книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
wX |
|
при |
любом вначении U. |
Еоли |
это |
удаатол, то отпаден |
необхо |
||||||||||||
димость |
совместно |
находить |
|
^ |
и |
US^ в |
процеоое |
ыакоимивацив |
|||||||||||
по Ц . В данной олучае вадача облегчается линейность» |
£ |
ъаХ . |
|||||||||||||||||
Очевидн.о^ ^ |
нужно |
выбрать |
так, |
чтобы |
|
линейно |
зависело |
о * Х \ |
|||||||||||
причем сумма |
всех |
слагаемых |
з & |
|
, |
зависящих от |
, |
обращалась |
|||||||||||
з нуль. Зададим |
^ |
|
в |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем |
|
из |
уоловия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для |
проиавельного |
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17 |
И ) |
Для |
определения |
£ / |
|
(•£) нужно теперь |
при |
как дом |
удовлетворить |
||||||||||||
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
г |
- |
определяется |
из |
( 1 7 . I I ) . |
При |
af он ^ д о с т и г а е т |
абсолютно |
|||||||||||
го какоимума |
по U |
|
и |
по X » |
а вначит |
найденное решение |
доставляет |
||||||||||||
абсолютный максимум |
I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5, |
Необходимые |
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ВоопольБуеаоя |
для |
решения |
той |
w |
|
задачи необходимыми |
условиями |
||||||||||||
оптимальности |
в форме |
принципа максимума, |
функция |
Гамильтона |
|
||||||||||||||
Уравнения для аоиряяенных переменных
4Н
о краевыв уоловиаа
Уоловиа максимума Н по U о учетом того, что яа воа влагаемые в Q зависят от Ц.,
Сравнивая |
(17.15), (17.14) ш (17.13) соответственно о (17.12) м |
|||
( 1 7 . I I ) , |
видим, что эти уоловия тождественны. Так что в данном |
|||
случае они являются необходимыми и достаточными условиями |
в га |
|||
рантируют |
единственное |
(но величине функционала) |
решение. |
Зто и |
понятно, |
в данном |
оду чае иножеотво функций |
сравнения |
по X |
не ограничено требованием линеаризации, а относительно Е задача
регулярна. |
Таи что |
/ j |
оовпадие? |
о J). |
|
|
|
|
||
17.4, |
Прилаженный |
синтез |
|
|
|
|
|
|||
В § |
14 мы показали, что абсолютный |
максимум |
функционала £ |
|||||||
на прямом |
произведении |
множеств |
и |
V{, ( на |
Vy |
) при |
любой |
|||
функции |
jiCy^J |
больна, |
чан величава |
функционала |
JZ7VV н а |
|||||
искомом решении. Это аа отиооитоя и в |
задачам со |
овяанми |
(17 . I), |
|||||||
В данном |
ояучаа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где /2 |
иаеат вид |
(17.6), |
оправеддиво |
неравоыотво |
|
|
||||
Sup |
|
<Sup |
& |
^TfyxJ^On/s, |
|
|
(17 |
и |
||
доказательство которого дано в § 14. Это иеравенотво дает возможность определения I ( У*~ ) пооредогвом оближанв»-: его крайних членов. иооледиее„в свою очередь, можно провидить,
выбирая .
