книги из ГПНТБ / Василенко, Ю. А. Синтез дискретных структур учеб. пособие
.pdf- - 9 9
явление в симметричности |
нагрузки каждого характеристичес |
||
кого элемента. |
|
|
|
Тогда инеем |
д |
- |
ѵ |
isV-JL - Лк |
• |
||
* р ~ т п " |
П |
||
2.Пирамидальный дешифратор. Дешифратор этого типа стро |
|||
ится во методу каскадов. |
В двоичной логике при использовании |
||
элементов с коэффициентами объединения |
К=2 первый каскад |
||
пирамидального ДШсостоит из четырех схем, образующий на выхо
дах все |
|
четыре конституенты единицы от двух переменных |
||||||
|
|
Х і Х 2 , Х { Х г> X<XZ |
,Х ; Х > . |
|
||||
При реализации |
/П |
-аначного |
пирамидального ДШ /С-вхо- |
|||||
довыми конъюнкторами в первом каскаде образуют |
t t l конъюнкций |
|||||||
характеристических функций от |
|
|
ДО |
ЭТОГО |
||||
потребуется |
|
|
К -входовых конъвнкторов, на входа кото |
|||||
рых подается |
К |
характеристических Функций. |
|
|||||
Во второй каскаде на один из |
К |
входов подается выход |
||||||
одного из элементов первой ступени |
и ( К - і ) |
новая характерис |
||||||
тическая ФУНКЦИЯ ОТ (р іш |
( Х * + |
і) ДО |
( X g fi- j) . |
|||||
В общем случае потребуется р |
|
таких каскадов, вплоть до |
||||||
последней ступени, для которой число новых характеристических |
||||||||
функций |
і |
может оказаться в пределах |
|
|||||
|
|
|
o & |
T * K - t - |
" |
|
||
|
|
|
~ |
и |
Г- |
|
|
|
|
Целые числа р |
/ |
определяют из соотношения |
|||||
п-к=р(к-і) + Т.
Общие аппаратурные затраты многозначного пирамидального ДШустанавливаются следующей теоремой.
Теорема. Полный многозначный пирамидальный ДШреализуется
100
элементами, чиодо которых определяется формулой |
|
|
|
|||||||||
|
|
т к[ т №-г¥ * > - п |
|
|
„ |
|
|
|
|
|||
k / . i — т |
^ - 7 |
+ т |
+ т |
, t t y |
|
|
w |
|||||
|
1 ' |
|
|
|
|
. „ |
„ |
|
T * О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ м |
> |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Дакала тел ь с тв о . |
Выпишим количества |
коньюнкгоров |
различных |
||||||||
к ао к ад о в , |
начиная |
с |
нервого |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
KJH М jc-i .£к-*к-і |
к - іг |
||||||
|
|
|
|
|
* т т т т + т т т - " tn т |
|||||||
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
See |
члены |
это го |
выражения aiP”исключением последнего |
образу |
|||||||
е т |
геометрическую |
прогрессию |
с о |
знаменателен |
|
|
|
|||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
т |
, |
так |
|
Число коныонкторов последнего каскада равно |
|||||||||||
как |
р |
и £ |
удовлетворяю т |
соотношению |
ft^K -t-p(K ~t)4-Ъ » |
|||||||
|
Найдам сумму членов геометрической п рогрессии . |
|
|
|||||||||
|
В нашем случае |
|
£ ^p N -f. |
; |
|
|
|
|||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<•_ т * [ * * - * № - п |
|
|
|
||||||
|
|
|
о |
------------ л Р - г |
; |
у |
|
|
|
|
||
Дли нахождения общих аппаратурных затр ат необходимо учесть последний каожад и характеристические элементы ИШ входного к а с к а д а .
В р езу л ьтате получим формулу ( |
) , что и требовалооь до |
к а з а т ь . |
|
СдалетвиеІ. Для случая К~ІЪ в многозначном пирамидальном ДШ имеем один каск ад ко н ъ ш кторов , а общие аппаратурные затр а ты составляю т
Мг = м П 4 - т я .
Эта формула совпадает с выражением для общих яппг. :атурных
затр ат матричного многозначного ДШ при К *“ f l » 3". евн де-
тѳльствует о том, чхо при К -f t пирамидальный Ді вырождается
в матричный.
