книги из ГПНТБ / Василенко, Ю. А. Синтез дискретных структур учеб. пособие

тогда не

имеет

места

следуемего рода соотношения:

f a

of V j3 * t

f ^ c

,

/ =

/

где

of

I

^

не

зависят

от

oTJ. .

Если

бы имело место

соотношение

/*- «f

,

то

f~<*art v<t3ct

, Значит,

er

= f(£ sta ... x^ß st f

(0jcg ...

>

Из одного нз услошй

теоремы вытекает, что

f

to s e , ...

- $<іХг

х л }.

Но последнее

противоречит

второму условие теоремы.

Пусть

f

jS X t

.

Тогда

«V

. Значит,

f t * . * * , - ,* »

ffoTf...

.

Отсюда и из одного из

условий

теоремы

вытекает,

что " f t *

a^ ... «S, )* f f a ^

)

Но это

противоречит второму условие теоремы.

E c«

i f - 0, то

/* ■ I,

то

) - f / r a z - ' ^ k h

и л

f f c - e , “ я ' л ) ж/Ѵ /« ф ...яі

.Н о

последние

соотношения

противоречат тому условно теоремы,

что

...

М *> ...*/

Теорема

XI доказана.

ТЕОРЕМА

12.

Если

х„ )

V * i

/7 / л ;

?(ох ,...ж л)Ф

/

/

/

* ,

м f i t эек...Хя) а

f t o * ; . jcn)

то не

имеет

места следусине

соотношения:

f=**Vr V J

f a

о ,

f a

f

= at&t

где

оС

и

jb

не

зависят

от

х х

.

Если

бы имели

место

соотношения

f

*

0 или

/

- I, то

-

f

(i* * ... x n ) = i

Но последние

соотношения противоречат условию теорем.

Пусть

/*■ o t^ V jS

.

Тогда

=(ctVjS)#j

VJSXt

.

Значит,

f ( o , X A , ., . , x n )=, d

V ß

3

3 ^3=

f(iti?л , . . . , х п ) .

Отсюда из одного из условий

теоремы вы­

текает,

что

f ( o , x t t . .. ,x n ^

f ( ^ , x t

, . . . , x n

)

*

Но послед­

нее

противоречит условию

теоремы,

заключающемуся в том,

что

f (о,хл , ,

Хп )гф

f(i, х^,...) хл )%Пусть

¥

— *f

.

Тогда

f - «СІ* У0«*V

. Значит,

f f o ,

«V >*=вга<?=

f ( i

х

, . , х „ )

. Отсюда и из одного из

условий

теоремы вы­

текает, ЧТО

f ( 0,'xt

, X s , . . , X n )

=

f

i i

,

•••,

)

Но последнее

противоречит другому условию:

Теореиа 12

доказана.

Из

теоремы

II

и

12 вытекают

следующие следствия:

_але£стше_Іі Если

f mХл f ( OJCt

.. . Хѣ } VЩ f

(іхл...

f

f ( o x „ . u x ^ h t f

a

x

и

f ( o x t ... xn i s

c

fa,

,

то из

f ^ a c x t

V ß x t

,

где cf

и ß

не

зависят от

Xt

,

вытекает,

чтоß

А) .

_Следстше_

2^

"ели

f =

X t

f

~

f ( o х л ... хгл

)

у

,

y x i

f d x ll...xn ) t

f a x 1 ...xn.)^-fibrJ, . . . ^

f

(ОХг ...Хгх)

=

f

X

J

,

то

из

f - c t v c ± Y ß x ^

, где

и

ß

но

зависят

от

,

вытекает,

что ß

t

0 .

ТЕОРЕМА

P .

Если

f =

.Tr

/

=

f t o X j . . .

x n )

V

V ccd f u хг ... тп ) , f( і х г ... x rt > $É

//0 а гг ...

я-„ ;

и

f f o X j ... л ;

^

f ( i x 3 ... осп)

,

то

из

f-c O F t

V ß x t

,

где

o '

и ß

не

зависят от x t

,

вытекает, что

оі

і

0 ,1

и ß

4

0 ,1 .

Действительно,

если бы о( « о или ß

«= 0 ,

или

ß

*

I

или

of *

I,

то выполнялось

хотя

бы одно

из

соотношений

ъ г

-

f ( i a c t ...x„}GZ

f { o * t ...xn )

или

f(Q X i ...iXn' ) s i f ( 4 , x i>

* s , -

,

Но из условия теореиы вытекает,

что ни одно из данных соотношений

не имеет места.

Теорема

13

доказана.

Сейчас мы изучим представление функции

f

в виде

V f

где oC.jS,

f

не зависят от

x t .

Такое

представление интересно с точки зрения представления функции

в вид* ДЯФ.

Пусть

f

-

Y

*

,

где

ф £

-

элементарные коныжкции.

Черев

^

of

обозначим диэмжкцнв всех формул

, которые

содержат

Через

Xt jß

обозначим дизьгакцив всех формул

,

кот»1

рме

содержат

X f

,

Через

J'

обозначим коиьткцию всех формул

Щ

,

которые

не

содержат

ни

,

ни Х }

« В

результате

по­

лучаем вышеуказанное

представление

f ^ a f X i

V j x t

V у

Из только что приведенных выкладок следует,

что изучение

представ­

ления

a l ^ V j g X V y

имеет большое значение для установ­

ления сложности минимальной ДЯФ для функции

f

.

