книги из ГПНТБ / Василенко, Ю. А. Синтез дискретных структур учеб. пособие

<arf

- oct

t (a^ f ß t ) -

xt 4 (xt t(-X ytlt) s

f t = f ( x x H ) 4 < K t ) *

f t

= / *

(я* t * f > -

* * (x* 4 ( x t *• (* t * ( x f 4 ))]) }

f ш { ( i t x a) i f j 4 { x 3 4 f £ ) =

= (U t -xj) t Шхх t i )

4

4/ ) ) 4 (xt 4 i j) /

/

/ /

/ f ( Xt 4

4 (sct 4 (<Xy 4 / » ) ) ) .

I

Xi

x

___

I

I

I

I

0.

0

0

* /

о

0

0

I

I

0

0

I

• V

t

x*

XJ

В вершину

-

6,

*m

А t

,

,

<fl

I

I

V

Л«

I

0

-

диаграима Вейча

. 1 I

0

ДЛЯ ФУНКЦИИ f l

I

0

V

*■/

*1

X*

I

0

диаграииа Вейча для

0

0

Л

jr*

0

0

функции f.

*

I

I

V

$fm3.

Si,- I.

SU3.

5 / -

3' 5

“ 3.

SU I .

b

n

ft

Ь

tt

В

вершины

подграфов для функций

ff 1Л

S выбереи, соответ­

ственно,

переиенные ос3

и

\

'

оСя = ( Ш Х , ) * (асл * £ > ) * { ,

* а ж ( и * * л ) * ( * л

W

)

* / Ъ

**>»

А - х

л * ( х л Ф ({/# >

И

)

Щ

f f ) }

4 / ) ) ,

f ^

(U 4Х< ) * (({***») * Ъ Ш ) Щ 4 І)})И .

f ~ ( ( i m ) t f t )

* (*t

tA ))~

- $

£ * Ъ М » , * ( * * * f t f X t

Ш

ффщ

4

f m /С*і f f i )

t m

~ (x t t / c t ( { 0 / J C j j f { j r t f{ c f J b > ) / -*V >) /

4 { / o f Xj / é (fjr„ /

/'Ту t { c f jcs J) /£>) * л; /

в/ Алгебра Іегалкина.

*

( /

€> ■*,)■ 4

ф j r . 0 = / Ф я г

U =

* &ас* >

cct = ( { Ф Х у ) { /

eü}= {/ ®згг} ■(i Ф-х,}®эел ,

f t = ( / <® х , / Ф а ; f f « я ; ) { 4 &

),

f t

■=

( і ® Х у ) { ( і Ѳ * г ) ( 4 ®3cMj

®jet

4,

f

=

( i

®0Ct)({4®JCs ) ® х л (4

& J y’ ){4 ® T t ) ) Ф

®

Xt

( f 0 T t

)({4 ® эег )(1 ® ог3 )ф ос1 ) m

Г Л А В А

П

ЧАСТНЫЕ

СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯ

ЛОГИЧЕСКОГО

ДЕРЕВА

§

I.

Использование

логического дерева для распозна­

вания

симметричности

булевых

функций.

Симметричные функции находят достаточно широкое применение

в различных областях вычислительной

техники, причем, при синте­

зе схем, работа которых одасыаается этими функциями,

можно уха -

зать частные методы а приемы синтеза, даЬцие лучший результат,

чем синтез с помощно общих приемов

[2]. Поэтому интересным яв­

ляется исследование алгоритмов распознавания симметричности бу­

левых функций.

Пусть задана функция двузначно* логики t

t S t

) .

Можно

предложить следувщий тривиальный

алгоритм проверки сим­

метричности функции

:

для каждой подстановки

х і , х і>

•••»

х п

строить функции

х

f:r*

=

...... * *«> .

Потом каждую Функцию

-

х

)

оценивать

с функцией

.

Очевидно,

что

/Ѵагу,

х п )

тогда и только тогда симметрична, если для каждой подстановки

> х з I

выполняется соотношение

f ( x i t

x Jt, n. > ^ ’n ) ~

=

^

....•?,)•

Но данный алгоритм весьма громоздок и

содер­

жит не менее чем 2 n- n j

сравнений.

Действительно, количество

всех подстановок

f

равно

n

f

. Кроме того,

для каждой подстановки ( x t

>...( х п

)

нужно

сравнение

h r x . - , X ' , ) ~ f x i

X

- - г" ) л л я всех

2 П

наборов.

