Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

и учтем (4). Тогда	1 Т т	у— aimt
	1 Т т	у— aimt
/г (со) =		’eimt х (t) х (t')dtdi',
и окончательно	2кТ j \|
и окончательно	1	j1е~ы x(t)dt	(6)
	h (“)	j1е~ы x(t)dt	(6)
	2tzT

Оценка (6) называется периодограммой.

Найдем ее математическое ожидание и дисперсию. Для этого преобразуем интеграл в (6), подставив в него спектральное раз

ложение для X(t) и изменив затем порядок интегрирования:

J e~imt x(t)dt =		[	j	е~и (и'-ю">d(bx(u)')dt =
			.	T (о)' — со)
“ i t -----		2sin ---1—?:------
= \e	2			со	•с/Ф,(со').
b				со	— со
Из (6) и (7) найдем				sin' Т(ш' — со)
				sin' Т(ш' — со)		dSx(со').
Щ 1А 1) 1 =	4 -	?	-	"	. 2	dSx(со').
	тгТ				(со — со)2

Здесь при Т —>• оо

■ t Т (со' — о))

( 7 )

( 8)

2 Sin	2	б (со' — со),	( 9 )
кТ	(о/ — со) 2

где б (со' —со) — дельта-функция.		существует, то
Из (8) и (9) следует,	что если яДсо)

lim М \1Т(со)] = вДсо),

Т-*■оо

т. е. оценка (6) асимптотически несмещенная.

Если X(t) содержит гармоническое слагаемое Ае~ы со случай

ной комплексной амплитудой А, то в силу
kx{x) =	M[X(t)X*(t +			т):]
kx{%) =		\| e‘^ d S x(со')
спектральная функция		c .	,
		* бд : (С О	)
в точке со' = со имеет скачок величины
а — М[АА*].				(8) и (9) равен а -Т
Вклад в М [/Г(ю')] от этого скачка в силу
т. е. в точке со' = со /г(со')->-оо		при	Т-*■оо.	2я

Следовательно, h (со7) при больших Т имеет острые пики в точ
ках разрыва функции Sx(a')	(рис. 16). Это свойство периодограммы

h (g)) используют для	выявления		гармонических	составляющих
в процессе X(t), скрытых шумом.				получим
Для дисперсии D\ IT(to)] аналогично выводу (8)				получим
D [/г (о,) ] = М [/?(«>)] — М2[/г (со)]=
	sin' Т( о / —		G))
■кТ	(со'— со)2		sx (u/) dco'
■кТ	(со'— со)2
, Т( со' — со)		.	Т{ а/ + со)
Si n ---- ----- ----------		Sin	---- ------й--------
2			sx (<«') dm'		( 10)
■кТ	G1		СО - - О)

Второе слагаемое правой части (10) в случае со=^0 стремится к нулю при 7-> оо , так как два множителя подынтегральной функ ции имеют острые шах в разных точках со' ± со, а при удалении от

этих точек	быстро стремятся	к нулю.	Но	первое слагаемое		при
Т-+оо к нулю не стремится,		а при <о =	0	не стремится	к нулю и
второе. Из	(10) в силу (9) имеем
	lim D [1Т(«)] —	2s* (0)	при	о) = 0,
	lim D [1Т(«)] —	s* (0) при со ф 0.
	Т~*-оо

Итак, D [1Т(со) ] не стремится к нулю при Г-> оо, т. е.					оценка	(6)

не состоятельна.

Однако путем сглаживания периодограммы 1т (со) можно по лучить состоятельую оценку для s * ( gi) .

Например, из (1) при

s* (со) ~ h (со), кх{т) ^ k r ) (x) и т = 0

имеем

J /г (a>)dco = *r*(0).

Это показывает, что сглаживание периодограммы 1т (со) (пока по всем частотам) дает величину

Аг’ (О),

дисперсия которой стремится к нулю при Т-*■оо.

Теперь воспользуемся теоремой [7, § 38]: если последователь ность характеристических функций gr(i) случайных величин схо дится к характеристической функции g(t), то последовательность функций распределения этих случайных величин в каждой точке непрерывности функции распределения F(x), отвечающей характе ристической функции g(i), сходится к F(x).

Из метода получения оценки (6) следует, что k(T]) (т) можно

рассматривать как характеристическую функцию случайной вели чины с плотностью вероятности / г (со). Тогда согласно указанной теореме и в силу того что последовательность функций

4 1’ (т)

при Т— оо обычно сходится почти наверное к kx(x), можно утвер ждать, что функция распределения, отвечающая плотности /j-(co), будет сходиться почти наверное к функции распределения, отвеча ющей плотности s* (co ), т . е. при Т-^оо

	J h (о>) dto —		►\ sx(со) п(со.		( 1 1 )
	а		а
Можно показать, что из (11) следует более общее соотношение
оо	(со) Л (со —		оо	соо)^со,	(12)
j"/ г		(Dn)d(o п. н.	j" Sj.((o)Л (со —
где Л (со— осп)— произвольная непрерывная функция.					при
Функцию	Л (со — соо)	обычно	выбирают так,	чтобы она
со = соо имела	максимальное значение и ограничивала единичную
площадь. Тогда левую часть (12)			при достаточно большом Т при
нимают за оценку для s*(coo).

