книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

зависимость, является марковский процесс.

Пусть

,

.

1(хп/хи х2, . . . , х п- })

есть условная

плотность вероятности сечения

Xn- X ( f „ )

процесса X(t)

в момент времени /,, при условии, что сечения

Х|

У (/,), Х2^ Х (/2) ,...,

A'n—i = X (in_ t)

этого процесса

в предыдущие моменты

времени

равны

XI,х2,. . ., Xп—1.

Процесс X(t)

называется марковским, если

f(x„/x ,, а'2, .... .*„-]) = /(*„/*„_,),

(1)

т. е. если

распределение сечения Хп в «будущий» момент времени tn

зависит

только

от

значения *„_i сечения Xn- i

в «настоящий»

момент времени

i и не зависит от того, как изменялось сечение

в «прошлом».

марковский процесс — это процесс без после­

Таким

образом,

действия.

/ (X,, Х2, Х Л) =

f (х3/х,, х 2) f (х2/х, ) f ( x ,) .

Но в силу

(1)

/ (х3/хI, х2) = f(x3/х2) ,

поэтому

/ (Л-Ь Х

2 , х3) =

f (Х3/х2)/ (Х2/Х,)/ (Х, ) .

Аналогично для я-мерной плотности вероятности получим

/(Х |,х2

П—1

) x „ )= f(x i) П /(х *+1/хЛ),

к= 1

/ (x*+i /х'*) = f (Xf,, I x*. 4.1, iк+1)

(2)

рой физической

системы

из

состояния (xk, t k) в

состояние

{Хк+ 1, tk+l) ■

Проинтегрировав равенство

/ (х|, х2, Х3) =

f (Х|, / |)/

(х,, / 1 1х2, t2)f (х2, / 21Л'з, /:1)

по х2, получим

/ (X ,, Х з ) =

/ ( Х , ,

/,) J / (X1, /, |х 2, /2)f ( Х 2 , /2|х :), /3)дх2.

поэтому

/ ( X i , Х 3 ) = / (хь /| )/ (хь /1| Х з , / 3 ) ,

/( х 1, /, |х2, /2)/(х 2, /2 1Хз, /Л)дх2.

(3)

/(х ь /| |хз, /3) = j

х2 =

2, u = t,

(4)

Хз =

У,

J

Тогда уравнение (3) примет вид

f(x,t — At\y,x) =

J f(x,t

- At \ z , t ) f ( z , i \ y , x ) d z .

(5)

С другой стороны, в силу

[ f(x, t — At\z, t)dz =

1

— 00

HMGGM

г©

f(x,t\y,x)f(x,t — At\z,t)dz.

(G)

f ( x , i \ y , r ) = j

Вычтя (6) из (5), получим

oo

[1(г,(\у,т) —

f{x,t — At\y,x) — f(x,t \y, x) — j'

—• oo

— f (X, t\y,x)]f (X, l —

At \ z , t)dz.-

(7)

В интеграле

(7)* функцию f(z,t\y,x)

разложим

в ряд Тейлора

по переменной z

в окрестности точки z =

x. Тогда

(7) примет вид

f(X. < -

АЧ у,т) -

/ ( х , « I

t ) -

?

±

k\

дхк

И*.‘А

1

— At | г, t)dz.

(8)

Поделив

равенство (8) на

At

и перейдя к пределу

At-+0,

получим

- ^ f { x j \ y ^

) = ± ^ ^ ~ l { x , t \ y , x ) ,

(9)

где

dt

i

ifTi

k\

дхк

о»

(10)

ak(x, <) = lim ----- f \ z — x)kf(x, t — At\z, t)dz.

д<-о At

Пусть at (x, t)

и a2(x, t)

конечны и не равны нулю, а ак (х, t) = О

при к >

3.

