книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций
.pdf
|
HO |
|
где |
n , / |
, / 1 |
Р |
^'ZJjMXiWJ) |
(12.?) |
Условия оптимальности при отсутствии ограничений имеют обычный
вид |
|
|
vS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
^ |
|
Но так как в функционале |
(12.5) |
от |
У,- и |
зависит |
лишь |
||||||
I - е слагаемое, то последнее условие перепишется в форме систе |
|||||||||||
мы ураввений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
р . |
^3 |
= |
О |
|
|
|
(12,8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1= |
0,1,2 |
|
|
Наряду |
со связью |
(12.1) |
в аналогичной |
форме запишем и |
|
||||||
ограничение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
) ~ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J= |
0 , 1 , . . . , Л |
|
|
|
Введя дополнительную переменную 2,- |
^ 0 |
, |
условие (12.8) |
можно |
|||||||
записать в форме |
связи |
(12.1): ^п' P ^ U - |
i \)+2j~QИЛИ |
|
|
||||||
ОД-'if^u^.i) |
|
|
|
+ |
|
^,'J)] |
= 0 |
. |
(12.Ю |
||
|
{«•о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь
|
|
|
|
|
- |
т |
- |
|
|
|
|
|
Слагаемое |
|
|
, |
ооотЕетотвущее |
(12.10), имеит |
вид |
(12.6) |
|||||
Так как |
х |
с |
В |
Х 0 Д |
И 1 |
«олысо в зто |
слагаемое, |
то |
требование |
|||
ввположительнооти |
|
вариации |
функционала £ на допусти шве |
вариа |
||||||||
циях |
|
приводит |
к |
тому, |
что Е слагаемом |
|
|
|
||||
иножители |
i//- |
^ |
0, |
причви они отрого ивньшв нуля, |
когда |
|||||||
/7= 0. |
Вое чжвванное.еотеотвенно, |
следует из |
теоремы |
|
||||||||
Куна-Таккера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
образом, |
мы выполнили два первых пункта |
намеченной |
|||||||||
выше программы, получив слагаемые в функции X? , соответствую- |
||||||||||||
циеканоничеокой |
форме |
овяэи (12.7), |
и ограничеклч |
(12.12). |
||||||||
12.2.Приведение различных видов овяэей к каноничеокой
форме ' а) Рекуррентное соотношение
4 |
-i,Z....n |
иожно перепиоать |
|
п. |
- *<ш-<> |
за)-71 [KwftW) |
|
|
(12.14) |
|
j - 1 . 2, .. - п. |
Подставим в формулу (12.7) вместо c£C^<.',t^lj) выражение,
Hi.
стоящее в квадратных скобках в (12.14), получим п.
Раскроем* скобки и о учетом овояотв §>- функции (12 . II) пере пишем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.15) |
Здесь |
можно считать, |
что |
I |
меняется |
от нуля |
до П , при |
||||
|
|
«Уп+1 ~ |
0 |
|
|
|
|
|
(12.16) |
|
Именно |
выражение |
(12.15) |
с условием |
(12.16) |
и |
использовано |
||||
в предыдущем |
параграфе. |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Связи между составляющими решения |
|
при фиксированном ^"^о |
||||||||
y^,UioJo |
|
) |
= С |
|
|
|
|
Я2.17) |
||
эквивалентны |
равенотщу |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
с = ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда слагаемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-С£ |
1 |
v |
4 ^ > ^ J ^ |
<JV |
|
|
|
(12.18) |
||
Действительно, |
^//t - |
= 0 гля |
Есех t |
, |
кроме |
t = ^0 |
||||
в) Связь между составляющими решения для всех значении аргумента
-°
j = с, I , 2 , . . . а
В канонической форке
( 1 2 Л 9 )
<Г о , 1 , . . . а.
№
По формуле(12.7) соответствующее этой овяэи слагаемое
г) Общая форма рекуррентного соотношения
п.
^ |
= Z £ |
^ J ) |
(12.21; |
может быть записана,как
I .
соответствующее слагаемое
(12.22)
<* = <>
д) Изопериметрическое условие
п.
