книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

Пример. Значение случайного

телеграфного

сигнала X(t)

(рис. II) в любой момент времени

t с одинаковой

вероятностью

равно нулю

или

единице,

а число скачков т от

одного значения

к другому

за

фиксированный

отрезок

времени

длнны|т| имеет

распределение Пуассона

Pm (М ) =

(?>1т|),Я-г-МЧ,

ml

где А— среднее число скачков за единицу времени.

Найдем /»*(/)

и Kx{t, /')■

1j=/>[X(/) =

т д. ( / ) = 0 - Я [ Х ( О = 0 1 +

\ P \ X { t ) =

11 = - ! - .

Пусть

А'(/)

X, X

X

' .

Тогда

а д п = (

о - | )

( о - | )

Р[ (X = 0) (X' =

0) ]

I

Р [ ( Х = 0 ) ( Х ' = 1 ) ]

+

( ° "

1 - - ^

1

0

1) (X' — 0) | -j

---- -- j ^ f (X =

. - 4 - V i

1

[Р (X =

0) Р ( т— четно) — Р (X = 0) Р (т— нечетно) —

— Р (X — 1)Р(т — нечетно) -ф Р(Х— 1 )Р(т — четно) ] =

— [Р( т—четно)—Р( т—нечетно)] =

— е~}А*\

«

( —>.|т|)"

ш=0

+

4

4

т !

(т-че тн о )

+

V

( -

/-М

_

I

£

( —>-ht)m

1

4

m=o

ml

4

т=1

т

(т -нечетно)

•т. e. здесь К.сф, О

оказалась зависящей лишь от разности Г — t = т

Тогда предел

max (xt — х , - 1) -+ О,

п

Пт

2 /( л-/)|Т (а- . ) - Т ( л-._1)|.

I—1

— во

(I -►---ОС (I

Ь-*- ое

•

•

9

■

•

> х

x - t

а - х п

х , x t

Xn-t &s Xп

Рис. 12.

Согласно рис.

12 имеем

f

f(x)dF(x) ~ \ i m

S

f(x\)\F(xt)— F(jc,_,)] +

litn

f {x{) | /=■(*,) —

o*—0

i—l

,

ЛТ-^Л+О

A'., - a -0

— F(x-i) I -

J

f(x)dF(x)-\- f(a) [F(a +

0) — F (a — 0)],

«+o

t . e.

J

f(x)dF(x) —

J f(x)dF(a' ) = f(a)

[F(a +

0)— F(a — 0)].

(3)

и —и

а +0

J f(x)dF(x) =

'?f (xk)\F(xk-j- 0)— F(xk— 0) |,

a

k

— F(Ь) — F(а).

Поэтому если F (х) есть . функция распределения случайной

величины X,

то

-

P ( a < X < b ) = F(b)— F( a) = $ dF( x) .

а

g(t) = M \eiiX\ = ] e “*dF(x),

(4)

—во

Стплтьеса выражается формулой

F(x2) - F ( Xl) = - - ± lim ]

e: ‘'J - .e — g ( t)dl,

(5)

2i« г - » - г

t

где i — мнимая единица;

xu x2— точки непрерывности F(x).

тельность {Хп} сходится "к

величине X по

вероятности (по вер.),

если при любом е > 0

limPdX,, — - ^ | > е ) = 0 .

(6)

!%-*• ОО

Сходимость (6) обозначают

или

Х =

р \imXn,

где р — сокращенное английское «probability» — вероятность.

Дадим второе определение сходимости.

Говорят, что последо­

вательность

{X,,} сходится

к величине X в

среднем квадратичном

(ср. кв.), если

(7)

П т М | Х п— X |2 — 0.

Сходимость (7) обозначают

V

CD. KR.

или

Лп--------- > х

X — 1. i. m. Хп,

И-►о®

где 1. i. m. -

сокращенное английское «limit

in

the mean» — предел

в среднем.

так как на ее основе

Сходимость (7) используют наиболее часто,

легко доказываются многие предельные теоремы.

В силу неравенства Чебышева

/ > ( | Х „ - Х | > е) < М \Хп~~Х \\

из (7) следует (6). Но из (6) не всегда

следует (7), хотя бы

потому, что для сходимости

(7)

требуется еще существование

М\ Хп — Х \ \

Однако на

практике из (6)

часто следует (7).

мости. Говорят, что последовательность {Xп) сходится

к вели­

чине X почти наверное

(п. н.), если реализация

*1,

-^2)

• • -, %п1•• •

последовательности

\Хп} сходится

к

реализации

.V

величины X

с вероятностью

1, т. е.

если

P( hmXll= X ) ^ \ .

(8)

ос

Сходимость

(8)

обозначают

X„XiIi.> X

или

X =

s l i m X rt,

П-+■»

где х — сокращенное английское «surely» — наверное.

Сходимость

(8)

равносильна условию

lim Р (sup | X„ + m — X ] > е) = О,

(9)

Л -*■ оо

m

т. е. вероятность того, что хотя бы при одном т — 0,

1,

2, . . . ВЫ110Л-

нится неравенство

|7Ci-f т

X |

е,

стремится к нулю при « —*- сю.

