Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Л е к ц и я 3 ИНТЕРВАЛЬНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

Распределения среднего и дисперсии выборки из нормальной генеральной совокупности.

Доверительные интервалы для генерального среднего нормаль ной совокупности при известной и неизвестной генеральной дисперсии.

Доверительный интервал для генеральной дисперсии нормаль ной совокупности.

Линейное ортогональное преобразование

Линейное преобразование

/ = 1 .......... п

(1)

/ - 1

называется ортогональным, если оно сохраняет инвариантной

форму

% + х\ + ... + хп2'

т. е. если

пп

/ 1	( 2 )
	1-1

В «-мерном эвклидовом пространстве такое преобразование соответствует вращению системы координат относительно ее

начала.		и приравняем коэффициенты	при
Если (1) подставим в (2)
Xj.xk (/, k — 1,..., п) с	обеих сторон, то получим условие ортого
нальности		1 при j = k,
П
Ъ	а Ч а 1 к ~		(3 )
		О при ] ф k.
1-1
Умножим /-е уравнение в (1)		на aik, а затем просуммируем по
лученные уравнения по i (i — 1,..., п). Тогда в силу (3) найдем
х1=^аУ^* ' = ! > ■ • • > « ,			( 4)
	П

/=1

т. е. матрица обратного преобразования					(4)		является транспони
рованной матрицей преобразования (1).
В силу	(2)	обратное преобразование				(4)	также ортогонально
и, следовательно, для него			выполняется		условие ортогональности
			\| 1	при /	=	k.			(5)
			\ 0	при j	ф k.

Точно так же доказывается обратное: условие (3)								есть следствие
условия (5).							Пц \|\|
Из (3)	и	(5) следует, что в		матрице		\|\|		ортогонального
преобразования (1) сумма			квадратов		элементов			каждого	ряда
(столбца или строки) равна			единице, а сумма произведений						соот

ветствующих элементов двухлюбых параллельных рядов с разны

ми номерами равна нулю. Поэтому				произведение матрицы \|\| aif \|\|
на транспонированную		матрицу	\|\|	а н \|\|	равно единичной матрице
Е т а		II Щ, \|\| •	\|\| а п \|\| =		£ .
		II Щ, \|\| •	\|\| а п \|\| =		£ .
Отсюда следует, что определитель линейного ортогонального
преобразования (1)	равен + 1.
Т е о р е м а . Любое я-е равенство
		/I
		Ун ^ „ j X j ,
		/-1
коэффициенты которого удовлетворяют условию
		П
		V <	1	- 1 >
		/ - 1				преобразова-
можно дополнить	до	некоторого		ортогонального		преобразова-
ния (1).						(п — 1)-го ра-
Доказательство. Для неизвестных коэффициентов						(п — 1)-го ра-
венства

Уп—1— У] Чп —1, / Xj

1-1

в силу (5)
п	(6)
ап j ап- 1, i — 0;	(6)
/ - 1
П
V а«2 -1, / =■1.	(7)
f t

Линейное однородное уравнение (6) имеет ненулевое решение. Умножив это решение на подходящий множитель, удовлетворим и квадратному уравнению (7).

После этого для неизвестных коэффициентов (п ■— 2)-го равен ства в силу (5) получим два линейных однородных и одно квадрат ное уравнение. Система этих линейных уравнений имеет ненулевое-

рошенне. Умножив это решение на подходящий множитель, удовлет ворим п квадратному уравнению. Продолжая так далее, найдем искомое ортогональное преобразование. Теорема доказана.