Чтобы оценить всю функцию ^(со), используют целый набор функций Л (со — соо), имеющих max при различных значениях со — соо.

Функция Л (со — соо) называется	спектральным окном,	выреза
ющим интересующий нас участок спектра.
Чем шире «окно» Л (со — соо), тем быстрее стремится к нулю дис
персия левой части ( 12) при Т	оо, но зато тем более	грубая
оценка для sx(co) при этом получается. Иначе, чем шире		«окно»
Л (со — соо), тем меньше случайная	ошибка оценки для s*(co), но

тем больше систематическая ошибка этой оценки, т. е. оценка для s*(co) становится состоятельной, но перестает быть несмещенной.

Оценка закона распределения сечения стационарного процесса

Пусть на отрезке [0; Г] получена реализация x(t) стационар

ного процесса X(t), изображенная на рис. 17.

За оценку FT(x) функции распределения F (х) сечения этого процесса X(t) примем отношение суммарной продолжительности времени пребывания реализации x(t) ниже уровня х к общему времени Т, т. е.

Fr (x)	1	(13)
где tk— продолжительность	времени k-vo выброса за	уровень х\
суммирование производится по всем выбросам.

Для доказательства несмещенности п состоятельности оценки (13) перепишем ее в виде

?т (* )= 1 —		z		+ s ig n [x(t) — x]}dt,
	i 5
гДе	.	(	1		при i / >			0,
	sign г/=				H			0.
		1 — 1 при у <
Можно показать [13, гл. 2, §					9],	что		функция — sig n у
первообразная для дельта-функции б (у).							Поэтому в силу
		_ 1_		j	еы‘ч din
	6 (0) = 2тс -
для нее имеем интегральное представление
	1		1		“	,	du)
	— sign у =		------			е‘шУ-----.
	2		2iw А				ш
Используя это,	перепишем	(14)			в виде
	1_	1	т ~					•
	Т _2	±те_/г		оГ А

(14)

есть

(15)

Отсюда		1	Т “	rf«)

			j J е - ‘шхg (ш)-----dt =
		Т 2ш О —-О		W
_	j _	1	£ ( “)	( 1 6 )
~~	2	2тс/

где

g(co) = M [е<“*(0]

есть характеристическая функция априорно случайного сечения x(t), не зависящая от значения фиксированного t в силу стацио нарности процесса X(t).

Правая часть (16) есть F(х). Действительно, дифференцируя равенство (16), получим

- ^ - M [ ? r ( * ) ] = - ^ -		f	e-"g(i»)db>= f ( x ) = - ! ^ - .	(17)
dx	2те	J»	их
Но из (13)	следует
		р lim Fт(х) — 0.
		X-> —•00
Поэтому		11шМ[Д(х)1 = 0.
	Х~+ —		оо

Отсюда в силу (17)

M\FT (x)\ = F(x),

т. е. оценка (13) несмещенная. Далее из (15) и (16) получим

			D [FT (х) ] =		М [{/> (х) - М [FT ( х ) ]}*] =
		-	М	—-------—		[ f	euoix(t)-X] ^ L cll _\|.
				Т	2ш о -о»			w
1	1	Т оо					- 1	1 М	Т оо
		Т оо	-i‘»x g (ш) ^ - d t }						(j j e-*“[g(®)-
			-i‘»x g (ш) ^ - d t }						(j j e-*“[g(®)-
Т	2-гсг о -о				0>	J	Г2	4гс*	lo —О
	ei‘»xd)]^Ldt				1	1	тт
	ei‘»xd)]^Ldt				1	1	М I I	\|\|£ ~ * <01+й>,)*[£(о))—
			(D		Г2	4тт2	0 0	— оо

- e l'"M\[g{*>')-e“"'*^\— . ^ d t d t ' = ^ ~ Y n [ e - ^ + ^ x[gHg(w')-

		О) О)'	Т* 471^00—00
	■g(СО, о/, t ' - t ) ] ^ - - - ^ - d t d t ' ,				(18)
где	g(co), g(o') и	g(&, со', t' — t)— характеристические			функции
сечений x(t), x(t')		и системы	этих сечений (x(t),	*(/'))	процесса
X(t),	причем g(co,(o',l' — t) по времени зависит			лишь от t' — t в
силу стационарности X(t).

