книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

з \а

Левши часть (18) есть сумма квадратов п независимых нормаль­ ных нормированных случайных величин и, следовательно, имеет распределение хЛПоэтому, применив к (18) теорему 3 лекции 2, заключаем, что оценки

Sm = X I Ус — У(*Д |. «о, аи . . . , а i= 1

стохастически независимы, причем

Л = 0, 1 ,-----/«,

3U J

имеют нормальные нормированные распределения, а

— распределение Xn- m- i

40

V * ~qjx)

по определению имеет распределение Стьюдента с п — т — 1 сте­ пенями свободы.

Из (22) согласно лекции 3 для линии регрессии (1) при фикси­ рованном х и доверительной вероятности 1— р получаем довери­ тельный интервал

ной вероятностью 1 — р, в общем случае есть очень сложная задача. Решим ее для частного случая линейной регрессии

лежит на прямой (24). Поэтому за параметры прямой (24) возьмем среднее у и коэффициент регрессии а и-.

Если генеральная совокупность (X, У) нормальна, то величина у тоже нормальна, и для нее можно построить доверительный интер­ вал. Доверительный интервал для a = f l i получим из (21) при k = 1.

Пусть У\,Уг и ai, сиг — границы доверительных интервалов для у и а при доверительной вероятности 1 — р.

42

Через каждую из точек (х, у|) и (-ЧУ2) проведем по две прямые

Корреляционное отношение

нице, тем меньше среднее квадратическое отклонение o [ Y - y ( X ) ] ,

г. е. тем теснее группируются выборочные точки (2) около линии регрессии (1). В предельном случае |p.vy| = 1 имеем

o[Y — У( * ) ] = - О,

т. е. здесь с вероятностью единица случайные величины X н У свя­ заны функциональной зависимостью (1).

В силу этого величину рХ!, принимают за численную меру силы зависимости У от X и называют корреляционным отношением.

Для линейной регрессии (24) согласно (25) p.v;/ совпадает с коэф­ фициентом корреляции гхи.

Исследование силы зависимости У от X с помощью рХ1/ назы­ вается корреляционным анализом.

43

Л е к ц и я 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайный процесс и его «-мерные законы распределения. Осредненные характеристики случайного процесса и их свойства.

Случайный процесс и его «-мерные законы распределения

Случайной функцией называется функция X(t), значение кото­ рой при каждом допустимом значении неслучайного аргумента t есть случайная величина.

Эта случайная величина называется сечением случайной функ­ ции X(t) в точке t.

Если X(t) измерить при всех допустимых значениях t, то в результате такого опыта X(t) примет тот или иной конкретный вндл'(/), называемый реализацией случайной функции X (I) в этом опыте.

Случайную функцию X(t) нельзя изобразить графически. Можно начертить лишь графики ее реализаций, которые в своей статистической совокупности и определяют X(t).

Неслучайный аргумент / на практике обычно означает время. Поэтому далее случайную функцию Х(1) будем называть случай­ ным процессов или просто процессом.

Например, если самолет летит на заданной высоте hccaconst, то в действительности его высота есть случайный процесс X(t) вре­ мени t (рис. 7).

44

опытах.

В общем случае X(t) определен на бесконечном счетном или несчетном множестве точек /, т. е. X(t) равносилен системе беско­ нечного счетного или несчетного множества случайных величин — его сечений.

Однако X (!) приближенно (тем точнее, чем больше л) можно

хю-

Рис. 8.

Плотность вероятности (1) называется п-мерным законом распределения процесса X(t). Этот закон дает неполную вероят­ ностную характеристику процесса Х(/), так как учитывает связь хотя и между любыми, но лишь п его сечениями.

Однако эта характеристика тем полнее, чем больше п. Поэтому случайный процесс X(t) будем считать заданным, если задана последовательность всех его л-мерных законов распределения

fi(xi\ti), Ы а-|,х2, | / ь / 2) , . . . , М х ь х 2, . . . , х„|/ ь /2.......(2)

которые удовлетворяют условию симметрии

45

иусловию согласовайносМ!

оооо

Осредненные характеристики и их свойства

В общем случае А' (/) будем считать комплекснозначным про­ цессом вещественного аргумента /, т. е.

X(t)==Xx(t) + iX2(t),

осредненным характеристикам. Основными из них являются: математическое ожидание mx(t), дисперсия Dx(l) и корреляционная функция /<д.(/,/'). Это неслучайные функции. Они определяются

46

Здесь по сравнению с (2) переобозначилй:

Х\=Х, х2 = х'\ t\ — t, t2 = t'.

Заметим, что тх(() и Dx(t) определяются через одномерную fi(xf/)y a Кх(/, ? ) — через двумерную f2(x,x'\t, (') плотность вероят­ ности.

mx(t)— «средняя линия», около которой группируются реализа­ ции х, (1), х2(1) , ... процесса X (/).

Dx(i) характеризует степень рассеивания этих реализаций отно­ сительно mx(t). Чем больше Dx(t), тем больше это рассеивание.

Например, для вещественных X(t) и У(/) с реализациями видов, изображенных на рис. 9 и 10, имеем:

mx(t)

Д Л О С А Л О ;

Kx( t , t ' ) > K A t , n .

47

Степень тесноты линейной зависимости между случайными про­ цессами X(t) и Y(t) характеризуется их взаимной корреляционной

функцией

- М \ Х {, ) У ЦП \ - -

со

= Я ГЛ' — тЛП]\У — fa(x, у 11, i')dxdy. (6)

— l

Пели Kxi,(t,t')= 0, то процессы X(t) п Y(t) называются некор­ релированными, т. е. стохастически линейно независимыми.

Из определений (4)— (6) следуют свойства:

КА>.1) Ох (!)>(),

т. е. дисперсию Dx(t) отдельно можно не рассматривать, так как

т. е. любая корреляционная функция эрмитово-симметрическая, —

=M | £ ztX(t,) |2> 0 . /=i

Это основное свойство корреляционных функций. Из него сле­

откуда получим 4-е свойство.

Неотрицательно определенная функция двух переменных назы­ вается неотрицательно определенным ядром.

48