книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

Доказательство. Пусть в (3)

а =

2. Тогда

M\ X( t + M) — Х(/)| 2 =

/?,(/ +

А/, / + А / ) -

— Rx(( +

At, /) -

Rx(/, t -\- At)

+ Rx(t, t)

= А?

^ ( Н ~ А / Д +

AQ - R

x(t +

A t , t ) - R x(t,t + Al)-\-Rx(tJ) _

АР

^ \ р

dtds

s)

t

s

что согласно (3)

и доказывает теорему.

Например, функция (2) не имеет второй смешанной производ­

ной. Поэтому неудивительно, что

случайный телеграфный

сигнал

Х(()

не является непрерывным п.

н.

на всей оси t.

Однако процесс X(t), для которого

Rx(t,s)

е - ' (' »>•.

непрерывен п. н.

на всей оси /,

так как для него существует

d 'R A t.s)

s „I

dt ds

Производная

Производная в ср. кв. Х'(1)

случайного процесса X (t)

опреде­

ляется так:

X(t-\-At) — X (t)

^

А'(О

1. 1. m.

ММ)

At

Процесс X(t)

называется дифференцируемым в ср. кв.

на ин­

водная в ср. кв.

конечная с вероятностью 1.

в ср. кв. случайного

Т е о р е м а

4.

Для дифференцируемости

процесса X (t)

на интервале (а, Ь) необходимо и достаточно суще­

ствование на диагонали s — t&(a, Ь) второй

смешанной производ­

lim М '

X(t + At) — X(t)

} ( X(t + A/') — X(t)

М, НС—о

At

At’

Rx(t + At,t + At')~ /?,(/ +

А/, О- ■Rx(t,t + A t ' ) + R x(t,i)

=lim

At At'

М. ДГ-0

&Rx(t. S)

dtds

S~ t

M \ X ' ( t ) ] = - ± - M [ X { t ) I;

(5)

at

M\X'(1)X*(s)] =

- ? - R x(i,s)-

()t

M [.X'(7) X'* (s)] =.

f -

/?,(/, s ) .

(6)

Из (5) видно, что знак производной можно выносить за знак

математического

ожидания.

Равенство

(6)

дает

д*

Rx(t,s).

(7)

Rs V, s ) =

dtds

Из (7) и предыдущей теоремы следует теорема 5.

в ср. кв.

Т е о р е м а

5.

Для существования п-й производной

случайного процесса X (t)

на интервале

( а ,Ь) необходимо и доста­

точно существование на

диагонали

s =

lQ(a,b) 2 п-й

смешанной

производной

дгп

(8)

Rx(t,s)

вает теорема 6.

6. Процесс X(t)

Т е о р е м а

непрерывен и. н., если он диффе­

ренцируем в ср.

кв. Процесс X(t)

дифференцируем п. н. п раз, если

f L{i)X(t)dt :--\. \. щ.

У X{t\) X {й)Ы;,

(9)

а

п~*°°

/=1

ГА°

Af, =

ь

ti€

t,\ и /? —>- оо так, что

шах Дtj

0.

Т е о р е м а 7. Для

существования интеграла Римана в ср.

кв.

j

f

X(t)X(s)Rx((,s)d(ds,

(10)

а

а

где Rx(t,s) — второй начальный момент процесса Х(1).

цесса X (/).

в силу леммы 2

Доказательство. Существование предела (10)

лекции 7 равносильно существованию числового предела

lim М

m

,

,

\*

v Х( и) Х[ й) Д/1,- 2

4 s i) X(Sj)

As,- =

/= i

J .

=

lim

2

£'•№)'•(«/) Rx (t't,Si)M,ASj.

"■m- “ i-=i /=i

Но это по определению и есть

интеграл (10). Теорема доказана.

ИнтегралСтплтьеса в ср. кв.

от неслучайной функции Х{1) по

случайному процессу Х(1)

определяется так:

]x{t)dX(t) = 1.

i. m. i>.(*;)[*(/,) - A'(//_,)l.

(11)

a

n-+ ™ ^-„1

]]x(t )X(s)d*Rx(t,s).