Произведя в интеграле

(18)

замену переменных

t =

x =

t' — t

и проинтегрировав по t, найдем

D[FT

4u2 i Ц

— т )е -«“+“'>Д£(ох)£(со')-

Тг

,, dm

dm'

( 19)

— ё ( со, со , т ) ]---------- — ах.

Учитывая,

что

(со, со', х)

jj1

4тса 1"

(О

4it2

w' I xl=x

-Г Г 7

i T

7 fl

8 К <■>', x ) - ^ - ~ \ = - f ( x , x', x) ,

dxdx'

( 4n2

ш' J

равенство

(19) перепишем так:

D[FT( x ) ] = ^ \ ( T - x )

[ F( x , x , x ) - F4 x)]dx,

(20)

T~ о

г д е F(x, x, t ) — функция

распределения

системы

(x(t), x(t-{- т ) )

при x' = x.

и x(t - f-т) процесса X(t )

имеем

Для независимых сечений x(t)

F(x, x , t ) = F * ( x ) .

(21)

Поэтому если для достаточно больших т сечения x(t)

и x(t -(- т)

независимы,

то из (20)

и (2 1 )

следует

l i m

D [FT (х)] — 0,

7* оо

т. е. в этом случае оценка

(13)

состоятельна.

Найдем

оценку fr (*) плотности

вероятности/^*) сечения ста

ционарного процесса X(t).

Пусть @ есть суммарная продолжительность времени пребыва

ния на

интервале (*',*)

реализации x(t)

процесса

X(t)

за

время

наблюдения Т (рис. 17). Тогда примем

JT(x)=J*~,

(22)

ЬхТ

где Ах

= х — х

ПОЛОЖИВ

g — ioix'

( £ ^ х

оценку

(22)

аналогично

(14) и (15)

запишем в виде

}т М = ТгЛгг I(sign Iх (0 — *'] — sign Iх (0 — х]) dt =

= ---1 -------

— \

7 ehox(t)ie-^x’

АхТ

2и/

о -«о

т“

о)

eiu'x(t)e -i«>x dwelt.

= —

. -----j

(1Л

т~

Отсюда

Л4 [ /г (*)] =

—

• —— j'

I' £(<■>)е - ‘"’хdb)di =

2тс о - ос

J _

e-<-«g((1))d(o = f(x),

(23)

2тс д»

т. e. оценка (22) несмещенная.

Далее аналогично (18) и (19) найдем

M [ f 2T(x)) = j i

J _

“j'e -/(»+“')^(co, о/, (' — t)d(ad(a'dtdt'=

4 " 2

it о -*>

где %— i’ — /;

= 4Iг *о( т-

(

х' х' x)dr’

(24)

вероятности

системы

(а ((),

*(^ + т0)

f(x,x, т) — плотность

при х ‘ =

А'.

+ H

процесса X(t)

имеем

Для

независимых сечений x(t)

1 ( Х , х, т) =

f 2 (х).

(25)

Поэтому если для достаточно больших т сечения x(t)

и х(/ + т)

независимы, то из (24) и (25) следует

1im М [ f T(х) ] -

1im JL . f (Т -

т) f (а, а ,

т ) dx = f*(а) .

(26)

Т -*■ ОО

Т -*■ ое 1

Из (23) и (26) получаем

limD[/r(x)l — lim {М [#(*)] — М2[/>(*) I}=

7-*ес

'/’-►во

= f 4 x ) - f 4 x ) = 0 ,

т. е. если зависимость между сечениями x(t) и x(t + т) с ростом |х| достаточно быстро убывает, то оценка (22) состоятельна.

Л ек ц и я 13 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Понятие линейной непрерывной стационарной системы. Переда точная функция.

Весовая функция и ее связь с передаточной.

Корреляционная и спектральная функции на выходе линейной системы. Линейная система как фильтр.

Передаточная функция

Рассмотрим прохождение случайного процесса Х(1) через ли

нейную систему.

Линейной системой называется любой оператор L, преобразу ющий процесс X(t) в процесс Y(t), т. е.

L[ X( t ) ] =Y( t ) ,

и обладающий линейным свойством
L [а,	(/) + «2X2(t)] = aiL [X, (/) ] ф aaL\X.2(t) \| .	(1)
При этом А'(/)	называется воздействием, a Y(t) — откликом.

Свойство (1) обобщается на любое конечное или счетное мно жество слагаемых.

Будем считать, что оператор L непрерывен, т. е.
L [lim Хп (t) ] =	lim L \Хп] ,	(2)
П-'	/!-*■<»

если только обе части этого равенства имеют см^лсл. Оба предела

в(2) можно понимать как в Смысле среднего квадратичного, так и

всмысле почти наверное.