В частности, если

nJ	J = 1» • п,
	V n

ТО При 1 = 1,..., п — 1 из (5) получим

У,ац = 0.	(8)
/-1

Распределения среднего и дисперсии выборки из нормальной совокупности

Пусть имеем выборку

Х\,

• • • j хп

(9)

из нормальной генеральной совокупности X с параметрами шх и о.(. Для выборочных среднего и дисперсии

-		1	"л
X			X-L,
		п —1
		1
	(l i=1
Априори величины ,v и s'2 случайные.				Найдем их распределения.
Известно, что линейная комбинация нормальных независимых
случайных величин нормальна. Но			по	условию случайные вели

чины (9) нормальны и независимы. Поэтому среднее х также нор мально, причем

т7 = М

D - — D

1 "	= — ^ М \ Х \ = тх\
п / - 1	= — ^ М \ Х \ = тх\
п / - 1	п ,Г1
I VI	1 "	а2
п •i>1 Кг	= l . ^ D \ x ] = -= -;
п •i>1 Кг	па ,-ti	п.

о—~		1/ D - =
X		г х		V n	'

Итак, х распределено	нормально с параметрами
a	—т г.		з =	3Л-
				V n '
Далее имеем
		_		1	И	_
1 Я							( 10)
- ^ { x l - x f = - L ^ x i i - x \
п i t 1				п i~I

Над л',,..., хп произведем линейное ортогональное преобразо вание (1), для которого

»1

Уп = ) ± Т п : х1 = У п х - 1-1 У >1

Величины у I,			будут	нормальны,	п	для
в силу (1), (8)	и (5)	получим
М \|_у(\| =	М	2	uu xj	V « ,7/V/[X\|		V « y = 0;
	/-1			/=1		l-i
	i		an xj =	Yi iill D\X\ =	S	У « /,= <#
	1-1			>-1

( 1 1)

п— 1

(12)

	f D l r *x.					(13)
i=hi	(i,J = 1,	- , «) в силу			(12), (1),	(5) и (8)
■• •) х„ найдем		п		п
м	п
	V aik х к V ajlx l		=	2	а'каЛМ	=
M\y,yj\ = M	i-i
				к, l	1
= M [,Y»\| £ aihajk + M * \ x \ v а1Лал =			M*\X\ V a,k V Uj, -
*=1	к,	l			l	1

£a lkajk = 0,

*-i

‘ t . e. у i, ... ,		yn— некоррелнрованны,			а поэтому н независимы,		так
как из	некоррелированности			нормальных		величин следует их	не
зависимость.			имеем
Из	(Ю),	(2) и (11)	имеем
		1	Г»	1	1	н-1	(И)
		S3= — V у ) ------Уп2 = ~				V )’(>	(И)
откуда		п	,Г\|	пп	п	—1
откуда			ns	л-1 .
			ns	- у	' l l
					, 3v

т. е. случайную величину

ns*

(15)

согласно (12) и (13) представили как сумму квадратов нормальных нормированных независимых случайных величин

i = 1,

, я - 1 .

алг

Поэтому величина (15) для выборки (9) пз нормальной гене-

ральной совокупности X имеет распределение			с п — 1 степенями
свободы. Это верно и для величины
(л — l)s 2	п - 1	1 l
	2
		а,.

где s2— несмещенная выборочная дисперсия.

Возможность исключения одной степени свободы у п для s2 и s2 объясняется тем, что величины

(xt — х), i = 1,. . . , п

связаны одной зависимостью

	t	(* /-* ) = о.
	i	1
Так как	у п независимы, то в силу (11) и (14) независимы

и случайные величины х и s2.

Доверительный интервал

В лекции 1 показано, как по выборке (9) найти точечную оценку

0 ( а ь . . . , хп) неизвестного параметра 0.	Теперь укажем, как найти
точность этой оценки.
Зная закон распределения несмещенной точечной оценки 0,
можно для заданного близкого к единице числа		\ — р найти такое
ЧИСЛО 81 _ р , ЧТО
Р ( \| 0 — в \| < е , . р) =	\ - р .	(16)

Здесь е г _ н есть точность оценки 0, а число 1 — р называется

доверительной вероятностью, или надежностью этой оценки.