.. |
f t - r |
|
|
|
|
|
к |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
/2*7 |
|
||
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
І Ѣ 3 |
п * з |
|
|
|
П*2 |
|
|
|
|
|
___ 1___ __ _J___ ---- »---- ...... |
J L - |
|||||
2 |
3 |
4 |
5 6 ? |
& |
9 і |
О |
|
|
|
Рис6. |
|
|
|
Следствие |
2 . |
Для случая |
К-2. |
и |
fll-2 имеем |
|
Последний член выражения ( / ) , представляющий собой ко
личество характеристических элементов tYlfl , при /77=2 не
учитывается, так как вместо двух характеристических элементов
на каждую входную переменную в двоичной логике можно использо
вать нулевой и единичный выходы триггеров, хранящих код дешиф |
||
рируемого слова. |
О |
|
|
|
|
Для качественной оценки влияния различных параметров на |
||
общие аппаратурные затраты пирамидального ДШ построены |
графи |
|
ки на рис. 6 и рис. 7. |
|
|
Увеличение коэффициента объединения элементов К |
, как и |
|
впредыдущем случае, снижает аппаратурные затраты пирамидаль
ного ДШ.
102
Характер зависимости $ 0 ^ ^ 2 .~ ^ (К } сохраняется и для дру
гей звечности логики |
f f l |
.. Следует только инетъ в виду, |
|||||
что при увеличении |
/ fl > 3 |
семейство кривых проходит выше, |
|||||
чей показано не рио. 6 , а при |
/71 |
3 |
- ниже. |
|
|
||
Последнее обстоятельство |
подтверждается графиками |
|
|
||||
на рис*?, достроенными для фиксированного зна |
|||||||
чения коэффициента объединения |
К ~ 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
При |
оценке |
влияния коэф |
|||
|
|
фициента объединения на об |
|||||
|
|
щие аппаратурные затраты |
|
||||
|
|
следует учитывать также то, |
|||||
|
|
что |
при увеличении |
К |
% |
||
|
|
наряду со снижением |
общего , |
||||
|
|
числа элементов |
для |
всего |
|
||
|
|
Д і, |
происходит |
некоторое |
ус |
||
|
|
ложнение |
самого многознач |
||||
|
|
ного элемента, за счет увели |
|||||
|
|
чения числя входов |
К . |
|
|||
|
|
Это уточнение однако сле |
|||||
|
|
дует |
использовать дифферен- |
||||
применяемого многозначного базиса и технических особен ностей схемного решения мно
гозначных конъюнкторов. Если многозначные конъюнкторы выполне ны на основе позиционных многоустойчивых элементов, то при уве личении К путем увеличения числа входных диодов,
сложность схемы элемента изменяется незначительно и ее можно считать постоянной.
103
Пра ИСООЛЬВОВвВИН пассивных дмодно-реостатных охеи > бе-
зиое теоретико—мвожествениых операций увеличение СЛОЖНОСТИ схемы многозначного элемента необходимо учитывать.
Для теоретико-множестввнногѳ |
|
базиса в павсиных элемен |
||||||||||||||
тов затраты диодов |
|
|
оцениваются первым' членом в формуле |
|||||||||||||
( { |
), |
умноженным на число входов элемента |
|
f ( |
|
. |
||||||||||
w |
|
|
А/ |
|
|
к т к - * ( т п- т ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
" |
Г |
Г |
|
т * - < |
- - / ..... - . |
|
|
. |
|
|
|||
Так как орк |
|
|
|
ш ъ ъ и |
|
f f l |
|
|
, |
то аоедотав- |
||||||
ляѳт интерес доведение функции |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
к т |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
т к і ~і |
|
|
|
|
|
|||||
в зависимости от изменения |
К |
|
для логик о различной энач- |
|||||||||||||
ностьв |
|
t f l |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже приведена таблица I |
значений функции |
^ |
для раз |
|||||||||||||
личных |
/ft и |
К |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица I . |
|
||||
|
|
|
|
|
------1--------!------ 1 ------ 1----1-------1---1— г, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
14 |
15 |
! |
6 1 ? ! |
8 |
I 9 110 ! |
|||||
|
|
|
|
|
* |
j 4,7 |
j |
5»з| |
6 j 7 |
8 |
j 9 jlQ |
j |
||||
|
3 |
! |
3 |
13,36 |
}4,I5 |
! |
5 |
Ré |
8 j 9 jlO j |
|||||||
|
5 |
j 2,5 ІЗ.ІЗ |
} |
4 |
I |
5 |
8 |
I |
9 |
|I0 |
j |
|||||
|
10 |
+ |
“ 1— |
|
|
|
5 |
R |
8 |
1 |
9 |
!----- |
||||
|
j 2,2 |
j |
3 |
! |
4 |
! |
! |
6 1 7 |
! |
!I0 |
» |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___l___ 1__1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
||
1 0 4
Ив таблицы следует, что использование двухвэходовых и
трехвходовых элементов для двоичного пирамидального ДШ дает
одинаковые аппаратурные затраты, а для многозначных пирамидаль
ных т |
( т > 2 ) в базисе теоретико-множественных операций уве |
|
личение коэффициента объединения К |
пассивных конъюнкторов |
|
смае' |
нецелее ообразно. |
|
Использование элементов с К=3 |
для двоичных пирамидальных |
|
Ш позволяет значительно увеличить быстродействие ДШ за счет оонращения числа каскадов вдвое.