Условие (12.23) определяет среднее значение функции,/ . Такие условия возникают, когда задан общий расход сырья или энергии на всех стадиях процесса. Они же имеют место в зада чах о максимальной площади некоторой фигуры при заданном пери метре этой фигуры (отсюда термин - изопериметрическое). Выра
жение (12.23) отличается от |
( I 2 . I ) тем, что функция |
J не |
|||
зависит |
от j |
. Слагаемое |
Qtg можно получить из |
(12.7), |
|
обозначив |
через |
J |
сумму jl |
•: |
|
(12.24)
т
На этих примерах яоен переход от конкретной формы задания
овязи |
к |
соответствующему |
|
этой |
форме |
слагаемому |
. Множество |
|||||
оравневия L4 , |
как и в |
общей |
ведаче |
нелинейного |
программиро |
|||||||
вания, |
|
определяется'как |
пересечение |
множества |
допустимых |
реше |
||||||
н н а я |
о множеством, включающим |
|
подозреваемое |
решение, |
и |
таким, |
||||||
что вое |
функции, |
входящие |
в Q |
, могут быть на |
нём линеари |
|||||||
зованы. Удобно подученные |
соответствия свести |
в |
таблицу. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
12 . I |
|||
п . п . |
|
Связь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I . |
|
|
|
4*0,1,-* |
|
|
|
|
|
|
||
|
JTO |
' |
|
|
|
|
|
|
||||
2. Л |
« / 6 ( i H . M i - . , * " ' ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t«en,...n.
5.
4*0
6.
Для условий в форме неравенств можно использовать таб лицу 12,1, о учетом ограничений на множители^ . Эта таблица позволяет составить функционал fS> , а значит, записать у с ловия оптимальности, организовать процесс поиска условного оптимума I или оедловой точки функционала /S для широкого
круга задач.
12.3. Примеры использования табл. 12 . I . а) Неявная форма рекуррентного соотношения
|
S-Uc, |
ut-,A->}-')я |
0 |
« 2 . 2 5 ) |
|
|
|
|
|
i= i.z,...,« |
|
Введем дополнительную |
переменную |
|
|||
|
» ^С |
|
.4- 1,2,..,п (12.26) |
||
Тогда связь (12.25) эквивалентна двум связям: рекуррентному |
|||||
соотношению |
(12.26) |
и связи |
|
|
|
|
|
О |
= 0 |
|
(12.27) |
|
|
|
|
г= о , 1 , . . . п - | |
|
Пусть целеьая функция имеет вид (12.2),составим функцию Q. , |
|||||
Здесь |
соответствуют связи |
(12.26), a Jty{ - |
(12.27). |
||
Необходимые |
условия |
оптимальности |
при U £ V^. |
У(о)~^х> |
|
б) Рассмотрим |
задачу с функционалом (12.2), связью (12.13) |
|
•л условием типа |
(12.17). Пользуясь табл. |
12.1, составим фун |
кцию |
|
|
•Ъ
т
Необходимые условия оптимальности для всех i, |
кроив i » JB t |
будут совпадать о условиями дискретного принципа |
максимума |
( п . I I . 2 ) |
|
Э
з частности ,J0 |
монет |
быть равным |
/?_. , когда условия (12.17) |
|
ограничивают конечное |
состояние. |
|
||
12.4. |
Задачи с |
параметрами |
|
|
Наряду |
с переменными, зависящими |
от дискретного аргумента, |
||
в задаче могут быть и параметры, подлежащие выбору и не завися
щие |
от |
£ |
. Эти параметры могут |
входить |
как |
ь |
целевую функцию |
||
J-0 |
, |
так |
и в уравнения связей |
и ограничения. |
Когда |
необходимые |
|||
уоловия оптимальности записывались для зависящих от |
L |
перемен |
|||||||
ных, |
производные функционала А ? |
ПО »У(- |
и |
tC' |
, которые |
должны |
|||
быть использованы в условиях оптимальности, превращались в произ
водные |
соответствующих слагаемых |
Q ( |
С |
, _У(- , |
, ^ |
) , так |
||
как в |
остальные |
слагаемые |
/S |
tXj |
и |
&t' не |
входят. Лля |
|
параметров же, не |
зависящих |
от с , |
уоловие |
оптимальности |
примет |
|||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ' Q. - вектор параметров.
н?