При

этих условиях

в силу

(9)

плотность вероятности

перехода f(x, t\y,x) как функция начального состояния

(х, t) удов­

летворяет уравнению

- 4~f(x,t\y,T) + al (x, t) - ^- f(x, t \ y, x) +

dt

дх

2

а*(х, t\) ■

f(x, 11у, x) = О,

(И)

дх2

которое называется первым уравнением Колмогорова.

Аналогично можно доказать,

что f(x, t \ y, т) как функция конеч­

ного состояния (у, т)

удовлетворяет и второму уравнению Колмо­

горова

^ - l ( x , t \ y , x ) + - ^-

К (yt x)f (х, t \ y , x ) \ -

di

ду

8

1318

113

1

дг [a* (y, T:)f(x,i\y, x)\=0,

( 12)

2

ду*

где а{(у, т) и а2(у, х)

те же функции, что и в уравнении

(11), но

взятые в точке конечного состояния (у,т ).

Имеем

X(t t)= Xu X(t2) ~ X 2,

при условии, что

— Х\. Следовательно,

«I (*и t i ) =

lim -----^----- М[Х2 — XJXi = л:,];

t3 — t,

a2(xu i2) =

lim ----------- M \ (X2— X^/ Xi = x ,],

t2 t{

т. e. ai(x, ^)— средняя скорость изменения сечения, а а2(х,

t) —

средняя скорость изменения условной дисперсии сечения

про­

цесса X(t).

п граничные условия. Например,

для уравнения (12) при заданных

х и / начальным условием будет

f(x,t\y,r)\z =t =

Ь(х — У).

(13)

Если же начальное сечение X(t)

задано не числом х, а плот­

ностью вероятности }о(х),

то вместо

(13) получим

f ( xj \ y , r ) \ r =t

= fo(y).

При — оо < у < -}- оо

граничным условием для уравнения

(12)

^Удет

lim f (х, i \у, т) =

0 при любом т^>- t.

(14)

I иI-* “

Кроме начальных и граничных условий функция f(x,t\ty,x)

как

плотность вероятности должна удовлетворять требованиям

т )> 0 ,

J f(x, t\y,x)dy = 1.

(15)

Итак,

если а{(х, t) и

a2(x,t)

конечны и не равны нулю, а

ah(x, t) =

0 при к^-3, то плотность вероятности перехода f{x,t\y,x)

марковского процесса X(t)

можно найти из уравнений Колмогорова

(11), (12)

и соответствующих начальных и граничных условий. При

Для этого от x,y,t, х перейдем к новым переменным:

х' — ф(х,

/), У' =

Ч>(У, т), /' =

= Ф(т).

Тогда уравнения Колмогорова (11) и (12) для

f'(x', t'\ у', х')

примут прежний вид:

-

U

<

*0;

r

,(16)f

И!_

J- ai

(х\ П -дх2 1'

дГ

f

—

[ai (у'.т)/']

2

а#'

т')П =

0,

(17)

дх'

а#'

1

где

а х(x't V) =

_1_

д2Ф(*. /)

а2(.г, /) +

2

'

дх2

f

5ф(хД)

аФ(л-, /) .

дГф(^) .

М * ./)

а Г ~

dt

’

дх

а2 (х\ V) =

dg>(*, 0

«2 (А-, /)

dt

а*

и х, t\ у, т предполагаются выраженными через х',

/';

у',

х.

Пусть теперь функции ф и ф выбраны так,

что

ах (х', /') =

0,

а2(х’, t') =

1.

Тогда уравнения (16) и (17) примут вид:

а/'

,

1

‘

аа/'

=

;

(18)

а*'

2

дх"

0

а/'

1

а»/'

=

о.

(19)

а-а

2

ду'*

f(x',t'\y',x')=

.

1 .^

g ~ 2<T' - r >.

(20)

1

Y 2тс (x' — t')

Если в (20) вернемся к старым переменным х, у, t, х, то получим

искомое решение уравнений Колмогорова (11) и (12),

которое

будет уже не обязательно нормальным, как (20).