Отсюда видно,

что

сходимость

(8)

накладывает

ограничение

на бесконечномерное распределение

вероятности системы

(X, Хп, Х„ + ь Хп+ г, . . .),

тогда как сходимости

(6) и (7) накладывают ограничения только

на двумерные

распределения

вероятностей систем

(X, X п)

при п — 1,2, .. .

Из сходимости

(8)

следует

сходимость (6) к тому же пределу

X, так как из (9) следует (6).

Но из

(6) не всегда следует

(8).

Из сходимости

(8)

еще

не

следует

сходимость

(7) и обратно.

Это видно из примеров [5, §

5.

1]:

что

Хп

0

п

р

1—

—

1

"я*"

п'

Тогда

/J (sup| Л'я+ /„—0| > s ) <

V P(|.Y„+m—0| > е ) = V

-----‘

откуда

т

ш—(I

т

0(tl1 ту

lim Р (sup | ХП1

,п—

0 | >

г) =

О,

т.

е.

Хп—

>• 0.

Но

lim М Xп— 0 р =

lim 1 -

1,

/г-*- •с

т. е. {Л1,,) не сходится к нулю в ср. кв.

независимыхслучайных

2.

Пусть

{X,,} — последовательность

величии,

таких, что

0

1

1 - - L

1

II

п

Тогда

Пт М\ Хп— 0| - =

Пт — =

0,

т.

е.

п - 00

И-► оо / I

1. i. т .

.Y;J =

0.

По

п„ — 1

пи

По -)- 1

Р(Хп— 0 для

всех п

О,

По) = ----------- .----------

п0 4- 2

п0

и„ 4- 1

сходится к одному

и тому же пределу с точностью до

эквивалент­

ности.

если {Xп} сходится к X в ср. кв., то {/Y,,} сходится

Действительно,

к X и по вер.

С другой стороны, если {Хп} сходится к

У

п. и., то

(Л-,,) сходится

к У и по вер. Но {Х,,}

сходится по вер.

к

одному и

тому же пределу

с точностью до

эквивалентности P(X = Y) — 1.

Т е о р е м а .

Для сходимости в ср. кв.

последовательности {Хп\

необходимо и достаточно условие

\\тМ\Хп— Хт\* =

Ъ.

(10)

л,

Доказательство. Возвысив в квадрат неравенство

I Хп— Хп | = | (Хп— Х)4- (^Y

Xm)\ ^ \ Х п— -Y | 4 - 1Х,п— X |

Непрерывность

Случайный процесс Х(1) называется непрерывным в ср.

кв.

в точке /, если

I.i.m. X{t') = X(t).

( 1 )

был непрерывен на диагонали s =

/ е (а, Ь).

равно­

Доказательство.

Равенство (1)

в силу леммы 2 лекции 7

сильно равенству

ПтЛ! [X(t')X* (s')] = М | X (/) | 2,

Г, V-f

ТС-

UmRx((',s')= Rx(t,t).

f , S'-+t

Но это и означает, что непрерывность в ср. кв. процесса X(t)

на (а, Ь) равносильна непрерывности функции

Rx((,s) на

диаго­

нали s = t е (а, Ь). Теорема доказана.

Из непрерывности Rx(t, s ) на диагонали t — s

следует ее непре­

рывность во всех точках (/, s).

Действительно,

если Rx(t,s) непрерывна на диагонали / = s, то

по предыдущей теореме

I.i.m.

X (l') = X (t),

I.i.m. X (s ' ) = X ( s ) .

t’-t

s’ —&

Т- е-

lim

Rx(t',s')*=Rx(t,s).

t ’-*t

s '- * s

Но это и означает,

что Rx(t,s) непрерывна во всех точках (/,

s).

Случайный процесс X(t) называется непрерывным п. н. в точке /,

если его реализации x(t)

непрерывна в точке i с вероятностью

1,

т- е-

s

lim X ((') = X (I).

r - t

Например,

для

случайного

телеграфного сигнала

X(t)

имеем

(см. пример лекции 6).

Rx(t, s) =

Kx(t, s) +

mx(t)mx( s ) ^ ^ - e - n \‘- x\ -f

,

(2)

4

4

т. e. Rx(t,s)

непрерывна на диагонали t — s. Следовательно, X (()

M\X(t

S.t) — X(t )\ 2 — \t - М\ Х |2 —

o o .

Т е о р е м а 2 (Л.

И.

Колмогоров).

Если

в

каждой

точке /

интервала (а, Ь) при некоторых числах

а > 0,

е > 0 и

0 <[ С <С °°

выполняется неравенство

M\ X(t +

М) — X ( 0 1“ <

СI V 11+ %

(3)

то случайный процесс X(t)

непрерывен п.

и. на (о, Ь).

п.

и. мате­

Отсюда при а =

2 следует, что для

непрерывности

просто стремиться к нулю, как в случае непрерывности в ср.

кв.

Т е о р е м а 3. Если для

второго

начального

момента

Rx(t,s)

случайного процесса X(t)

на диагонали

s = tQ(a, b)

существует

вторая смешанная производная, то

сам

процесс

X(t)

на

(а, Ь)

непрерывен не только в ср.

кв., но и п. н.