Будем	также считать, что оператор L стационарен, т. е.	при
любом т	Ч * т ( / ) ] = У х ( 0 ,	(3)
где	Ч * т ( / ) ] = У х ( 0 ,	(3)
где	Xz(t)==X(t\-x)
и	Ут(/) = У(/ + Т)

—соответственно сдвиги процессов X{t) и У(/) по оси i на т. Свойство (3) означает, что сдвиг воздействия X(i) на т приво

дит к такому же сдвигу его отклика У,(/)• Это соответствует тому,

1316

что физическая система L имеет постоянные, т. е. tie зависящие от /

параметры.

Докажем, что если оператор L обладает свойствами (1) и (3), то

L\e‘-‘] =

(4)

т. е. применение оператора L к гармонике eiu>t равносильно умно жению ее на не зависящий от / множитель Я(со).

Действительно, полагая

в силу (1)	получим	L	f e	W	J	-	т	Л	О	,
в силу (1)	получим		1т>]		7„,					(6)
С другой стороны,		в силу	(3)	имеем
		L [е'"'«+-)\|		-	т,„ (/	I	т ).			(7)
Сравнив (6) и (7),		найдем
		•j,,, ( /	4- т) =		-р,, (/) е""\
Отсюда при / — 0 получим
		Т'" (т) == д... (О)е'Ч
что в силу	(5) равносильно		(4)	при т			/	и 7„,(0)		Я(<о). Утвер

ждение доказано.

Из (4) следует, что линейную непрерывную стационарную си стему L можно описать единственной функцией Я (со), которая иазывается переда гочной.

В самом деле, зная Я (со), можно получить результат действия

системы L	на	многие функции.					Например,			если X(t) разложима
в ряд Фурье, то в силу				(1)	и (4)
	L [У (/)]= =			L I v <fhe' 'V I				-= £	ср*/ЯЮ Я»>А/.		(8)
				\|	k		I	k
Если X(t) разложима в интеграл Фурье, то в силу (1), (2)											и (4)
L \ X { t ) ) = L		f е‘ш/ (p(co)dco				=	L I	1.1. m.		S в,0‘Ч К)Д«о1
							\| тахД^го~+П			k	I
				Сем Н (со) qp (со) dсо.							(9 )
Если X(t)		разложима			в	интеграл			Фурье — Стилтьеса, то
аналогично	(9)
L[X(t)] = L			f	е1т1йфх(ы)				е1"*Я (со) с/Фх (со)			( 10)
Равенства (8), (9) и (10) показывают, что передаточная											функ
ция Я(со)	линейной		непрерывной				стационарной системы L				одно

значно определяет результат действия этой системы на функции из довольно широкого класса. Это значит, что Я (со) есть достаточно общая характеристика системы L.

	Весовая функций
	Другой метод описания линейной системы состоит в Использо
вании весовой функции.
	Весовой функцией линейной системы L называется функция
//.(/), определяемая формальным равенством
	L [6(/)] =	M 0-	(И )
где	б (/) — дельта-функция.
мы	Таким образом, если Н (м) связана с откликом линейной систе
	на гармонику еы , то h(i)	есть отклик	этой системы на
дельта-функцию.
	Формальное равенство (11) понимают так. Рассмотрим последо
вательность достаточно гладких функций {бл(/)\|,			которая сходится

к6 (0 , т. е. имеет следующие свойства:

оопри t — О,

lim 6 „ (0 = !

О при t 0; lim Гbn(t)dt = 1.

Такая последовательность называется дельтаобразной.

Пусть {6Л(/)} выбрана так, что применение оператора L ко всем ее членам б„(/) имеет смысл. Тогда под h(i) понимают предел

/|( /) - Н т 1 [6 „ (0 ], f!-+оо

если он существует.

Но этот предел, т. е. h(t), существует далеко не для всех линей ных систем.

Если же h(t) существует, то через нее легко выразить отклик линейной системы L практически на любое воздействие X(t). Для

этого представим Х(!)	интегралом
	X ( t ) =	J X(x)8(t — x)dx.
Тогда	[ ^ (т )б (/ — т)йт\| =		j X(x)h(t — x)d%,
L [ X ( t ) ] = L
откуда		J X(t — s)h(s)ds.		( 12)
L [X (0 ]=
Интеграл (12) есть свертка функций X(i)			и h(t), где h(s)	играет
роль «веса» при осреднении сдвигов X (t — s) . Поэтому //(/)				и назы
вают весовой функцией.		и Н(ы).
Найдем связь между h(t)
Как известно,	1	1 “
S(/) =
	----- 1' e,wdu) = lim -----Геы йш.
	2u J .	2тг

7 *

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