книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

—

О)

п * = i

D[m„(t)\

1 D 2 *k(t)

= — **(', t).

k = i

n

т г = -1 -Г x(t)di,

(2 )

Стационарный случайный

процесс X(t)

называется эргодичес-

ким, если

1.

i. m. тпт— тх.

(3)

Q 1319

81

ства всех его реализаций.

как в силу

стационарности X (()

Оценка (2) несмещенная, так

имеем

т

~

I f *2

М [x(t) ] dt =

mx.

— \

Теоремы об

условиях

выполнения равенства (3) называются

эргодическими.

Э р г о д и ч е с к а я т е о р е м а

Х и н чин а.

Для

любого стацио­

нарного случайного процесса X(t)

предел

1. i. m.

mT

(4)

оо

существует и равен скачку

d<D,(0)E=<Di(-l-0) — Ф , (— 0 ) =

1. i. щ. [Ф,(А) — Ф,(— А)]

h -*■+0

преобразования

Фурье — Стилтьеса ФДы)

процесса X(i), т. е.

1. i. m. mT — cKbi (0).

(5)

T~+oo

s

Доказательство. Для любого стационарного X(t)

имеем преоб­

разование Фурье — Стилтьеса

X ( t ) = J

<*Ф,(<а).

Используя это, из (2) получим

ГПт■ -Lj

Т .

о. г

ш

-/ш-

ЙФ] (со) =

со Т

sin

=

J --------------- йФМ

■

( 6 )

0)Г

'

Но при Г . Г - уоо разность

sin

и>Т

sin

>F

(ОГ

>F

2

2

стремится к нулю при любом со ф 0

и при со —=«- 0.

Поэтому

1. i. m. (тт— гпТ’)

0.

т, Т'-* ~

Отсюда в силу леммы 2 лекции 7 имеем

lim

М | тт— тт |2 ^ -0,

т,

т. е. критерий существования предела

(4) выполняется. Следова­

тельно, предел (4) существует.

0

для

(6)

имеем

Далее при фиксированном

ш Т

с/Ф )((о)=( J

+

J

+sin

шГ

sin

А

J

с/Ф,(ы).

(7)

(ОТ

оо

-Л

и) Т

| Ф, (/г) — Ф, (— /г)|,

так как

sin х ^ ^

процесс Х(/) эргодический тогда

и только тогда,

когда

d(bl ( 0 ) = m x.

(8)

Для флюктуации X(t) — mx имеем спектральное разложение

X(t) — mx =

j е1ш‘ с1ф(ы),

--00

c /S (0 )::Нгп[5(/г)— S( — /?)] = lim

f s (со) c/co =

0.

/i~* hn

h-^+0 _ft

Если же dS (0) Ф 0, то в силу (10)

Ф (со) имеет скачок в нуле, т. е.

с/Ф (0)

1. i. m. [Ф (/г) — Ф (— h) ]

ш, ф 0.

При этом

Л-*-Ь0

X ( t ) = m , +

Ге'»'</Ф2(м),

где

(

- 0

при

со = 0,

с/Фг (со)

при со ф 0;

Ыф(о))

т , = с/ф(0) — случайная величина,

которую

можно

выбрать так,

чтобы М [СП)] = 0.

то процесс X(t)

Таким образом,

если с/Ф(0)=^-

0,

содержит по­

через его корреляционную функцию kx(т).

Э р г о д и ч е с к а я

т е о р е м а С л у ц к о г о . Стационарный слу­

чайный процесс X(t)

эргодический тогда и только тогда, когда

lim —

f kx(x)dx — 0.

(И )

Доказательство.

Г о

Д о с т а т о ч н о с т ь . Среднеквадратическую

ошибку оценки

(2 )

преобразуем так:

Ет^ М \ т т— mx I®

( 12)

г

г

г

Ет= М т

[X(t) — mx] dt

kx(t — s)dtds'

.

1

2

2

2

=

(kx(r)dxdo,

(13)

Т2 оо

\kx(x)dx<^eo

(14)

о

при любом сколь угодно малом е > 0

и о >

Г0(е).

Кроме того,

в

kx( x ) d x < k x(0)e

(15)

при а ^.Т0(е).

