||
считать, |
ч ю |
некоторую |
конечную дозу управляющего компонента мож |
||
но |
добавить |
практически |
мгновенно. То |
же самое относится к расхо |
|
ду |
топлива в некоторых |
типах реактивных |
двигателей. |
||
Одна» в ряде задач "иокйючаемое" управление ограничено. Это ограничивает наклон фаговой траектории в каждой ее точке и
выделяет "внешнюю" |
допустимую область |
\/f , получающуюся движе |
|
нием ив .У(О) |
и У |
(Т) о максимально |
и минимально допустимым |
яаклоном» Последний вид ограничений учесть легко, считая множе ство допустимых значений фаговой координаты <У0, равным пересе чению'^ Я . Вола ваклои траектории, полуглнной вз условия мак симума /2 a»Jf€ У^ннгде не превышает допустимого,то решение зада чи найдено. Еслине наклон оказался не выдержан, то полученное значение функционала I дает верхнюю оценку решения, а оптималь ная траектория содержит участки, соответствующие граничным зна чением управления.
|
/ я г |
Пример 18.6 |
£ 24 J . Нужно перейти ив У( 0) i Jt'tT) i макси |
мизировать |
т |
если У — * \ |
|
и |
|
l<l?l£j |
|
|
|||
Функция R для |
этой |
задачи |
|
|
|
|
|
||
|
й = х |
= |
- |
- f 2 |
|
|
|
||
Так как1 ]/ |
ограничена, |
то |
тангенс |
угла |
наклона |
оптимальной траек |
|||
тории ни |
при |
одном |
*Ъ |
|
не |
должен |
быть |
больше |
А. Область \/gпред-? |
ставляет собой параллелограмм, стороны которого имеют наклон А.
Будем искать решение из условия |
(18.Б), которое |
в данном случае |
|||||||
сводится |
к требованию |
|
|
|
|
|
|||
Таким |
образом, |
решение |
должно быть |
внутри |
, |
наклон траекто |
|||
рии не |
должен |
превышать |
А, значение |
же X по модулю должно быть |
|||||
возможно |
меньшим. |
Полученное решение (рис.18.4) |
удовлетворяет |
||||||
всем этим |
требованиям, |
а значит |
является |
искомым. |
|||||
При решении этой задачи с использованием принципа максимума |
|||||||||
функция |
Гамильтона |
запишется как |
|
|
|
||||
Если на отрезке |
ft,,^]€ |
fa |
TJ |
X^=OJTO%(^ |
|
К О Г Д А |
И |
А |
||||
констанга. равна |
нулю, условие максимума Н по |
^ |
не |
определяет |
оп |
|||||||
тимального управления. Такие режимы называют особыми |
|
(" ?4 |
2 . |
|||||||||
Пример |
18.7. |
Управление |
горизонтальным |
полетом |
летательного |
|||||||
аппарата |
£ |
/5 } . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется так запрограммировать расход топлива $ |
, |
чтобы |
ап |
|||||||||
парат пролетел |
максимальное |
расстояние |
Л £ |
. |
Управление движе |
|||||||
ния и максимизируемый функционал |
имеют |
вид |
|
A <f= |
f^f^J0^, |
|||||||
|
|
496 |
|
|
|
|
</ |
|
m |
|
|
|
(18.26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
rh |
~Л |
|
|
|
(18.27) |
|
|
|
|
|
|
|
Ограничения: |
О |
<C j 3 |
^ |
|
|
(18.28) |
Условия на границах: |
|
|
|
|
||
eaданная |
функция |
массы |
аппарата |
и его |
скорости. |
|
Так как правые |
чаоти уравнений |
(18,26) и |
(18.27) |
явно времени |
||
не содержат, можно понизить равмернооть задачи, перейдя от аргу мента г к аргументу При этом^
о/™ _ _ mJL. = qfCryn.jb^j.
Иопользуя уоловия приводимоети (18.16) и (18.17), найдем:
Статическое управление
•' Лет**
Уоловие оптимальноози можно теперь записать как
Граница |
определяется начальным и конечным условиями и |
ограничениями |
(18.28). |
197
i л з A s |
4 |
2 f
4 i
i i
§ 19. Задачи со овяаямя в Форме интегральных уравнений .
В некоторых задачах управления все или чаоть овявей между пе ременными имеет форму интегральных уравнений. Это может быть оопряжено как оо спецификой управляемого объекта, так и спо собом получения характеристик этого объекта. Так, при эксперимен тальном исследовании линейных динамических систем их характерис тики получаются в виде реакций на определенные пробные воздействия. Переход от таких характеристик к интегральному уравнению системы
гораздо проще, чем к дифференциальному. При задании связи в фор ме интегрального уравнения упрощается решение задач управления для объектов, содержащих запаздывание.
19.1. Необходимые условия оптимальности |
[ 6 ] |
Будем рассматривать задачу о максимуме |
функционала |
|
( I 9 . I ) |
о
на множестве допустимых решений, определяемых уоловиями
8деоь функции J-B |
и J. |
отвечают |
обычным условиям непрерыв |
|||||
ности |
по всем |
своим аргументам Е непрерывной дифференцируемости |
||||||
поXу |
"L и f |
. |
У |
<*. Ь(.- векторные функции, |
так же как и J- . |
|||
Однако /чтобы |
не усложнять запись, ниже не будем подчеркивать их |
|||||||
векторный характер. |
В соответствии с |
табл. |
12 . I |
подинтеграль- |
||||
ное выражение |
обобщенного |
функционала |
Лагравка |
£ |
равио |
|||
т
Так как |
задача регулярна |
по управлению и сингулярна по XU), |
то |
условия |
оптимальности |
запишутся как |
|
i 9 9
Решение онотемы уравнений (19.5), (19.2) совмество о условием (19.4) представляет в общем олучае трудную задачу.
Остановимся на наиболее изученных линейных интегральных урав нениях, которые зададим в форме
Лия таков формы уравнения условия (19.4) и (19.5) дерепящутоя как
о
Боли в формуле (19.6) интегрирование ведется |
до f , а не до Т, |
||
то справедливы те ве условия |
при |
|
|
t o |
для |
г |
|
6-1,2. |
|
|
|
Интегралы в (19.7) и (19.8) будут вычисляться |
в этом олучае от |
||
4 до Т. |
|
|
|
Для решения уравнений (19,6), |
(19.8) может быть попользован ме |
||
тод последовательных приближений при выбранном управлении !{(-£)<
С алгоритмами последовательных приближений • |
условиями иг охо- |
|
димости можно познакомиться, например, в £"" |
8 |
J . При этом |
нужно учесть, что при подстановке некоторого |
1^j(-t), (19.6) как |
|
и (19.8) принимает стандартную форму уравнения |
Фрадгольма второго |
|
рода. Особенно прост случай, когда 'M.(-t) представляет собой вход,
ajftfc) |
выход |
линей'ой динамичеокой |
системы бен обратных |
связей. |
В этом |
случае |
в последних формулах |
JC, 6 ^«0, условие |
(19.7) |