Равенство (16) означает, что интервал

0 - e 1. p < 0 < 0 + s,_„	(17)
со случайными концами накрывает неизвестный параметр 0	с за
данной вероятностью 1 — р.

Этот интервал называется доверительным и является интерваль ной оценкой параметра 0.

Доверительный интервал для генерального среднего нормальной совокупности

Для генеральных	среднего	тх и	дисперсии / Д ^ з 2 имеем
выборочные оценки
— 1	п		Е и* -
я	1 - 1	п-	Е и* -
я	1 - 1	п-	1 t

Найдем доверительный интервал для тх нормальной совокуп ности X при известном ах и доверительной вероятности 1— р.

Положим

г 1- р — «3Г = «			У п			( 18)
			У п
и для нормальной случайной величины .v				со средним /я—= тх при
меним известную формулу
Р { \ х — тхI < г) =		2Ф ^		\| — 1,		(19)
где Ф (х)— функция Лапласа, т.		е. функция распределения нор
мальной нормированной случайной величины.
Сравнив (19) с (16), при 0 =		х,	(-) =	тх и e =	n i _ P в силу	(18)
получим
	Ф(и) =	1	- А	)
т. е. и есть квантиль и	,, нормального нормированного распреде-
	2	1	л			(17),
ления, отвечающий вероятности		1	—. Поэтому согласно			(17),
(18) найдем искомый доверительный интервал
х-----„ < т г < * ф		j - - u		У я	1~*	(20)
У я	>"т			У я	1~*

Найдем доверительный интервал для тх нормальной совокуп ности X при неизвестном ах и доверительной вероятности 1 — р.

Для нормальной X величина

имеет нормальное нормированное распределение, а величина

; 1 ) ?

(21)

аг

— распределение x«_i ■Величины U и V независимы, так как неза висимы х и s2. Поэтому по определению величина

	Т -2	и \	f	= V n х		(22)
		У		V		s
имеет распределение		Стьюдента с я — 1			степенями свободы. Для
нее из (16)	при 0 =	7, 0	=	0, e i _ p= /	в силу четности плотности
вероятности	распределения Стьюдента f(t)					найдем

P ( \ T \ < t ) = 2 \ f h ) d z - 1 — p.				(23)
Следовательно,
F (t) = f f (t ) d z	= ( / (t ) d z +	f / (t ) d z -	- i - +	- Ц = £
- 'o o	_'<*>	о	2	2

Отсюда

^ ( 0 - 1

t . e. / есть квантиль / распределения Стыодента с п — 1 степе

нным свободы, отвечающий вероятности 1— Поэтому для Т при

доверительной вероятности 1 - р согласно (23) имеем интерваль ную оценку

m < * . ^

Подставив сюда выражение для Т из (22) н разрешив затем полученное неравенство относительно tnx, найдем искомый довери тельный интервал

			х — —	1	„	< mx < х +		1 „,	(24)
			У п	]-~2			V «	—
для	которого,		в отличие от			(20),	случайно не	только	положение,
по и длина.			интервалы		(20) и		(24) практически		совпадают,
	При	п > 3 0	интервалы		(20) и		(24) практически		совпадают,
так	как	при п > 3 0 распределение					Стыодента	практически совпа

дает с нормальным нормированным распределением. Но при п < 30 интервал (20) может быть существенно уже интервала (24). Это объясняется тем, что при его построении использовалась дополни тельная информация о значении ол.

Длина доверительного интервала А, доверительная вероятность

1— р и объем выборки	п взаимосвязаны. Например, для (20)
имеем
Поэтому, задавшись	значениями двух любых из трех величин
А, 1 — р и п, можно найти неизвестную третью величину.