и (15):

Оценим интеграл (13) с помощью (14)

Ej

----

т

т

1

f kx(0)oda -}- f coda

y*2 {Ь.ЛЪ)Т1+ъТ*-гТ1].

7 2

о

т0

Отсюда

lim Ет— 0.

(16)

Поэтому в силу

(12)

Т-+со

1. i. m.

mT — mx,

(17)

T-*■OO

t . e. если

условие

( 1 1 )

выполняется,

то

стационарный

процесс

X (t) — эргодический.

процесс X(i)

Н е о б х о д и м о с т ь .

Если

стационарный

эргоди­

ческий, т. е. выполняется (17),

то в силу (16)

и (13) условие (11)

выполняется. Теорема доказана.

Условие

(11) проверяется сложно.

Поэтому на практике вместо

( 1 1 )

часто используют простое, но более сильное достаточное усло­

вие эргодичности

lim kx(x)— 0.

Ы ~~

Смысл всех условии эргодичности состоит в том,

что зависимость

между сечениями X(i\)

и X (t2) эргодического X(i)

должна доста­

точно

быстро убывать

при 112— Л |->оо.

Только

в этом

случае

Kn ( t , s ) ^ — £

\xk (/)— mx(t)]\xk(s) — mx(s)],

n ft = i

если mx(t) известно,и

Kn{ t , s ) ~ — Ц -

£ [**(0 —

— "*„(«)]>

n — l k = i

Пусть

теперь процесс X (t) — стационарный и для него тх

известно.

Тогда можно считать, что тх =

6. При этом

kx(xy = M[ X( t ) X( t +

r)],

т. е. kx(x) есть математическое ожидание процесса

Yx( t ) — X(t)X(t +

%),

где х — параметр.

Имеем

M[Yx {t)) = kx(x),

т. е. М [Y.

(^)] не зависит от t. Поэтому процесс Yx (t) будет стацио­

M[Yx{t) Yx (f + s)'] =

M[X(0X(* + T ) X ( f + s)X(/ + s + t)] =

= v 4(t , s),

где V4(т, s) — начальный момент 4-го порядка процесса X(t).

Так как kx(x)

есть математическое ожидание процесса Yx (t), то

оценку для kx(x)

стационарного Ут (t) можно получить осреднением

по времени

^ ( X)==— L _ ]:' t * (* )* (* +

т)*И,

( 18)

если

Т— т&

~

(19)

\ . \ . mkT{x) = kx(x).

Т-*■«в

Здесь

x(t)— реализация стационарного

X(t),

известная

на

отрезке [0; Г ].

которого

выполняется

Стационарный случайный процесс, для

условие

(19), называется эргодическим по отношению к корреля­

ционной функции.

Условие для

сходимости (19) получим, применив условие

(11)

к стационарному процессу Yx(t). Это дает

lim -|r ГЬ 40с, s) — k2x'{x)]ds = 0,

(20)

г-~

Т о

Л1 [{^(0 Х(# + г ) - М [ Х ( 0 Х(^ + т)]}{^ (/ + 5)Х(# +

5 + т ) -

- M [ * ( / + s ) X ( / + s + t ) ] } 1 = v 4 (t , s ) - # ( t ) .

Оценка (18) очевидно несмещенная. Если

выполняется

условие

(20), то она и состоятельная, так как из сходимости в ср.

кв. (19)

следует сходимость по вероятности

Пусть стационарный процесс X(t) имеет тх =

0 и спектральную

плотность s*(o)). Тогда, как уже известно,

М т ) = 1

е‘ш' sx(<i>)di,y,

( 1)

kr (t) = ---- ------ Т ( x(t)x(t + j)dt.

( 2)

Т — -

о

Ради упрощения вычислений опенку

(2) приближенно заменим

упрощенной оценкой

^ ’(т) = —

\ ' x(t)x(t

\-T)dt.

(3)

*(/)ssiO при

/6 [0 ; Т);

(4)

при

11 1> Г,

(5)

I f (to)

—^—

Г

Г е~ы~x(t)x(t + x)dtdx,

2я JT

2*Т

} т

Й