книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

.Выбирая различные начальные условия, можно построить линию, на

которой будет

происходить

переключение

управления, из какой бы

точ­

ки фазовой плоскости .не начиналась движение

- линию*переключения.

В нашем примере линия переключения будет состоять из отрезков

па­

рабол, проходящих через начало координат (пунктир на рио.хе.з)

проходящих

через

ниже АОВ

выше АОВ

Рассчитаем оптимальные траектории и момент времени переюшчензя

для

конкретных начальных условий

У Н

( - 1 ;

- I ) ; конечная 1-очка

., к.

координат

ОС ( 0 ;

0

).•

а)

точка

( - 1 , - I )

лежит ниже линии АОВ, поэтому первый участок

ffi

а +1

и,

следовательно»

У

=

— У.п

^

— - — -

- первая

парабола

<*

2

2

V

Й

—

V Z

-

вторая

цаоабола".

I

2

*

"б)

точка

переключення

имеет

координаты

на пересечении двух парабол

У ,

*

— Е - у

г

~М

2

*

'

в)

момент

времени

переключения

Л

-

)С

« « с

Постоянную

C£ находим

из начальных условий

( £ = О, J<^=-I

откуда

4п

=

- | - ~ 1

•

'

/

° • + I + °2

Задача,

таким

образом,

полностью

решена.

I c2 =-if

переменные

как функции

времени

и время цикла Т. Будем считать,

что известно постоянное

время

простоя

ТП р между циклами.

Итак,

г

о

°

(16.8?)

$

=

/ С * ,

^

(16.38)

Здесь через

i/t

fa'J

обозначен

мгновенный расход

сырья. Функция J

и параметры

состояния

У

могут

быть

векторными,

поэтому

соответствующие произведения

нужно понимать, как скалярные

произ­

ведения векторов.

Функционал

7~

можно представить

как отношение V

Щ=- •

Обозначим производную

по Т на оптимальной решении как < э ^ ^ т ' )

17ё

Во всякой ля задаче существует такая функция,

обеспечивающая

"сдвиг" абоситтного максимума

$

внутрь д ,

неизвестно. Но доста­

точные условия этого и не утверждают,

иначе

они были бы и необхо-

дямьии.

Сузим множество возможных функций

^

еще тем, Что будем ис­

кать

^

как функцию

только J(

ъ. "£~

,

это

позволит перейти

к

конкретным

алгоритмам

ее

определения, и введем

обозначение

Тогда выражение Pcfj

с т о

я

и

' е е

П °Д

знаком

интеграла

в (П.З), модно

записать, как

При

этом мы считали, что

скалярное

произведение

вектор-функций

_У существует. Можно было бы ооой?ись

без этого

предположения,

сразу

введя слагаемое j@Cg для достаточных условий в форме

^ 17 .&J,

как

это

было

сделано

В.Ф.Кротовым £

Однако

при принятом нами

подходе

ясно,

что переход к форме

(17.5) предполагает

зависимость

и связь в форме дифференциального уравнения,,

функцию,

стоящую под знаком интеграла,в

iS

о

(17.6)

будем называть функцией

Кротова.

для того,

чтобы

достигал

абсолютного максимума на

\у

,

необходимо

и достаточно,

чтобы для каждого

/

было максимально

по

J((£)£ V*:

и

И1 е

г

о

подинтегральное

выражение. Если

произ­

вольно задать некоторую функцию /{J(}

*fc) и искать

для каждого

i

максимум функции

Кротова

по М и

t/

,

то получившееся решение

не обязательно будет удовлетворять уравнениям связей. Поэтому

обычный подход к

использованию условий

оптимальности

аналогичен

соответствующему подходу в нелинейном программировании

(см.п.7.7)

и в задачах с дискретно меняющимися переменными

;см.& 10). Именно,

функция

^выбирается так,

чтобы максимум <б по одним

составляю­

щим решения

был одинаков

для всех

допустимых значений

других

составляющих. Для определеннооти

(это совсем не

обязательно)

будем считать,

что максимум/^

находят

по

выбира­

ют из условия

независимости

. Если

это удалось оде-

лать

, то подставив

в

уравнения

связей, найдем У \ \ : ),

кото­

рое

удовлетворяет

связям

и для которого

(как, впрочем,

и для вся­

кого

другого Y(•£))функция

£

максимальна

п о

У .

Если

полученная

функция^ Л.)(9

. то задача

решена;

причем найден

абсолютный

максимум

I

на D. Так будет

всегда!

когда множество ^совпадает

о

пространствомХ"«

Если же это не так, то У

и

U . 0

не равны

со­

ответственно У

* п

К *

а функционал

I

{ У ,

Ц°

)

^

T (

X * U . * J

дает верхнюю оценку решения. Чтобы свести задачу с ограничения­

ми на У

к

задаче

без ограничений,

можно,

например,

восполь­

зоваться методом штрафных функций, добавив к I

функционал,равный

нулю ащХ&

У* и отрицательный

для остальных

значений

X.

17.2. Алгоритм

динамического программирования

Один из возможных методов решения задачи (17.I),^17.2),

основан­

ный на достаточных

условиях, доставляет

динамическое

программиро­

вание £

2

J .

Согласно

этому

подходу функция ^выбирается

так,

чтоОы абсолютный максимум

Q

по i

t

для каждого 4г не зависел от.У

Sup

7>Ъс, ч

<е; -

с

а

У&

V*

(17.7)

Причем решение

не зависит

от С(4г). так как, если

найдется

функция

'•f^ I удовлетворяющая (17.7)

для некоторой Cj ( \ ) , то

найдется

такал функция

\

и для любой

другой

кусочно-непрерывной

и

ограниченной

причем

=^-\-{С

- Cj ) . Поэтому удобно

.вели вспомнить, что

и записать (17.7) в

окрестности

^ -

Т

видно, что в точке

Т

^^Т)испытывает

скачок.

Интегрируя

последнее равенство

от Т_ до Т +

,

подучим с учетом

того, что

Tj

= /?{Х,

V

(17.9)

ных (17.8) i Это уравнение

получено

Р.Беллманом

[

2.J-

Уравнение

Беллмана не совсем обычное, в него

органично

входит

операция

нахождения верхней грани

по Ц . Один из способов

решения уравне­

водных соответствующими разностями. Получающееся

уравнение

близко Л

записанному в п. 9.4.

Так как краевые

условия для

^

заданы в

конце интервала! расчет проводят обычно, двигаясь

от" £ = - Т* к"Ь»0,

при этом одновременно с функцией ^(Xt

"tj вычисляют и

оптичэльное

удравление

удовлетворяющее

ограничениям

t(_ £ Vu_

а оаределенябе на множестве *Х(~- V\(

, ~£ С~-

.

Затем найденное условно-оптимальное управление, будучи подстав­

лено в уравнения связи

позволяет

найти 3\(.4)«

Если найденная

траектория

допустима,

то

пара

» U^(^"J является решением. Физически функция

iPfyii)