Действительно из принципа построения пирамидального ДШ не
трудно установить, что
и
Определим удельные аппаратурные затраты многозначного
В таблице 2 приведены значения / 0 ^ д дляя значности логики
т*2,Зг п 0 и К - 2 , 3 .
Таблица 2.
|
105 |
|
|
|
|
|
|
При увеличении |
К |
свыше 3 |
/(^ п р ак ти ч еск и |
равно |
|||
единице . |
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая гра |
А |
|
|
|
|
|
|
фик на рис. 8 можно еде- |
|
|
|
|
|
||
лать вывод, что с ростом |
< |
|
|
|
|
|
|
значности логики /Л |
удель |
|
\ |
к»2 |
|
|
|
ные аппаратурные затраты |
|
|
|
|
|
|
|
многозначного пирамидаль |
|
|
|
|
|
|
|
ного ДШ уменьшаются от |
|
|
|
, ... 1___ |
___ 1___ |
1т. м, |
|
2-х до одного элемента на |
1 |
___ 1___ |
|||||
2 3 |
4 |
S 6 |
* |
4 9 / 0 |
|||
один, а при увеличении |
|
|
|
Рис8. |
|
||
коэффициента объединения |
|
|
|
|
|||
стремится к |
единице |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент разветвления конъюнкторов в пирамидальном ДШ
определим воспользовавшись симметрией структуры ДШ по отношению числа элементов в сложных каскадах.
|
Это отношение является постоянной величиной для любых смех- |
||||||||||
ных каскадов и равно |
А. |
|
т |
Щ |
|
*-■£ |
|
|
|||
|
|
К р |
~ |
ftJ K |
~ т |
|
(7 -. |
|
|
||
|
Исключение составляет |
только последний |
|
р |
• |
||||||
|
каскад ара І ф |
||||||||||
|
Таким образом, коэффициент разветвления конъюнкторов в, |
|
|||||||||
пиоамидальном ДШ больше, |
чем в матричном. |
|
|
|
|
||||||
|
Коэффициент |
пазветвления характеристических элементов, |
в |
||||||||
противоположность коѳффициенту разветвления конъюнкторов, не |
|
||||||||||
остается постоянной величиной, а зависит от номера каскада |
|
, |
|||||||||
на |
который поступает сигнал |
выхода |
характеристического элемен |
||||||||
та . |
Чем дальше от |
входа |
находится каскад, |
тем |
больше коли |
|
|
||||
чество конъюнкторов он содержит, тем выше требования к нагру |
|
||||||||||
зочной способности |
характеристического элемента. |
|
|
||||||||
|
Зависимость коэффициента |
разветвления |
о* |
номера каскада |
|
||||||
|
, считая со стороны |
входа, |
можно выразить |
следующей форму- |
|||||||
ІОб
|
Отсюда наибольшая нагрузочная способность требуется от |
||||||||||||
характеристических |
элементов, |
нагруженных на конъюнкторы по |
|||||||||||
следнего каскада. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В этом |
случае |
|
2 / |
- f ë j / r a a : « |
4 |
= [ % £ ] , |
||||||
а |
К р |
~ |
tU ^ |
* |
|
, т .ѳ . |
многозначный пирамидальный ДШ |
||||||
обладает несимметрией о точки зрения нагругхи на источники |
|||||||||||||
входных сигналов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3. |
Многозначный многоступенчатый дешифратор. |
|||||||||||
|
Многоступенчатый ДШ можно построить путем сведения задачи |
||||||||||||
построения ДШ для |
t l |
входных переменных к |
задаче построения |
||||||||||
К |
дешифраторов для |
|
|
Х к |
переме.ных соответствен |
||||||||
но |
|
|
f — *-(Хкж f t ) |
• |
^ тобы произвести |
такое сведение, |
|||||||
достаточно |
заметить, |
что |
любая многозначная конъюнкция всех |
||||||||||
характеристических |
функций от |
( f i j ( X / J |
до ^ Й ^ /м о ж е т бы*ь |
||||||||||
представлена в |
виде произведения |
К |
|
групп конъюнкций. |
|||||||||
|
Обозначим через |
ЛР* множество |
всех входных'переменных |
||||||||||
от |
Х{ |
до Хц |
, |
а через |
Jlfj |
- |
подмножество множества |
||||||
J tf* |
, |
состоящее |