Доверительный интервал для генеральной дисперсии нормальной совокупности

Для нормальной X величина (21) имеет распределение Х«-ъ

Поэтому можно найти такую пару чисел щ, v2, что
p ( ^ < ( Я~ 1)52 < v ) j = \ - p .	(25)

Таких пар чисел vu v2 бесконечно много. Па практике обычно берут центральный доверительный интервал, для которого вероят

ности выхода величины (21) за интервал влево и вправо одпна-

ковы и равны — . При этом для н, и v2 имеем уравнения

Р( V < v x) = - | ;

P ( V < v 2) = l - - ^ ,

т. е. Oj и и2 есть	квантили х„ и х2	распределения у* с	п — 1
степенями свободы,	отвечающие вероятностям -^-и 1---- —.		Поэто

му для величины (21) при доверительной вероятности 1— р соглас но (25) имеем интервальную оценку

2	( И -	1)?	2
'■JL ^	,2	^	Р •
2	а-		2

Разрешив эти неравенства относительно стЛ-\ найдем доверитель

ный интервал
(/?— l)s* <	_(л — 1)7*

для генеральной дисперсии оЛ2 при доверительной вероятности 1—р.

Л е к ц и я 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Метод проверки статистических гипотез.

Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних нормаль ных совокупностей.

Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий нормаль ных совокупностей.

Проверка гипотезы о законе распределения по критерию согласия х2-

Метод проверки статистических гипотез

Статистическими гипотезами называются любые гипотезы отно сительно генеральных совокупностей.

Задача проверки статистической гипотезы Н относительно гене ральной совокупности X ставится так: найти правило, позволяющее по выборке из X

.Vi, х2, .... хп

(1)

обоснованно решать вопрос о принятии пли отклонении гипотезы Н. Эта задача решается следующим статистическим методом. Выбирают критерий проверки, т. е. некоторую функцию от

выборки (1)	(2)
Z = Z(xh х2, . . ., хп),

для априорного значения которой условные плотности вероятностей j\(Z/H) и f2 (Z/'H) относительно проверяемой гипотезы Н и конкури

рующей с ней гипотезы Н известны.

Задают уровень значимости р, т. е. столь малую вероятность р, что события, появляющиеся с этой вероятностью, можно в данной

ситуации	считать	практически невозможными. Обычно берут
/> = 0,05;	/> = 0,02	или /> =	0,01.
Далее по известным р,			f\(ZfH), f2(ZlH) находят так называе
мую критическую область G из условий
		P ( Z e Q I H ) = p \
		P ( Z c G!.H) — max.
Величина		r==P(ZGOjW)

называется мощностью критерия Z. Она является доверительной вероятностью попадания значения критерия (2) в критическую область Снесли проверяемая гипотеза Н не верна, т. е. верна гипотеза Н (рис. 5).

и учтем, что события Z е G и Z е G при гипотезе Н противополож

ны. Тогда	— _	_
	_q =з P ( Z e QfH) =	1— Р (Z е G/H) = 1 — г.

Дополнение критической области G до множества всех возмож ных значений критерия Z называется доверительной областью кри

терия Z. На рис. 5 по оси 2	справа от критической точки 2 i _ p
лежит критическая область,	а слева — доверительная область,

которая при гипотезе Н является доверительным интервалом вели чины Z, отвечающим доверительной вероятности 1— р.

Если значение критерия (2), вычисленное по выборке (1), попадет в критическую область G, то гипотезу Н отклоняют в

пользу гипотезы Н, так как попадание критерия Z в область G при гипотезе Н практически невозможно, а поэтому несовместимо с Н.

Если же значение критерия Z попадет в доверительную область, то гипотезу Н принимают, так как попадание критерия Z в эту область при гипотезе 11 практически достоверно, а поэтому совме стимо с И.

При такой проверке гипотезы Н возможны ошибки двоякого

рода.	Н	отклоняют,
Ошибка 1-го рода состоит в том, что гипотезу
когда она верна. Вероятность этой ошибки равна р.	И
Ошибка 2-го рода состоит в том, что гипотезу		принимают,
когда она не верна. Вероятность этой ошибки равна </= 1— г.
Из рис. 5 видно, что с уменьшением р возрастает q		и наоборот,

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