В линейной |
относительно |
У, |
|
задаче |
п. |
Г7.8 |
оказалось |
доста |
||||||||||||
точным |
принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чтобы |
выбором |
|
|
обеспечить |
независимость |
/ € |
, а |
эначит |
и |
|
||||||||||
от |
X и равенотво |
крайних членов |
в (17.16). В более общем случае_ |
|||||||||||||||||
такая |
форма |
задания |
|
позволяет |
обеспечить независимость |
£ |
||||||||||||||
от |
У |
|
лишь |
в |
окрестности^ . |
В [ IS J предлагается задавать |
||||||||||||||
функцию |
t~p |
в |
форме |
некоторого |
ряда, |
например, |
разложения |
по |
||||||||||||
степеням |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и выбирать |
^ |
|
|
так, |
чтобы |
^f^^na зависел от |
У |
для |
несколь |
|||||||||||
ких |
допустимых |
траекторий. |
Если |
эти |
траектории |
достаточно |
|
|
||||||||||||
"густо" |
покрывают |
и |
функция |
/Q |
не слишком резко |
меняется |
||||||||||||||
при |
изменении |
|
У. |
, |
то |
|
|
по мере |
роота Ш |
будет |
прибли |
|||||||||
жаться |
к |
константе. О доотаточности |
приближения для |
каждого AJ мо |
||||||||||||||||
но |
суди» |
по разности между |
левой |
и правой |
частями |
неравенства |
||||||||||||||
(17.16). функция |
U ^ _ ^ X , " t ^ |
, |
доставляющая |
SocpQ, реализует |
||||||||||||||||
приближенный |
синтез |
оптимального |
управлении. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Такой подход оправдан в аадачах, целью решения которых является |
|||||||||||||||||||
именно максимизация |
функционала, |
а |
не получение |
решения |
J^*" |
, |
||||||||||||||
соответствующего иокомоиу максимуму. Ниже в § 22 |
|
мы обсудим |
||||||||||||||||||
разницу между этими двумя видами требований к решению задачи |
|
|||||||||||||||||||
оптимизации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№
|
|
§ 18. Некоторые |
задачи, имеющие решение в Форме |
|||||||
|
|
|
|
разрывных |
экотремадей |
|
|
|
||
|
Уоловия оптимальности, изложенные в § § 16 и 17, могут быть |
|||||||||
конкретизированы для некоторых форы задания |
о виз ей и функционала I . |
|||||||||
При этом иногда оказывается возможным расширение того множеотва |
||||||||||
функций, |
на котором находят решение |
задачи. В частности, |
оптималь |
|||||||
ный аакон |
изменения |
состояния |
Ул\) |
может |
оказатьо.-; не |
куоочно- |
||||
гдадкин, а куоочно-непрерывным. |
|
|
|
|
||||||
|
1 8 . I . |
Задачи, |
линейные |
относительно У |
(4) |
|
|
|||
|
Начнем рассмотрение задач, которые могут иметь решение в классе |
|||||||||
разрывных |
экстремалей, о простейшей задачи |
о макоимуме |
функционала |
|||||||
со |
связью |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
SC = |
1? |
|
|
|
|
(18.2) |
||
и |
ограничением . Х ё |
j((Oj-X0 |
\XCfl*Xr% |
я Р и ч в и |
X ш. 1? |
|||||
скалярные |
функции |
аргумента |
£ . Нижд эту эадвчу |
будем |
называть |
|||||
исходной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подчеркнем особенности |
задачи. |
|
|
|
|
||||
1. Подинтегральная функция в максимизируемом функционале линейно зависит от скорости изменения фаговой координаты.
2. Ограничения наложены |
на фазовую переменную, скорость же еэ из |
||
менения |
не |
ограничена» |
|
Получим |
достаточные |
условия оптимальности поставленной задачи |
|
j ^ S j |
. Запишем функцию Кротова |
||
т
а выберем функции ^ иа условия независимости & от ЯР
tfx ft, ty= - |
svcx, z*;t |
т л ) |
откуда |
-X |
|
<S(xMJ = |
r/^'&v'x+c&X |
|
|
о |
|
В последней выражении нижний предел интегрирования может быть взят
произвольным, |
так как вто повлияет |
лишь на функцию С |
, которая |
|||||||||||||
не |
определена |
требованием |
(18 . ч) . Можно для простоты |
звпиои |
принять |
|||||||||||
0(4) |
= 0 |
и переписать (18.8), как |
^ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для |
дифференцируемой |
по к функции Л/ |