Так, в задаче о максимуме целевоИ функции
со связями L ~ °
условие (12.28) примет вид
|
Ш*. |
"VP) |
|
^ - 2 ^ ^ , ( 1 2 . 2 9 ) |
||
так |
как в |
выражении (12.15) для Rcg второе |
слагаемое не зави |
|||
сит |
от Q. |
. Остальные |
условия |
дискретного |
принципа максимума |
|
останутся |
без изменений. |
|
|
|||
|
12.5. |
Задача на |
максимин |
|
|
|
|
Во многих |
реальных |
ситуациях |
требуется выбрать наилучшее |
||
решение в условиях неопределенности. Один из возможных подхо дов здесь - гарантировать наибольшее значение функции цедя при наихудшей ситуации. Такой весьма осторожный подход оправдан тем, что позволяет определить гарантированный выигрыш. Остановимся на задаче с целевой функцией вида
i
на |
множестве |
Z? |
значений |
переменных |
, |
, |
связанных |
между собой и ограниченных для с€ [о, п.]. |
Заметим, |
что эта задача |
|||||
эквивалентна |
задаче о максимуме параметра |
|
Q. |
|
|||
|
Sup Т = 2><*р <3- |
|
|
||||
нри |
условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
- J*(Ус, |
с ) < o i A O |
t |
f j . . л |
(12.30) |
ш
Таким обравон, мы пришли к |
задаче с параметром^, |
не завися |
|||||
щим от |
I |
, и ограничением |
(12.30). Так как задача |
содержит |
|||
параметр, |
воспользуемся |
функционалом / 2 |
, а не функцией |
R, |
|||
стоящей |
под знаком суммы |
в Л . Запишем |
функционал |
^2 |
, |
||
руководотвуяоь табл. |
1 2 . I . |
|
|
|
|||
Здесь |
при 0=1 соответствует |
ограничению (12.30), а |
остальные |
слагаемые другим связям и ограничениям, имеющимся |
|
в задаче. |
На знак последовательности |
j/, ^ н а л о ж е н о уоловие |
Так как параметр & входит только в S^q , и в максимизируе мый функционал, и на него не наложено ограничений, то необхо
димое условие оптимальности H=L - п приводит к равенству д о .
л |
|
|
|
|
Z |
У, |
> - |
I |
(12.31) |
Получение условий |
оптимальности |
по другим |
переменным не |
|
имеет никакой специфики по сравнению с обычной постановкой за дачи.
12.6. Достаточные условия и оценка решения Научившись составлять функционал Льгранка *2 и получать
необходимые условия локального максимума для разных сочетаний связей, попытаемся использовать этот ке подход для получения достаточных условий абсолютного максимума и оценки рещенип.
rrY
Рассматривая общую вадачу нелинейного программирования, мы сформулировали достаточные условия абсолютного макоимума
J-0 ( ^ ) на мнокеотве D как уоловия существования такой функции J{ ^ ) , что функция
|
|
G=Xfy)+S6?j/&) |
( I 2 . 8 2 ) |
|
достигает |
абсолютного максимума на множестве V-?D, |
причем |
||
*j |
и |
(пункт 6,6). функция (12.32) по структуре |
ничем не |
|
отличаетоя от функции Лагранжа, лишь множитель Jf |
принимается |
|||
88ВИ0ЯЩИМ |
ОТ |
< ^ . |
|
|
|
В чаотном |
случае, для задач, рассмотренных в атом парагра |
||
фе, все раооухдения § 6 оотаютоя справедливыми. Вместо функ
ционала |
/3 |
может быть ооставден расширенный функционал |
Лаг |
||||||
ранжа ^ |
» в |
котором |
множители j/t- |
нужно s-нменить на функ |
|||||
ции |
jf |
( i ,Uk |
I t |
i |
) . Причем для ооотавления |
этого |
|||
функционала |
можно |
воспользоваться |
табл. |
12.1. Схема |
|||||
использования достаточных условий та |
же, что и в |
задаче не |
|||||||
линейного программирования |
( |
.пункт |
7.7). |
|
|
||||
Разбивают переменные на овободные и зависимые и полбира- |
|||||||||
DT оУ{i,b(iUj) |
так, чтобы |
абсолютный макоимум |
aS по |
|
|||||
свободным переменным не зависел от остальных переменных. Боли такую функцию удалось найти точно, то получают решение, если приближенно - верхнюю оценку решения.
Покажем, что динамическое программирование также реализует
втот подход. Составим |
для задачи о максимуме цезд*вой функции |
||
(12.2) со |
связью в форме |
рекуррентного соотношения (12Л_8)_ |
|
функционал |
<£, считая |
jf |
функцией L и У[ . |