книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

«иных функций J.0u ^

- I . Пара пишем 2 в форме

Так как выбор функции

^

не наруиает равенотва I

и 5

,

то заберем ее так, чтобы макоимум каждого иа влагаемых f?t по

и

»Vi

или

no

U; и <^i-i

не вавиоех о*

У{~\

или от У-i

ооояветотвенно. Боки такую функцию

удается

подобрать,

то мы ликвидируем овязь влагаемых

Qi

друг

о другом для воех

J(i

и

, доставляющих уолознын мак­

симум Rv . • ЬюДГ

того,

что по

и

Ui находят макон-

кум, а-ox

этот максимум зависать ие должен, то едни-

отэенная. переменная,

от которой

оя может аазисеть, это аргуменв

L .

Сформулируем условно оптимальности.

Чтобы последовательноояь

I

* ^U. \

доставляла

абсолют-.

дыд максимум функционалу

I ,

достаточно

существования

такой

(ВУНКПИИ

^ ( i

I X

с

) f

ч»о

J

-

H

U

^

^ ^

I

)

=0

(10.5)

Величина С i

может быть любой в том смысле, что,если

най­

дется

функция

^

( i

) , удовлетворяющая

(10.5) для неко-

торой

ограниченной

С

-с

,

то найдется

такая

функция и для

С ( i

)

0.

Повтому

примем

С ^~

0,

2,.../?, iyKZ

Ввшолиения условия

(10.5)

удобно

требовать

для воех^

( - 0 , 1 ,

. . . И, положив

^ - / , У _ , ) и л и

^(tbj^J'^S

°*

Верхнюю грань квадратной

скобки

в (10.5)

находят по Ci^

a

или по ^ \ . и

U. i

. В первом случав

можно вынеотн

ра знак Si-cp функцию

^Cii^i)

* прийти к выражв-

«•ю

(о учетом С (1 ) •

0):

во втором - 8а анак "Sup можно вынеотн

^C-J, тогда

ного максимума, одновременно

о вычислением

^

найти и ту

последовательность управлений ^ ^ i * J

» которая доставляет

абсолютный максимум

tS

,

а значит,и

ЪшЪ.

В первом случае расчет проводится'"вперед"

от

t' = 0 к •

L = П. ,

10 втором-от

П. к О.

Еоли

допустимы оба на­

правления

расчета,

то обычно

предпочтительнее

движение "впе­

ред", так как оно позволяет

не задаваться

числом

влагаемых |\ ,

92

или

^fojMt^)

= о

ограниченными

окааываютоя

и

другие

функции,последовательно вычисляемые,, согласно этим

алгоритмам,

о учетом непрерывности функции J.H „ '

~

Таким" обраэом,

функция

^ (

)

существует,

и

условие

'

110.90

будем навивать инверсной,

наконец,свявь

разрешенной относительно

управления.

Ведение форма ОВЯБН определяет в значительной отепенж ва-

правденяе расчета i позволяет перейти от

задача условного к

93

Здесь уже не приходится реветь задачу уодовного

максимума

по tQ

и

^У,- .

Задаваясь J^ . y , можно дая каждого уп­

равления

иа множества

\ / ч , не выводящего У с

а а

пределы

Vy

, найти

величину квадратной окобкх в правой чаоти

выражения

(10.8).

Использование алгоритма (10.6) потребовало бы определения

Усч

по

J^i

и

^

, что для ааданмя овяаи в прямой

форма

затрудняет

решение.

Напротив, инверсная форма овяаи ( \0. 2р) предполагает

раочет

функции

^

"вперед"

Наконец, о вязь (10.2в) нейтральна

относительно направле­

ния раочета ш особенно удобна

х случае "узких" ограничений

ва фазовые координаты в сравнительно

более

"широких" воз**

нежностях выбора управления.

Перепишем алгоритм (10.6)

о учетом

атой

овязв

J?

C*i, X +i ,

У £

\4_

CI0.I0)

Сравнивая

вырааеяне

(10.8)

о ураввонием оеллмана

(9.8),

полученным

в предыдущем параграфе ва ооново принципа опти­

мальности ,

можно заметить,

что они полностью идентичны, а

ОТнкцин ^ представляет

собой функцию Беллмана задачи

а О Л ) , (10.2а).

95

со eon

J

А/. Г;

л*.

Ж~МО)+Л*,М

*/

( 1 0

Л 1 )

ори

«У(п+1)

- О

Тогда

оптимальное управление aalxotaa на уолова»

^ / f e ^ ^ f X f t ^ M ^ H r ) /

l I 0 I 2 .

Уравненыe (10.II)

для

определяв* функцн»

которая,

будучи подставлена в

(10.12), воввоиог

и г а

о м »

При ограничениях на фаювыв жоордаватн я веданной на ­

чальной

ооотояяии сУ0 нужно я ооометотвии о (10.8)

учнтм-

i s » не только пряные

ограничения ш управление, во я уоловие

ара у о оовин

I t t i / ^ а- > **•

Согласно (10.II)

Подсчитаем J{3) •= +3; J (2) «• +2 + 8.2

8

У ( ^ г ф 8 - ( - 1 ) - - 7

достигается при

= - I , уоловне

приводит к

- +1

Иэ аналогичных соотношений

получив ^ = +Ц 4С3 » 0.

Оптимальная последовательность управлений и соответствующая

ей траектория показаны на р я с

ЮЛ.

10.5. Оценка решения

Рассмотрим

первоначально связь, заданную в прямой форме (10.2а).

Подотавляя

вне ото <У^^

функцию

/ п

, перепишем

функционал

S = I

•+ 2

| < № ч / п

tew)]

-

w . y ^ J

+

Записанный

л такой форме

функционал 2

равен X

лишь при уоловии (10 . 2а) . Можно утверждать,

что для любой функ­

ции

Действительно, множество, определяемое лишь ограничениями

на

1Ц и

шире, чем Д. На Э

S

= I

, а значит, равны

их

верхние

грани. Функция

найденная

по условию

(10.8),

97

замечательна тем, что для нее неравенство в

СЮ.13)

превра­

щается

в равенство, так как <S^pS не аависит

от X,-, для

воех У,-

€ Vc,

в том числе

для

, удовлетво­

ряющих

связи.

Таким

образом,

искомый условный максимум

функционала

I

Sa-f

Т

— i^J- S<-<-f>

Неравенство (10.13) позволяет дать оценку сверху предпо­

лагаемого

решение.

Для этого

нуино

задаться

произвольной функцией ^ ( L,

XL-

)

и составить

функционал

в форме

(10 . 3а) .

Затем

каждое

из

слагаемых этого

функционала

_

г -

1,2,..

.

П -

i .

Нетрудно заметить, что

здесь

существует

полная аналогия .о

оценкой

задачи нелинейного

программирования

(ом. п. 7.7).

Бее

рассуждения, проведенные

для пряной формы овязи,

также к

заданию функции

и

максимизации каждого из

слагаемых

в

(10.5)

по всем

трем

переменным о учетом евнви J-H =0;

в общем

олучае,

когда функция <-f не удовлетворяет уравнения*

сЮ.6),'

(10.7),

значение

» обеспечивающее лакоимум

i - те