Итак, уравнения Колмогорова

(11)

и (12) решены, если они

преобразованы к виду (18)

и (19).

Например, если

ax{x,t) =

ax{t),

a2( x , t ) = a 2(t),

8*

115

df_ = .

df

1

/ a

d2f

;

(21)

dt

dx

г й П О -т т

2

ox2

df_

—

1

/

ч <?2/

( 22)

0-

dy

«2(T) — 4 -

2

dy“

_

(У - x - A Y

f(x,t\y,T)--

- е

1 ,

где

:V2 TZ

А = | а, (г) г/г;

/

аг =

J a2(z)dz.

t

где

х = х и У =

Х 2, Т = / 2 —

/ | .

Для такого процесса равенства (10), (12) примут вид

ак( у ) = Пт —

Г (z — y)*f(z,xly)dz,

(23)

Т-+0 -с

д_

[fli (у) { (У, 't/х) ] —

/ (У, tlx) +

дх

ду

4 — ГТ I02(у)А у>х1х) 1 = °-

(24)

Пусть Х(/) — стационарный нормальный

процесс, для

которого

шх =

0, Dx — o2 и коэффициент корреляции гх — г(х). Тогда

1

ехр

(.У — ГХ)2

(25)

/( у , т/х)

2 а2 (1 — г2)

з1/2тс(1 — г2)

а, (у) =

lim —

f ( z - y ) f ( z , x l y ) d z =

- ~ \ \ m

- ± - ] (ry -

т-*-ьО Т Jso

V

+и т —

______-Ра

dv =

г _ 1

(26)

— v a V l — г'2—

У ) е

2

lim -------------У =

У г '

Т - . + 0

X

аг{у)— Пт — ? { z - y ) 2f { z , x ! y ) d z = - ^ \ \ m - ^ - ] { n j -

— vo V

г2—у)*е

2 dv =

lim — [cr2(1 — r2)-{-y2( 1 — r)2]=

т - * +

0

т

= — 2 a V ( + 0 ) ;

(27)

ak (y) = 0

при

3.

Используя (25) — (27), найдем

частные производные:

г

х(у — гх)

dx

\

dr

1 — г2

о2(1 — г2)

г(у — гх)2

r'(x)f(y, т/лс);

(28)

СТ2 ( 1 — /-2)2

[«[(</) Ду, x/jc) ] =

г'( -|

0).

'■'(+0)0(0 — « )

f(y, x/jc);

(29)

о2(1 — г2)

1

d2

[02(У)/(У,Т/Х)]<

г '(+ 0 )

2

dy2

1 — г2

/•'(+ 0) ( У - ^ ) 2

f (У. +*)•

(30)

0 2 ( 1

_

Г 2 ) 2

Подставив (28)— (30) в

(24),

получим

L , х

[г{х)х — у][х — г(х)у]

\ г'(т) — г(т )г'(+0) _ _ п

Г (т)---------- а ф

- ' ! М ]—

I —

Выражение в фигурных скобках не равно нулю. Поэтому

г '( т ) - г ( т ) г '( + 0 ) = 0 .

условиям

r (0 )= 1, г(— т) sr (x ),

есть

г (т )= е~ х1т1,

где

Х = - г ' ( + 0 ) .

А 1,

Л2, ..., Ап.

(1)

Говорят, что эта последовательность опытов образует цепь

Маркова

если

A f ,

АЧ+п.........

Р (A{) +i)l А1? ,

А \

0)) =

Р (А{)+1)1 А1?),

т. е. если в (s-f- 1)-м опыте

(5 =

0,

1,

2,...) условная вероятность

события

=

Г • • •, п)

зависит только от того, какое

собы­

тие А {Р (г —

1 , . . . , п)

произошло в предыдущем s-м опыте и не за­

висит от того, какие события из

(1)

произошли во всех

более

ранних опытах.

Условная вероятность

P i j S p(A{3,+ ')lA{?)

(2)