книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

Пусть имеем две стохастически независимые выборки

Хи *2, • ••,

У\, У2, ■■ Ут

(3)

объемов п и т из нормальных

генеральных совокупностей

А' н Y

них тх — т„ при условии ох- = а/.

_

_

Случайные выборочные средние х и у здесь независимы и рас­

пределены нормально с параметрами

Щ = тх,

V

V n

Шу’

а»

V m ‘

Поэтому для у — х при тх = т„ имеем

М\у — х\ = М\у\ — М [х\ = ту — тх = 0;

п 17/ - *1 = D \~у\ -f D\ - х\ = l l - +

т

п

Следовательно, при тх = т„ величина

у — х

(4)

U-

VУ ~ т

п

имеет нормальное нормированное распределение.

Согласно лекции 2 величина

mi

+

msu

V=L

У

имеет распределение х2 с (п — 1)4~(нг— 0

степенями свободы,

степенями свободы п — 1 и т — 1.

_

_

Величины U и V независимы, так как х

и у не зависят от

n s 2.

Поэтому если

гипотеза На(тх= т,1)

верна и ах2 = ву2, то

величина

+ m

/ пт (я + т —2)

у — х

т -

и / ±

I/

V

п -г т

(5)

V nsx2+ m s 2

Но(тх^ т„), то величина (5)

уже не имеет

распределения

Стыо­

дента и ее значения группируются уже не около нуля.

В связи с этим, выбрав величину (5) за критерий проверки

гипотезы Нй(тх — т„) и установив уровень

значимости

р,

крити­

ческую область G найдем из условия

P( | 7’| > 0

= 2 j7 (T )d T = /;,

(6)

t

где учли четность

плотности -

вероятности

распределения

Стью-

дента /(/).

Из (6) следует, что

F ( t ) = U ( T ) d - z = \ - ] f (T)rfT = l —А

— оо

}

~

т. е. / — квантиль /

р распределения Стыодента с k — n- ^m — 2

степенями свободы.

1_1Г

Поэтому для критической области G при уровне

значимости р окончательно получим

2

( 7)

Если же генеральные дисперсии ах2 и а,,2

известны, то, выбрав

за критерий проверки гипотезы Нп(тх = т„)

величину

(4) и уста­

метры

колец

.г = 10,70

мм, у =10,75

мм,

a /is* = 0,01

мм,

ms2= 0,03 мм.

Допустив, что за смену точность

с-танка не изменилась

(a*2— <v’), выясним, изменился ли за смену

уровень настройки

станка при уровне значимости /? = 0,02.

Стьюдента при k =

n- f-

Из

таблицы

квантилей

распределения

F= -А

(8)

где

nsl

>2

■ms*

н

Следовательно, fi и /г есть квантили

и /

п распределения

Фишера с параметрами k\ = n — 1, k2 =

2

2

rn— 1, отвечающие вероят­

ностям —■ и 1----

Поэтому для критической области G оконча­

тельно получим

\ ' Г C #

При а2 = о2

значения критерия (8)

группируются около точки

h ~

JL*

2

Пример

2. Исходя из условия примера 1 выясним, изменилась ли

за смену

точность (дисперсия)

станка при уровне значимости

=0,02.

Здесь

Из

таблицы

квантилей распределения

Фишера при kx— m —

1 =

1 1, k2 =

п — 1 = 11 и р —- 0,02

найдем

‘4,5.

По данным примера вычислим

E = 7 2

3.

si

Это наблюденное значение критерия F

меньше

*4,5.

3

1316

33

Проверка гипотезы о законе распределения

По выборке

(9)

хи х2,

шего правдоподобия, для неизвестных параметров 0 Ь. ..,

S k найдем

оценки

0, (х ,,..., *„),..., 0* (.г,,..., хп).

(10)

/(л-; 0 1,..., 0 л) попадет

на интервал А;, a mi — число значений из

(9), попавших на Д,- (i =

1 ,..., /). Тогда

Р\ + Рч + ... + Pi — 1,

1

'

тх-f т2+ ... 4- т, = п.

]

Если гипотеза Н верна, то trii есть число появлений в п опы­

тах события, имеющего

в каждом из этих

п опытов вероятность

Pi, т.

е. trii априори есть случайная величина, имеющая биномиаль­

ное распределение со средним пр1 и дисперсией npt (1 — pt).

В силу теоремы Муавра — Лапласа величина

приближенно

(тем

точнее, чем больше п) распределена

нормально с парамет­

рами

а ~ npi,

з = V nPi(\ —Pi)ttVnJTi,

где учли, что 0

1.

Поэтому величины

m-i — npi

l,

( 12)

Vnpi

приближенно имеют

нормальные нормированные

распределения.

