книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

По преобразование Фурье функции ко не существует. Это и означает, что весовая функция h(t) оператора (15) несобственная.

Линейная система L называется устойчивой, если для нее

1 0 0

Воздействие АД/) по определению ограничено, если существует такое число А, что при всех /

| М [ Х ( 0 1 | < Л < + оо.

При таком воздействии из (18) следует

М [У (/)]|< /1 ? |/Д /)Д //,

т. е. система L устойчива, если ее весовая функция /ДО абсолютно интегрируема.

До сих пор мы рассматривали линейную систему L как абстрактный оператор в функциональном пространстве. Однако для реальных систем должно выполняться условие

имеющее физический смысл: отклик на выходе системы не может появиться раньше, чем подано воздействие на ее вход. Поэтому

(19) называют условием физической осуществимости системы.

В силу (19) формулы (12) и (14) перепишем так:

т. e. если воздействие стационарно, то стационарен и отклик.

101

т. е. при прохождении стационарного процесса через линейную систему элементарное приращение его спектральной функции умно­ жается на квадрат модуля передаточной функции, а элементарное приращение ^Флфы) при этом умножается на передаточную функцию.

Как известно, условие вещественности процесса X(t) есть

Если при этом Я (вещественнаясо) , то она четная.

Линейная система как фильтр

Линейные системы часто применяются как фильтры, т. е. служат для выделения определенных спектральных компонент данного процесса.

■Н<ш)

Например, рассмотрим прохождение стационарного процесса Х(() через идеальный полосовой фильтр, т. е. фильтр с веществен­ ной Я(ы) в виде пары прямоугольников, симметричных относи­ тельно оси ординат (рис. 18).

102

Л ек ц и я 14. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Постановка задачи оптимального линейного сглаживания и про­ гнозирования.

Необходимое и достаточное условие оптимальности линейного сглаживания н прогнозирования. Уравнение Винера.

Решение уравнения Винера для случая рациональной спектраль­ ной плотности воздействия.

Постановка задачи

Линейная система называется оптимальной, если заданную операцию она выполняет наилучшим в некотором смысле образом.

Примерами оптимальных систем являются сглаживающие и прогнозирующие фильтры. Сглаживающий фильтр служит для наилучшего выделения сигнала из смеси сигнала и шума, а прогно­ зирующий— для наилучшего воссоздания будущих значений сигна­ ла по его прошлым значениям.

с постоянными параметрами найти такую систему, которая в момент времени t по всем предыдущим значениям воздействия X (( — т), 0<СЛ<С°о дала бы на выходе наилучшее приближение к сигналу

нарными и стационарно зависимыми процессами с заданными математическими ожиданиями mw, mv и корреляционными функ­ циями &щ,(т), kv {x), kwv(x), а выполнение операций сглаживания и прогнозирования наилучшим образом будем понимать в том смысле, что среднеквадратическая ошибка Е при замене искомого

104

значения сигнала W(t + T) фактическим откликом Y(t) для иско­ мой оптимальной системы принимает минимальное значение, т. е.

по сравнению со значениями Е для всех других линейных осуще­ ствимых систем с постоянными параметрами.

Будем считать mw~ m v -—0, так как при заданных mw и mv предварительно всегда можно перейти к центрированным значе­

заданные kw(x), kv(x), kwV{x).

Задачи о сглаживании и прогнозировании стационарных про­ цессов впервые решены Колмогоровым и Винером.

Условие оптимальности сглаживания и прогнозирования

Отклик линейной осуществимой системы с весовой функцией h(l) па воздействие (1)

Y(I) — \h(x)X(t — x)dx.

105

Чтобы h(t) обеспечивала минимум ошибки Е, разность между

(4) и (3) должна быть неотрицательной, т. е.

2в ||'|' к (т) I(a) kx(x — о) chela — \l (x)kwx (т -I- T)dA +

Последнее слагаемое в левой части (5) неотрицательно, так как кх(х) — неотрицательно определенная функция. Если выражение в фигурных скобках (5) не равно нулю, то при надлежащем выборе алгебраического знака числа в левая часть (5) окажется отрица­ тельной. Поэтому для выполнения (5) необходимо, чтобы

оо

Из (6) в силу произвольности l(t) следует искомое необходи­

Условие (7) и достаточно. В самом деле, если к(1) удовлетво­ ряет условию (7), то (6) удовлетворяется при любой 1(1).

ность между среднеквадратическпми ошибками (фильтров с весовы­

доказана.

Итак, для оптимальности сглаживающего и прогнозирующего фильтра с весовой функцией h(t) необходимо и достаточно, чтобы к(1) удовлетворяла интегральному уравнению (7), которое назы­ вается уравнением Винера.

Из (3) и (7) следует

Е = kw(0)— ^ h(%)h(a)kx(x — a)dxda,

о

где двойной интеграл равен дисперсии отклика У(1). Поэтому для среднеквадратнческой ошибки оптимального линейного сглажива­ ния и прогнозирования окончательно имеем

E = D [ W( t ) ] - D [ Y ( t ) } = J SJito)dbi— f | //(co)|2s,(wMco.

106

Р е ш е н и е у р а в н е н и я В и н е р а

Решим уравнение Винера (7), ограничиваясь для простоты важ­ ным для практики случаем, когда спектральная плотность sx(u) воздействия (1) рациональна или предварительно аппроксимиро­ вана рациональной функцией, т. е. имеет вид

Свойства спектральной плотности s v(o>) налагают следующие условия на количество и расположение ее нулей и полюсов:

1. sx(со) вещественная при вещественном <о, поэтому а2 вещест­ венно, а все а т и р„ с не равными нулю мнимыми частями входят

в(8) в виде комплексно сопряженных пар.

2.s*(co) интегрируема на вещественной оси, поэтому ее знаме­ натель не имеет вещественных корней и степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. M<^N.

3.5Л.(ш )^ 0 при вещественном со, поэтому всякий вещественный корень числителя имеет четную кратность.

Всвязи с этим функцию (8) разложим на два множителя так, чтобы один содержал все нули и полюсы с положительными мни­ мыми частями, а другой — все нули и полюсы с отрицательными мнимыми частями. Так как всякий вещественный корень а.ш

числителя встречается четное число раз, то половину соответствую­ щих множителей и> — ат включим в первый сомножитель, а другую половину — во второй. При этом (8) запишем в виде

лежат выше вещественной оси, за исключением, быть может, нулей на вещественной оси.

107

преобразование Фурье от sx(io). Поэтому из (9), (10), (11) и из­

108

для передаточной функции Н(ы) оптимального линейного сглажи­ вающего и прогнозирующего фильтра, весовая функция /;(/) кото­ рого удовлетворяет уравнению (7).

Если ср(г) рациональная и все ее полюсы лежат выше вещест­ венной оси о), то при т <С 0 аналогично (12) имеем

Аналогично, если ф(г) рациональная и все ее полюсы лежат ниже вещественной оси со, то

— f е 'iw'dx f e‘m'z Ь(<со') с/со' = = 0 .

од»

109