функций:

1.

Определить симметричность пары

переменных Tt и

-ту

2.

Подмножество (JCt ,

множества входных перемен

них

(

х п )

является частиично симметричным,

если

существует симметричность

всех его пар.

Поэтому процедура п .І

повторяется

для всех пар

переменных

■*„)

Нетрудно видеть,

что

сложность алгоритма распознавания

определяется

выражением:

L H

L - L . - / C

где

-сложность

распознавания пары

симметрии,

Радеыахера-Уолша

[ 1 0 ] , имеет ту же сложность,

но

его преиму­

ществом

является

возможность достаточно простой

машинной

ре а -

ж заакй ,

так как

нахождение коэффициентов в данном

случае

есть

1. Строим для функции

f /зг«. «

і

дерево

-О /ѵ ,

> } ]

фусы дерева будем нумеровать сверху вина,

считая,

что первый

ярус имеет номер 0, а последний - номер п

. вря даяяой нумера­

ции

і -ый ярус содержит 2*

вер«««. Вершины

# -л*е яруса

бу-

ѵ

і

-I. "чтку,

дем нумеровать слева направо номерами 0 ,1 .2 ,....2

стоящую в

j -ой вервине

і -то

яруса f

обозначим через *,-,у ,

2. На каждом ярусе с номером

*

л>

проверяем

метку,

сто«дув возле сдедуидих нар вервия;

/І;2 /

/5;б/

/9;ІО/

/ІЗ ;ІѴ

/rw e/....,/<H U I;M lU 2/,....

..../2 *

-3;2*

-2/

/ /

/

Последовательность t

i

t

содержит г *

*

пар. Вели

для всех

і

* 2 , 3 , . . . ,

П

"и

К «0Л ,...,2^'г -І,

то Функция

f < ~ , ,

)

симметрична.

Если при некоторых і

и К /

< * 2 ,3 ,...,п

; К «0,І,...,г*

* /

выполняется соотношение

<*<>*♦/

.т о f

х л /

несимметрична.

Подсчитаем количество операций построенного алгоритма.

Элементар­

ной операцией будем считать операцию сравнения

і к + г

Ha каждом

t -ом ярусе / /» 2 ,3 ....... п /

нужно выполнить 2 1~ е

сравнений. Значит, количество всех сравнений равно

Z *

л 2 г < г ' > 2 ° ~ 2 П і- 1

Ясно, что число

. п-і

-I значительно меньше числа

2

п

!

2 " л

Эффект при этом получаем следующий

1‘ , п !

j

J n ‘ 4

2 n t

■k

Из последних выкладок следует,

что предложенный алгоритм выгод­

но отличается от известных.

Дадим теперь обоснование

только что приведенного алгорит­

ма. При перестановке

двух соседних ярусов

( ( - 2 )

и ( i

-t

) -го

э ѳ

-

иатхя на

t -ом вдев

меняется только я вериинах с

номерами

К і Л , ч & * 2

/К -0 .....2

- у .

Причем метка

занимает

место нетям

*>#ч?

,

а метка

занимает место

мет­

ки

.

Поэтому,

вела ври некотором К имеет место

со-

отиовевие

<*„,*<***.,*

,

то ври перестановке

ярусов

«*-2 и

( і - р ~

-го дерево

JÖ

изменится к будет уже представлять другус

функцию.

Значит,

в этом случае

f( T t

, ^

х „ )

несиммет­

рична. Ecjw на всех

t -ых ярусах/

1= 2,3,..., п

/

йг

=

* Лѵ*»г

/К*0,І,2,... ,2

“

- I /,

то при всех перестановках

соседниX ярусав дерево

Т і

не изменится. Но дибуи перестановку

перестановок. Так как ни одна перестановка соседних ярусов не

ме­

няет дерево

И )

, то их произведение тоне не изменяет дерева

f j

,

Значит,

лобан перестановка яруса не изменяет дерева І

) .

Отсода вытекает,

что

f l T t , x f

х п )

симметрична.

Обоснование

алгоритма

закончено.

ЗаметиМу что данный алгоритм установления симметричности

функции

/

Ц ,

......

X h f

модно обовдть на К-значную логи­

ку,

а такие на иноговыходовые

схемы.

Пример,I,

Установить симметричность функции

трех

аргументов:

f

« ОООЮІП.

Отроим для функции f

дерево: