книги из ГПНТБ / Лавренченко, А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

А. С. ЛАВРЕНЧЕНКО

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Под редакцией докт. физ.-мат. наук, проф. В. К. Саульева

Утверждено на заседании редсовега

как учебное пособие 3 октября 1973 г.

МОСКВА — 1974

ОТ РЕДАКТОРА

Пьер Симон де Лаплас (1749— 1827 гг.) в своей основополагаю­ щей работе по теории вероятностей «Theorie analytique des probabilites» («Аналитическая теория вероятностей»), опублико­ ванной в 1812 г., писал: .«Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания .. . Ведь большей частью важней­ шие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей».

Эти слова оказались пророческими. Действительно, в последние годы наблюдается все усиливающаяся тенденция к математизации наук. С другой стороны, в самой математике все большую и большую роль играет именно теория вероятностей и ее приложения. Его величество случай теснит, причем с каждым годом все настой­ чивее, детерминистские подходы, так что в полушутливом, полу­ серьезном высказывании известного американского математика Джоржа Дуба «математика представляет собой часть теории вероятностей» — большая доля правды.

Предлагаемая книга является естественным продолжением другой книги автора «Конспект лекций и задачи по теории вероят­ ностей», выпущенной издательством МАИ в 1970 г.

В обеих этих книгах изложен необходимый и на первых порах достаточный теоретический материал, являющийся фундаментом для многочисленных применений теории вероятностей и математи­ ческой статистики.

Данная работа выгодно отличается от многих других подобных ей сжатостью и доходчивостью изложения, отточенностью языка, удачным отбором материала.

Несмотря на ее небольшой объем, автор сумел включить и неко­ торые нетрадиционные разделы, как, например, оценку спектраль­ ной плотности и характеристический функционал. Поэтому данная книга наряду с первой будет полезна каждому, кто в своей работе в той или иной степени использует вероятностно-статистические методы.

3

Л е к ц и я 1 ТОЧЕЧНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

Выборочная функция распределения и гистограмма. Выборочные среднее и дисперсия. Несмещенность, состоятель­

ность и эффективность оценки.

Оценка параметров распределения методом наибольшего правдоподобия и методом моментов.

Выборочная функция распределения и гистограмма

Математическая статистика есть наука о методах получения и обработки результатов измерений для установления закономер­ ностей в массовых случайных явлениях. Ее теоретическим фунда­ ментом является теория вероятностей.

(после опыта), либо априорно (до опыта). В первом случае выбор­ ка (I) есть последовательность п конкретных чисел, во втором случае — последовательность п случайных величин, имеющих одно и то же распределение, совпадающее с распределением самой величины X.

Основная задача математической статистики ставится так: по выборке (I), максимально используя содержащуюся в ней инфор­ мацию, требуется сделать то или иное научно обоснованное заклю­ чение о самой генеральной совокупности X.

Для надежности этого заключения выборка (I) должна доста­ точно полно представлять величину X, т. е. быть репрезентативной (представительной).

Выборка (I) будет репрезентативной, если ее объем п доста­ точно велик, а ее значения независимы, т. е. получены при незави­ симых измерениях величины X в одних и тех же условиях.

5

В дальнейшем значения выборки (1) будем считать независи­ мыми. Если эти значения расположим не в порядке измерений (нижний индекс), а в порядке их возрастания (верхний индекс)

гпе — ximK

При п = 2 m

__ х<т ) + л:<т + 1)

Пусть .г — некоторая точка оси Ох, а л* — число выборочных значений из (2), попавших левее точки .г. Тогда частота

F(x) = ^ ~

п

называется выборочной функцией распределения и является оцен­ кой (приближенным значением) функции распределения

6

v , = — 2 * г ;

п7=1

—'б)'-

п , 1

Основными из них являются выборочное среднее

Априорно величины л- = х (хь . . х п) и s2— s2(*i,. . хп) случай­ ные. Они являются оценками генерального среднего тх и генераль­ ной дисперсии совокупности X.

Чтобы эти оценки были «хорошими», они должны удовлетворять требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка 0 = 0 (хь ..., х „) величины 0 называется несмещен­ ной, если ее математическое ожидание при любом и равно 0, т. е.

М [О] = 0.

Несмещенная оценка является точной «в среднем», т. е. несме­ щенность оценки гарантирует отсутствие систематической ошибки.

7

Оценка х несмещенная, так как

(4)

и _ _ I

----------- >. 1 прц ц —>оо. При малом же п можно «исправить» s2, умно-

иц

В силу закона больших чисел (теоремы Чебышева) х есть со­ стоятельная оценка.

Выборочная несмещенная оценка состоятельна, если ее диспер­

шом п можно считать x — mx, s2 = s2 и

- 8

тической ошибки М | (0 — 0 ) 21.

В отличие от несмещенности и состоятельности выборочной

n

Но в силу (6)

(П)

л

Из (9), (10) и (11) следует, что для нормальной X выборочное

среднее х есть оценка эффективная.

Генеральное среднее гпх имеет много других оценок, например выборочную медиану те и полусумму крайних значений х(1>и

9