из входных переменных, принадлежащих к труп- |
||||||||||
ПѴ < |
|
/ |
|
поддешифратору). |
|
|
|
|
|
||||
|
Необходимым и достаточным условием сведения задачи синте |
||||||||||||
за ДШ на |
/ I |
переменных к |
задаче |
синтеза |
К |
поддешифрато |
|||||||
ров от меньшего числа переменных является выполнение следѵющих требований:
Л і и М г £ /•• •
и о
Л і П Л / 2 Г { " 'П Щ / ' л
Такая постановка задачи синтеза многоступенчатого ДИ на многовходовых элементах является прямым обобщением задачи
107
синтеза ДШ из двухвходовых элементов ( К=2 ) на случай |
ис |
пользования элементов с произвольным коэффициентом объеди |
|
нения К Ф 2 . |
' |
Общие аппаратурные затраты многозначного многоетупенча- |
|
того ДШ можно определить по теореме разложения для ІШ. |
о |
, |
|
Теооема. Для построения многоступенчатого ДШ на |
/С -вхо |
довых элементах необходимо произвести синтез /С поддешифра-
торов для меньшего числа переменных по следующей формуле разложения:
/Ѵ3 = / 1 4 « |
= / я |
+ т |
, |
|
где f y ß £ |
- |
количество К |
-входовых элементов |
для реа |
лизации ДШ на |
|
/2 переменных; |
|
|
Ш- число входных переменьых в паддваіфраторѳ, ок
ругленное до ближайшего меньшего целого числа; |
|
||||||||
ГЦ- число |
оставшихся входных переменных после |
разбиения |
|||||||
всего |
ДШ на |
поддешифраторы, |
определяемое из соотношения |
||||||
|
|
|
п |
і - |
п - [ { к |
] ( * “*/* |
|
||
|
Доказательство. |
Разбиваем |
f t |
переменных не |
/< груш |
||||
следующим |
образом. |
|
|
|
|
|
|
||
|
1. (К - і ) группа |
имеет |
Ш |
входов. |
|
||||
|
2. |
Одна группа |
имеет |
ГЦ |
входов. |
|
|||
|
Если |
[ % ] > £ , |
то процеос разложения повторяется снова, |
||||||
и так |
до |
тех hod, |
пока |
|
|
0 |
|
||
|
Если Г Ц Ж , |
|
Ш*к- |
|
|||||
|
то |
процесс разложения повторяется до tax |
|||||||
л пор, |
пока |
|
Г Ц & |
I С . |
|
|
|
|
|
|
бела |
|
|
• то аппаратурные аатра» |
нзддеішфра- |
||||
тора |
составляют |
|
|
|
|
£ f c j |
|
||
А/Щ к ^ т ■
108
Если |
то количество элементов такого |
поддешиф |
||
ратора |
равно |
|
|
|
|
|
Л |
/ ь к |
|
Обеде аппаратурные |
затраты многоступенчатого ДШ равны |
|||
сумме конъюнкторов и характеристических элементов всех под- |
||||
демвфраторов. |
|
|
||
Теорема доказана. |
|
|
||
Дример. |
Синтезировать многоступенчатый ДШ для |
171—3 , |
||
f l * t |
и |
К * 3 . |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
+АІ'Э + 3?^2-2?+0+?£Щ
K , 3 ~ 0 ;
К3 = з ъ= г ? .
|
|
До теореме разложения для фиксированных значений значно- |
||||||||
|
сти логики |
f f l |
|
с помощь» ЭЦВМ составлены таблицы значе |
||||||
|
ний десятичных логарифмов |
общих аппаратурных затрат /^ ^ м н о |
||||||||
|
гоступенчатого ДШ в |
зависимости от коэффициента |
объединения |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
коиъюжторов |
К |
и чис |
S |
т |
|
|
|
|
|
T*7ZT |
ла входных переменных 71 . |
||
"7f“I ' |
|
|
|
Семейство кривых |
||||||
к |
|
|
|
n~s |
||||||
|
|
|
|
для |
т = з |
|||||
з |
'""'ä=7" |
|
|
|
|
приведено на рис. 9 . |
||||
|
|
|
|
|
|
П’ 6 |
||||
|
|
Л=ѵГ |
|
|
|
Анализ таблиц и графи |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n=k |
ков показывает, что обп^э |
||
|
|
- |
|
m*3 |
|
|
аппаратурные |
затраты много |
||
|
|
' |
|
|
|
|||||
|
|
п=з |
|
|
|
|
К |
ступенчатого ДШ практически |
||
/ |
i |
1---- _1 |
___* |
не зависят от коэффициента |
||||||
*- |
|
|
|
|||||||
|
г |
3 |
9 |
5 |
6 |
7 S |
9 іО |
объединения К |
, во визраста- |
|
«■