(12)

lim

М | £ ч < ; н в д - X ((;-,)

>-(S/)[X(s;-)— X ts/-,)]

п,

и=1

1/=1

-

П т

п

т

,

,

v

2 lK(tl)>.(sl)\Rx(t„sJ) - R x(tl, s , - , ) - R x(t,-bSJ) +

n .m ~ ~

i = 1

/= 1

+ З Д - 1 ,

Sy-i) 1-

(13)

Но это по определению и есть интеграл (12). Теорема доказана.

Пусть в

(11) процесс

X (t)

центрированный

с некоррелирован­

ными

приращениями

на

непересекающихся

интервалах, т. е.

если 0

t <Д s,

то

M[{X(O-X(0)}{X(s)-X(m*] = 0.

(14)

Условие

(14) равносильно условию

Rx(t,s) =

M\X(t)X*(s)] =

F\m\n(t,s)}.

(15)

Действительно,

интеграл

(11)

не

изменится от

прибавления

к X (() произвольной случайной величины. Поэтому будем считать

АДО^О. Тогда при О< Д •< s

условие

(14) дает

Rx(l, s) == М \Х (/) X* (s) ] =

М [{X(() -

X (0)} ({X (0 -

X (0)) +

- X ( 0 } * ] =

M | X ( 0 - X ( 0 ) | * = F(/),

(16)

т. е. получили условие

(15). И наоборот, при

условии (15)

и 0 <С t С s слагаемое

34 | X (s) — А' (0) Р = М | [X(s) - X (/)} + {Х(1) -

X (0)) р,

откуда при 0 <Д <Д<; в силу

(14) получаем

F (t) =

M\ X (/) — X (0) Р =

М\ У (s) — X (0)р — М \ Х (s) -

X (0 |* =

что дает

= F ( s ) - M \ X ( s ) - X ( t ) \ \

F ( s ) - F ( i ) = M \ X ( s ) - X ( t ) \ * > 0 ,

(17)

т. е. /Д /)— неубывающая.

При / < s

в силу (15) для (/, /)-го члена суммы

(13)

имеем

4 t i ) i - ( s ' i ) l R x U t , S j ) — Rx(1i> s/- i)— R x U i - ь Sj) + R x V i - ь V -i)| =

= /.

(si) [F (/,) -

F ((,.) -

/=■(/,_,) + /Д<,-.)]

= 0.

Аналогично и для t > s.

Однако предел

(13) не равен нулю за счет диагональных точек

1 — s и в силу (17)

имеет вид

lim М

2 > ‘* ( * ; ) 1 в д - * ( * , - 1 )

= Нт Я ‘Н Ъ ) [ Г ( и ) - Р ( и - 1)\.'

П-+во

./=1

П-*

И з(2)

следует

II b i j II =

|| А,- j

т. е. матрица ||bi;-||

обратна

корреляционной матрице

||К /;-||.

Итак,

распределение (1)

при

любом н = 1 ,

2, ... определяется

математическими ожиданиями а,-

и корреляционной матрицей ||/С,-. ||

(/,/ — 1,

2,..., п).

Это значит, что нормальный

процесс

X(t) пол­

ционной функцией Kx(f,t').

(я = 1 ) , а

С другой стороны, тх(1) определяется одномерным

Л'д.( /,/')— двумерным (я-— 2 ) распределениями. Но

одномерное

Характеристический функционал (А. II. Колмогоров, 1935 г.)

есть обобщение характеристической функции.

Характеристическая функция g n (

X

к п) системы

определяется так:

(Х|, Х2, ...,

Хп)

(3)

!

V

4 х*

(4)

g-„

кп) = М

к =

где

I — мнимая единица.

Пусть

f n

{ X \ , . . , ,

х п) есть

плотность

вероятности

системы

( 3 ) .

Тогда из

(4)

имеем

1 к'к

f n (X !.•••. Xn)d x I ••• ^Хп,

т.

е.

gn(ki, . . . , >.„)

есть я-мерное

преобразование

Фурье

для

/и (•И) • • •, хп).

