книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

Ц К { ( , П ц ( Г ) с 1 Г = < р (/)

( 1 9 )

l'-?k(i)b(t )dt =

bia.

(20)

п

Теорема Мерсера утверждает, что в этом случае ядро K ( t , t ' )

представимо в виде билинейной комбинации

/с (/,0 = i

>-k

(2 i)

* = i

Представление (16)

при этом удобно записать в виде

=

£

К

,

(22)

где в силу (17), (18) и

(21)

имеем

M [ v y t\ = b kl .

Из (22) и (20) следует

vk= V K f XVWkV)di.

( 23)

о

Распределение вероятностей

для

Vk по распределению вероят­

ностей для X ( t ) находится из (23). В частности,

если процесс X ( t )

нормальный, то в силу (23) нормальный Vk (£ =

1,2,...).

Пример. Рассмотрим случайный

процесс X ( t ) с корреляцион­

ной функцией

K x ( t , /')=

a2 m i n (t, t' ),

где a2 - const.

сдвиге

всей

группы

точек

tu 12,..., tn по оси /,

т.

е. если

при

любых

п их

/„

х2, ■■

хп\ i\,t2, ..., tn)

f п ( X\ , x2, ...,

xnI tx-f- r, t2+

t , .. ., tn-f- r ) .

В частности, если

переобозначнть х,

= х, х2 = х'

и

= t, t2

± t\

то

fi(x\t) = fi(x\t-j-r)^fi(x)

11

/ 2

(х, х |/, /') = /2 (х, х \t -f- т, V-)- т) = f2 (х, х' |i — t'),

не зависит от /, а двумерная — зависит по времени лишь от

раз­

ности ( — ('. Поэтому

ос

( 1)

mx( t ) = j xfi(x)dx^ const,

K.r (t, l') =

jj (x — tnx) (x' — mx)f2 (x, x'\ t — l') dxdx' =

kx(l — (').

(2 )

— oe

Из (2)

следует

АЛО - Kx(t, 0 = МО) - const.

(3)

Итак, если X(t) строго стационарен, то его математическое

ожидание шх и дисперсия Dx постоянны,

а корреляционная функ­

ция Kx(t,t')

зависит лишь от разности

t — t', т.

е. Kx(t,t')

есть

функция kx(x)

одного аргумента т = t — ?.

зависит лишь от разности / — Г

т.

Если X(t) строго стационарен

и имеет конечные шх и kx(x), то

тогда, когда Rx" (т) существует в точке т = 0.

При этом для X'(t)

имеем:

mX'(t) = 0;

RX' (т) -

— ЯДт).

Повторив 2-е утверждение п раз, получим,

что л-я производная

в ср. кв.

стационарного X (i) существует тогда и только тогда, когда

/?!?“> (т)

существует в точке

т — 0.

При этом

для

Y(1) s 2П'!) (/)

имеем:

m„(t)

0;

/СДт) -= (— 1 )

(г).

Отсюда следует, что если п-я производная в ср. кв. стационар­

ного X (t) существует, то она

гоже стационарна.

стационарно за­

Случайные процессы X(t)

и Y(t) называются

висимыми, если их взаимная корреляционная функция

t' ) - M\X{t)Y*{t')\

зависит лишь от разности / — /', т.

е. /СА7/(/,/')

есть функция kxy(r)

одного аргумента х - t — V.

£ b x ( t j - t t) z r f > 0

'

(4)

i.i-1

при любом п и любых вещественных tu t2, ..., ta и

комплексных

г \, г 2, . . zn числах.

простой признак выполнения свойства (4) дает теорема

1.

Т е о р е м а 1 (Бохнер).

Непрерывная функция

к(т)

неотрица­

тельно определена тогда

и только тогда, когда

она

разложима

в интеграл Фурье — Стилтьеса

/г(т)— [ e‘mzdS(M)

(5)

£ щ

-

f 1 "Сz .eMj dS (со) О,

/=1

где

!*(*) =

1

- 1х |

при х е [— 1 ;

1],

0

при *ёТ — 1 ;

1],

Можно показать, что (/„(со) интегрируема на всей оси со [9,

§ 7. 4].

Итак, при любом сг > 0

непрерывные функции (/„(со) и р

/е(т)

а

( — ) £ (* )= j' qa(to)elu>zdm.

(7)

Отсюда в силу формулы

(4) лекции

7 следует справедливость

разложения (5) для k(т). Теорема доказана.

Пример 1. Функция k (т) =

соьат нрн

0

разложима в ин­

теграл

Фурье.— Стилтьеса

по

функции

S(w-),

изображенной на

рис. 14.

Это очевидно. Поэтому согласно теореме Бохнера функция

/г(т) = созат неотрицательно

определенная,

т.

е.

она является

корреляционной функцией некоторого стационарного

процесса.

k(x) = j‘ e ‘™dS(o>),

(8)

£ ( т ) =

I' e iw-'s(o>)db},

(9)

где s(w) называется

спектральной плотностью.

Из (8)

и (9) следует:

А ( 0) = ? dS(h));

k ( 0) =

j s (со) d со,

т. е. 5(d))

и s(co) дают распределения дисперсии

/г(0) стационар­

ного процесса по спектру частот.

Обратные преобразования Фурье для (8) и (9)

выражают S (со)

и х(со) через /г(т), т.

е. вместо k(x) можно пользоваться 5 (со) или

s (со), если s (со) существует.