после |
изменения |
порядка |
интегри |
||||||||||
рования и взятия частной производной получим окончательно |
|
|||||||||||||||
Таким образом, |
воли |
некоторая |
|
функция i |
с |
У*1 |
доставляет |
абсолют |
||||||||
ный максимум для почти всех |
и |
выражению |
|
(18.5). и функционал I |
||||||||||||
для этой функции сущеотлует, TOvY^e- V^-решение задачи. |
|
|||||||||||||||
Уоловие |
макоимума |
является |
не только |
достаточным, |
но и необходи |
|||||||||||
мым, |
|
функция |
% удовлетворяющая достаточным |
условиям |
п . 1 7 . 1 , |
|||||||||||
найдена. Полученное не основе |
уолотмй оптимвльнооти |
решение может со |
||||||||||||||
держать |
разрывы |
первого роде, |
|
а функция l / U ) |
- составляющие |
в |
||||||||||
форме обобщенных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 18.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xtoj=/j |
|
|
|
X{SJ=2. |
|
|
Jim втой |
? адачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z f |
- |
у/ - |
|
Jx*<Sy |
- |
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
в |
области допустимых |
значений X |
при X |
и |
возрастает |
||||||||||
|
|
|
. На рис. 18 . I показаны |
траектории, |
соответствующие |
|||||||||||
минимуму и максимуму I . |
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай, когда винчение |
У.(Т) |
может быть произволь |
|||
ным. Так как оптимальная |
величина |
X в каждый момент времени |
выби |
||
рается независимо, то при i<7~' |
ЛТгу/нахбдитоя ив уоловия |
(18.5К |
|||
Изменение ординаты УЫ) |
в бесконечно |
малой |
окрестности <?тмомвнта |
||
i.= Т вызывает приращение функционала I , равное приращению функцио нала
Действительно, первое слагаемое в (18.I) ограничено, и величина интеграла от него на отрезке С'Г - £ у. , Т) имеет Порядок £ т . Подсчитаем приращение I j для случая, когда y(ijимеет раэры* перво го рода при •£. = Т. Пуоть
у(Т-)-Х4 |
; |
Xfrj |
= |
x* |
тогда |
|
|
|
|
Заменим первоначально |
на интервале |
cfV |
разрывную функцию монотонно |
|
изменяющейся от Xl |
ДоХ |
и выразим |
Z через У |
|
"функционал (18.ь^,*
По мере стремления <5Т к нулю, У СО стремится к скачкообразной функции, а ~£( У ) для каждого У£(У^У^п константе Т. Окончательно интеграл (18.6)
к/*
Из (18.7) следует, что J\ (Т) должно быть таким, чтобы
-К
П&С^ТУ^ |
J'v't'Xj'T'yofX |
(18.8) |
Здаоь С - произвольное число.Аналогичные условия имеют место и для У(0), когда это значение не фиксировано. Функционал (18,1) может иметь слагаемые, зависящие от конечного состояния
о
п р и ^ - ^ |
Т экстремаль по-прежнему доставляет |
абсолютный максимум |
||||
(18.5), |
вариация |
же _ Z/* |
при |
•£ - |
У |
|
8Т |
Ja/OCx, |
~rJo/*+ |
rfx*CrJj-FfaCT)) |
|||
Значение |
У* должно доставлять, как |
следует |
из последнего выра |
|||
жения, абсолютный |
максимум /77/* |
T V |
|
|||
/ 7 7 . |
7>> - в"/>/Ул/./ху-/<Ух+ |
/Cfrfti)] |
||||
|
|
XCrJ |
с |
|
|
|
Пример 18.2;
у = пГ
М--Уj
V e
При 2Г =» I . 3
УЛ0--2
Оптимальная |
траектория |
показана на |
рис. 18.2 1[х*) |
= П / 6 |
Честным |
случаем исходной задачи |
можно считать |
определение |
|
максимального значения |
интеграла |
Стильтьеса |
|
|
|
I |
= |
J A/fa |
*J*y&A |
а а . 1 |
0 ) |
|
|
|
о |
|
|
|
где |
/V- |
непрерывная |
функция, дифференцируемая no t |
, |
а |
|
У(= |
V y |
является функцией о ограниченной вариацией. Последнее |
||||
означает, |
что |
каким бы |
образом мы не разбили отрезок |
[ О , |
Т } |
|
w
I
точками деления ~£I
Z /х~Ш -x&i-)/
ограничена. Интеграл (18.10) можно переписать й форме
со овязыо |
0 |
У = <i)\
очитая ^(-ir) обобщенной функцией. |
|
|
Условие оптимальности (18.5) приводит к требованию |
максимума по |
|
JC при каждом i |
выражения |
|
С |
|
|
18.2. Задачи, приводимые к исходной |
|
|
Решение задачи |
посредством ыакоимизации функции |
/£? яо фазовой |
координате очень просто. Поэтому заманчиво расширить круг задач,