Обратное преобразование Фурье дает

1

,

-i

t

V»

(5)

fn(X Ь —*„)J - f

*- 1

н *g

n ( l v . . . , \ l) d ) . i ' . . d K n,

(2т:)" J

т.

e.

задание

k n )

равносильно

заданию

f „ { x i , . . . , x n)

и наоборот.

Имеем

nis

М [Л]

М

j' X(i)X(i)dt

=

J l ( t ) M\ X{ t ) ] dt

=

f k(t)mx(t)dt

( 1 0 )

D a ' Ж |(Л — ni\ )г|

M

I

yh(t)[X(t) — mx(t)]dt

— M

J ).(t){X(t) — rnx(1)}dt

J X(t') {X(V) — m(i') }dt'

- m

—

os

=

fj-k(t)X(t')Kx(1,t')dtdi'.

( П )

Мз

(9),

(10)

и ( 1 1 )

для нормального

процесса

X(t)

получим

характеристический функционал

g[k{t)] =

exp

) ).(t)mx( t ) d t - ± -

jj l(t )l(t' )Kx(t,t')dtd^.

( 1 2 )

Функционал (12) можно принять за определение нормального

процесса X(i).

полностью

определяется

Из (12) видно, что нормальный Х(1)

двумя

неслучайными

функциями

tnx(t)

и Kx{1,i'),

из

которых

mx(t)— произвольная,

a Kx{t,t')— неотрицательно определенная.

Отсюда следует, что любое неотрицательно определенное ядро

Kx(t, О

можно рассматривать как корреляционную функцию неко­

торого процесса, что и отмечалось в лекции 6.

Каноническое разложение

Каноническим разложением случайного процесса X(t) назы­

вается представление его в виде

X(t) =

mx{ t ) +

J

ф (/>м)<*Фх(со),

(13)

где тх(/)— математическое ожидание процесса Х(/);

ф(/, со)— неслучайная

функция

аргумента

t

и

параметра

со,

которая называется координатной и выбирается так,

чтобы приращения с/ФЛ(со) случайной центрированной

функции Фд-(со) в разных точках со были некоррелиро­

ванны, т. е. удовлетворяли условию

Л

^

Ф

,

(

с

о

0

<

при

СО =7^ со',

*

(14)(

с

)

*

Ф

д

.

dSx(со)

при

со =

со',

Из (13) и (14) следует

КХ( ( , П = J Ф(Л oj) ср*(Г, с о ) (to).

(15)

Kx(t,(')

процесса Х(1) можно представить в

виде (15),

то

сам

процесс X(t)

можно представить в виде (13),

где центрированные

амплитуды с/ФА-((1)) удовлетворяют условию (14).

Х(1)

Отсюда

следует, что задача

представления процесса

в виде

(13)

с некоррелированными

амплитудами г/ФЛ(м)

сводится

процесса Х(() на конечном

отрезке [0; Т\

в виде ряда

* ( 0

= к

2-

1

(0 .

(16)

где система функций фрЛ,(/)}

выбрана

гак,

что случайные центриро­

ванные

коэффициенты

ФА(Л =

1,

2,

...)

некоррслпрованны,

т. е.

удовлетворяют условию

Л1[Ф*ф;] =

О А „

(17)

ГАС

-

Ок =

М\ Фк\';

'

-

(

0 при k ф I,

kl

|

1

при k =

/,

аналогом дельта-функции.

частный случай представления (13),

Представление

(16) есть

1де непрерывный

параметр

ш заменен дискретным параметром

Л = 1, 2, . . .

•

Из (16)

имеем

Kx(t, t') = M\X{l)X*{t')] =

M 2 ф *?*(о 5 ;ф ^

( о

*=.1

г-=1

=

2 < P * ( 0 * t o ' ) A f К ф П-

Отсюда в силу

*, г-i

(17)

Kx { t J ' ) = 2О *<р*(0<р1(П .

(18)

к -

1

Как уже отмечалось, представление (16) будет

найдено, если

найдем представление (18).

получить

используя теорему

Представление

(18)

можно

Мерсера.