Оценки (10) на выборку (9), а следовательно,

и на величины

(12)

накладывают k связей. Кроме того, в силу (11) величины (12)

связаны еще соотношением

мых при ..., npt величин возьмем величину

ш ± •, =

<,

1т,-пр,)\

(13)

<=1

~ I

npi

называемую критерием согласия у2.

критерия (13) при

Если гипотеза Н верна,

то

распределение

правдоподобнее

гипотеза

Н. Поэтому

критическую область G

возьмем в виде у2> v, а число v найдем из условия

^(Х2>

1 — ^(Х2 <

= Р,

где р — заданный

уровень значимости.

Отсюда

Р(х*<*>) = 1— Р,

т. е. v есть квантиль х?_р

распределения у2 с l — k — 1 степенями

V(х) — М \YjX =

х\ = j yf (ylx)dy.

(1)

В механической аналогии распределения, если единичная масса

распределена на плоскости хоу

с плотностью Щх,у), то у(х)

есть

чины У по

заданному значению Х ~ х

и называется линией

регрессии.

Исследование вида линии регрессии (1) называется регрессион­

ным анализом.

Пусть для

(X, У) имеем выборку

(хиУ|), (л-2, */а).......(хп, уп).

(2)

Линию регрессии (1) приближенно будем искать в виде пара­

болы m-го порядка

(т<^п),

которую ради упрощения

вычислений

запишем так:

У =

аоРо(х) +

а1р1(х)+... +

ая, рт (х),

где

(3)

а0, а и . . . , а т

(4)

— искомые коэффициенты,

а

Po(x),Pi(x),..., рт(х)

(5)

— система ортогональных на множестве точек хи х2, .

. ., хп много-

Далее

можно показать,

что

многочлен

ри + 1

(х)

выражается

че[>ез многочлены pk (x), Pk- \ (х)

по рекуррентной формуле

где

Pk+l {х) = (* + fa+\) р к (х) -f у* и р к-\ (х).

2 ■¥>*(*/)

Р*+. ------ —--------

М ( * / )

//

1= 1

(* )

V x ^*_,(w

T*+i =

1=1_______________

k p i - i ( x d

(= 1

k = 1, 2 ,.. ., т — 1.

Отсюда

по выборочным

точкам хи х2, ...,

хп из

(2)

в силу (7)

1

п

2

D„

-- --------

Z ajPj(xi) — Pi

= min.

( 1 0 )

m

— 1

«•= 1 ../-О

Сумма (10)

делится

не

на п, а на п — (m -1-1) потому,

что,

выражая коэффициенты

(4)

через выборку (2),

мы на эту выборку

$т(@о>

«1) • • • 5

®m) —^ 2

Z a j P j M - y t

(П)

1=1 / - 0

т. е. решая относительно а;-

(/ = 0,

1 ,...,

т )

систему уравнений

ЛС2

п '

«

/

v

л

^ ХЛ

V

— уi

/M*i) = °,

k = 0,

, т.

= 2 2

2. cijPj (*,)

пак

<•- 1 /-о

Отсюда в силу

(6) для коэффициентов (4) получим оценки

i=\1V t P k

( x i>

( 12)

2 /> 2 W

i- 1

и параболу приближенной регрессии (3)

запишем в виде

т

,

2 U l P k ( x i)

(13)

>’ =

2

,_1

/М*)-

А—0 1

2 Pt(xi)

•^m+i (а0,

iii, • • • > «т+ i) — 2

т | 1 ~

2 т + 1

и

2

ajPj(xi)— yt

=

2 « 2/ 2

P ) ( x t) -

i - 17“0

/=0

*i-\

7

m-f 1

п

п

т

п

т

а/

(xi)

-

2 2

«у 2 y i P j

( X i ) + 2

у /

=

2 а ) > > ^ ) - 2

2

«у 2

y , P

j

I-О

1=1

<-1

/=0

1-1

/=0

(=0

+

2

У/2 + « т + 1 2 /»т+1 (* l) —

2 а т +1 2

y t P m + 1 (■*у)—

(«0. «1> •' • 5 «т)

1—1

1-1

1-1

2

*.

2

£tm+12l Рт+1 (■*-() •

Итак,

л

1- 1

л

(14)

•Sm+1 —

5 ^

П т+ 1 2 Р т +

1 (■*-») э

1=1

т.

е. добавление к параболе регрессии (3)

члена

-'о

о

^m+l

Рт+ 1 (-^/)-

i= 1

коэффициентов (4), а именно:

т увеличивают на единицу, начиная

обычно

с т = 1, до тех пор,

пока

не станет выполняться нера­

венство

1

^тj

м W = ^

------- Ъ Р ^ хдЩУ1\ =

■

1

п

гп

= — --------------

Ъ

Р Л х ^ а 1 Р Л х д = a k\

(15)

М Ю

-

1