решаемых |
подобным |
образом. |
|
|
|
|
||||
а |
.Изопериметрические связи |
|
|
|
||||||
Лля |
исходной |
задачи с |
изопериметрическиыи связями |
|
|
|||||
Д |
- //Л |
|
(*, V |
+A4Cx,*Jnr]c/t= |
с,, |
|
||||
где |
t |
и |
Л/] |
удовлетворяют |
тем же уоловиям, |
что и А/„ и A/oi |
||||
а ограничения |
|
на У |
и |
1J7 те же, что в исходной задаче. Для |
||||||
этой |
постановки |
существуют |
также |
действительные Числа ^ |
, что |
|||||
решение задачи |
У* |
для каждого |
zf доставляет абсолютный |
макси |
||||||
мум |
выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18 . II) |
где |
|
|
|
|
|
-Y |
|
|
|
|
|
о/х,*; |
|
-УМ, |
|
(xJJ<& |
|
(18.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
0=о
Для ограниченного замкнутого множества |
эти уоловия доста- |
|||||
точнч |
(си.упражнение 1 8 . I ) . |
|
|
|
||
б . Приводимооть общей задачи |
|
|
|
|||
Выясним, |
при каких условиях вадача о макоимуме функционала |
|||||
|
|
|
7~ |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
(18.13) |
|
|
|
|
|
|
|
00 связьюч |
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(18.14) |
{Ы.Ц:) и |
U. (4) -(скалярные функции) |
может |
быть |
приведена к |
||
исходной. Прежде всего класс функций tffal/J) |
нужно ограничить |
|||||
такими, для которых при всех допустимых |
У к |
f |
производная |
|||
^^/$tc |
существует и не обращается в нуль. Тогда |
управление мо |
||||
жет быте |
выражено как функция U.(J\P, У fc) • |
Подставив ату функ |
||||
цию в |
(18.13), получим |
|
|
|
||
(18.13я) Если задача приводима к исходной, подинтегральное выражение в (18.13а) должно иметь вид
Продифференцируем по 1 / левую и правую части последнего равен ства
идя
При tP = 0 получим из (18.15)
£ (X, t/er, |
= ^ ( Х > *J |
( 1 8 Л 7 ) |
Здеоь |
L / e |
T |
^ |
t/^O^X^J- управление, |
соответствующее постоянной |
|||||||||||
во времени |
фавовой |
|
координате |
(статическое |
управление). |
|||||||||||
При выполнении условий (18.16) и (18.17) вадвча |
приводима. Уоло |
|||||||||||||||
вия приводимости одновременно являются уравнениями для расчета |
||||||||||||||||
функций М |
и |
А/ |
, |
входящих в уоловия |
оптимальности |
(18.5, 18.8),, |
||||||||||
Пример |
18.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задачаt |
линейная |
по управлению |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Т - |
/*f& |
(х, *J -/ ?в |
(х,Оt/Jaf^; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = |
<?(xJJ+ |
|
ZCxyjts, |
|||||
причем |
|
d |
|
|
|
) |
ФО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
(18.16) |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ствтическое |
управление |
<УСг ~ - |
-^г |
, |
и по формуле |
(18.17) |
||||||||||
|
|
/ V - |
|
Л |
|
- |
г . |
4 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя зти выражения г (18.5), получим максимизируемую функ |
||||||||||||||||
цию |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задаче, |
линейной по управлению, каждая из частных пронявод- |
||||||||||||||
ных в первом |
из условий приводимое» не вависит от 1L В общем же |
|||||||||||||||
случае |
это, |
конечно, не обязательно. Важно, чтобы от управления |
||||||||||||||
не |
зависело |
их |
отношение, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в |
.Задачи, |
приводимые к исходной |
на |
части |
отрезка |
( j ^ T ] . |
||||||||||
Для ряда задач подинтегральное выражение максимизируемого |
||||||||||||||||
функционала |
I может быть записано в форме (18.1), (18.2) лишь |
|||||||||||||||
для |
части отрезка |
С ф " 1 . Пу от ц например, |
J-Q |
на |
полуинтервале |
|||||||||||
|
[,Oj-h4 |
) |
имеет |
вид |
J.QJt |
|
\ на отрезке |
|
3 ~* |
|||||||
/ в = ^ ( Х , # / У ( Ш , н а к о н 9 ц , на ( ^ j Т j - / 0 |
^ / в а |
|
|
|||||||||||||
функционал |
I |
может |
|
быть представлен |
в |
виде оуммы |
|
|
||||||||