Пример 2. Дано

s*(cd) — «о,

где

s0

const.

Найдем А,(т).

представление дельта-функции

Учитывая интегральное

о(т)

— Гeiw'd®,

2тс

по формуле (9) получим

К (т) =

(' е1ая s0dw — 2л s06 (т).

Т е о р е м а 2. Случайный

центрированный процесс X(t)

раз­

лагается в интеграл Фурье — Стилтьеса в ср. кв.

X ( t ) =

jV~t/<D((o)

(10)

М [*Т>((„)Лр*(о/)] =

О

при

со у-

со',

(П)

dS (со)

при

со =

со'

тогда и только тогда, когда Х(1)

стационарен.

X(i)

разлагается

Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь .

Если

в интеграл ( 10)

с дополнительным условием ( 1 1 ),

то

Kx(t,

t') =

Af [Z(/)X* (/')] =

i’f ем -

‘тЧ'М [с7ф(со)с/Ф* (со') ] =

--

f

dS((o)= kx(t — t'),

t . e. X(i)

стационарен.

Д о с т а т о ч н о с т ь .

По аналогии

с

формулой

(5)

лекции 7

рассмотрим процесс

Ф (.о )~

1

г

р

- Ы

__ 1

( 12)

1. i. т , —

\

-

----------— X(t)dt,

2тс

it

■г; е - ы _ 1

т р—Ш_1

X(t)dt |»

М

X ( t ) d t - \

_ г — 2кИ

— 2Kit

Щ

f

-

о

7’<|C|<7''J

т<щ<’т'

— 2icit

e~‘mt — 1

eimt' — 1 M\X(1) X*(i’)\didt'--

T< \tчj j >

— 2tcit

.f

21СЙ'

»

g—Ш

1

gW __ 1

-r<|C|<r Г<|,fГ|<7" -<*

2irrt

.ei»‘'(t-ndS{iX)didt' =

2.fvit'

J

= I

е—ш — j

e*'*dt 2dS( со').

(13)

2т:it

T<\!\<T'

Существование предела

( 12) согласно критерию

( 10)

лекции 7

равносильно

стремлению к

нулю

интеграла

(13)

при

Т,Т'-*-оо,

Чг (о/,

и

1

т.

е ‘тЧ

-

,,

-

1

”.

sinu>7

,,

Пт----| ------------------- dt

— 1

dt

т- °°

2тс

i j

it

it о

1

“ sln(u)'

<•>) t

dt.

(14)

1 lo известно,

что

t.

—

при

со >

0,

1

“

sinu>£ dt =

О

при

to =

0,

t

1

------- при (О

2

Поэтому предел

(14)

существует и равен

1

при

0 <

о /•< со,

1

при о/ =

(I) ]> 0

или

о / — О,

(о

О,

2

Чг((»', с») =

О

при о / О , с о ' с о

или

со' =

со = О

(15)

или

со'<[ 0,

со'<С со,

------- при

со'= со <С 0 или

со' =

О,

О,

1

при

0 > со '> со .

Следовательно, (12) действительно определяет на всей осп со

некоторый случайный процесс Ф(со),

который центрирован

так как по условию

Л4 [Ф (со) 1=

О,

М[Х(/)] =

0.

Далее из (12), (8) и (14) получим

М [{Ф(сой) — Ф (со,)){Ф(со,) — Ф(о»з)}*] =

=

i

Ч'(о>— СО,, 0)2 —

СО,)Ч'*(о)—

СОз,

СО, — 0)з)сД > (со) .

Отсюда в силу

(15)

при соi = соз<С<02 =

о), найдем

М\

Ф(со2) — Ф(со,) Iя =

S(coa)— S(co,),

(16)

а при со, <С со2

соз <С со, найдем

М [{Ф (со2) - Ф(со,)}(Ф(со,) -

Ф (соз)}*] = 0.

(17)

Из (16) и (17) следует, что процесс (12)

удовлетворяет усло­

вию ( 1 1 ).

Д а л е е

и з

( 1 2 ) ,

( 8 )

и

( 1 4 )

п ол уй й М

М [X (/) {Ф (юг) — Ф (<')|) } 1] =

1 Чг(0)2 — (о, oi2— о)1) eimidS (01).

Отсюда в силу (15)

при 012 >

со,

найдем

М [X(/)(Ф(о>2) — Ф (о),)}*]=

f eM dS{о,.).

( 1 8 )

1 1о определению

“

еш d<f>(ш) =

I

п

и» t

I

(19)

-

1. i. m. 1. i. ш

е к

[Ф (шА) — Ф (ю* _ 1)] I,

' « о

k =

1

1

—

о

('1(1 <С 0)| <с 0)2

. . . <С 0)л“ " а ,

0)^G [<П* _ 1,

шД

и

ОО.

max [со*

щ ..., I -* о

при п

Из

(19),

(18)

и (8)

получим

С

( о о

e>“'l‘-t')dS{ui)=kx(t — 1').

М

*(/) (' еы 'йф(ы)

(20)

Из

(19),

(16), (17)

и (8) получим

l

М

|

|'

j

j

'(

е ы d(\)(u>)

е 1т'г dCp(M') Г

i—00

j {—

J

-

=

( et"U-ndS(io)=fix(t — Г).

( 21)

■j

М\ t/Ф (со) |2 = dS (со) = s (со) rfco,

Т‘ 6’

4Ф(со