Мы будем счи­

тать,

что

of, ß ,

Jf

з

следу щи X теоремах не зависят от

yJ"4 -

ТЕОРЕМА

14.

Пусть

f =

S i

f ( o x t x 3 ... х п )

V

Тогда

из

/ =

ofXt

V у

^вытекает,

что

f -

Действительно,

{

-

o( 3^

V

j x

/

v

у

=

X

p у r f

{/у

(ß

V

x i

.

Значит,

V V у --

f

(o r f -j~j ... x n)

f i l

'je,..,

r „ )

■j i

V у

.

Поэтому

/

{ ы I/ у У х , V (ы V y ) X ,

Ы V У - ( ß V У ) 5% v ( jt V y )x , J i V,у.

5*

Д е й с т в и т е л ь н о ,

V

V f = i<* Vf

V

. B e d V f a ß V f

. П е т е о р е м е

2 и м е

¥^¥0,' О т о е м н о д у ч м мf » d i % V f ^ , V ß V f =

• d Z . V ß V f

' Т В О Р Ш

2 P .

Ц у с т ь Щ /* =

V X, f ( t x t ..x^)

и

: Т о г д » ие /- o f 5 J v ß « t V f

з а т е к а е т , ч тfоxß x t V*. V f .

Д е і о т ш

т е л ь и оf ~, .

* ¥ ,V ß x t V f -{* Vf№ t

v fßVjf)xt

Otcbäb я ks у сл ои мя т е o p eіш венчаем

f ^ U ß v f l x ,

v d vf)=*

* J * , * f * f V « * V = / * 4 v * v *

?Т2в £ в щ е « я а 3 . Е ея иf - x f

f (oxs

...лгл /

к я ° ,/V<p j t, . . .r- , J

* $ - * W $V ß m , v f

.то

ff&«ft ... xn / = x y ^

( а * г ... *

j ~ ß v y t

Действительно,

f r К V* f}W t

¥ { ß V f ) x f

Отсвяа

волучаев

соотношение

/

fy

/ ,

ТЕОРЕМА

21.

Соотношение

- f -

d X ,

V y s x t V у

имеет

место тогда я

только

тогда,

когда

f c

Я

f £

Соотношение /

5

/ври

условии

-ртагЩ Y ß x , v f

вытекает

из соотношений

/

&

/ ,

Пусть имеет

место соотношения / & / .

Тогда

f*

&,

f

... дг„

)

ѴГ,

f< ixt ...x n }= х , ( f(o x,...xn ) у

V f )

V x ,

f f a

Гл ... Г п )

V

f )

- X f

y

V X ,

f

({ Xjf... r„ } v f f t V f

V f X f >=

f toXj... x „ ) V

V x < {

U

x a ... X n )

V f

Положив

f ( i , X..

, X j - ß

получим

представление

V ^ x t V f

Заметим,

что функция

f â

* удовлетворяющая условию

ft

s f

называется имцликантой

функции

і

•

Бели

/,

G

f

и

/

С Г

,* 0

t t

называется

1

к

f *

.

Функция

называ-

общей импликантой функций

Г

f *

ется максимальной

общей импликантой для

и

/■ м

есж

*

*

«

г*

/

и

Л *

ж если

/ •

является

/

общая имоликанта для

7

¥

г

иігаликантой некоторой функции

ф

, отличной от

,

то

f

уже

не является общей нмплнкантой фуякфв

f

и

f

Максимальная о б щ а я ишшханта д л я

ф у н к ц и й

я в л я е т с я

с у щ е е -

твенной и имеет вид

f

А f * .

?аиш о б р а з о м ,для п о с т р о е н и яоб­

щей

максимальной импликанты

f *

для

функции

/

и

f*

,

нужно

положить

f

-

і

на тех и только на

тех наборах,

г д е

/ *

/

я

f

• 4

одновременно.

Из теоремы

21 и только

что

приведенных выкладок

вытекает

следущий

алгоритм

минимизации, который мы в аз о в е и алгоритмом м и ­

нимизации с максимальным склеиванием. Этот алгоритм представим

в виде

следующих этапов:

Т. Пусть

-

функция от

*і

перемеимх.

Строим систему

деревьев

£)л

$ * . , ...

Ф /

.

г д е

л

. '-

-дерево

с

і - ярусами,

зависании от

п е р е м е н н ы х

.

Пока что внизу данных дере-

ьев н е

р а с с т а в л е н значенияы

,

Деревья •

^

представляют н а данном этапе пока что

некоторые граф-схемы,

2,

Отроим дерево

^

,

внизу которого расставлены

значения

функции

Ж / , , *

. . . , , . ,

.

3.

Дальше попарно

строим деревья

и

0 ;

/

*’ * Т ,2 ...

••. 11

Л " І/

»

Построение

этих деревьев происходит

так*

Сначала

пронумеруем

места,

стоящие

внизу деревз

0 f. / / * T ,

2 , . . , ,

п

/

,

через

0

, 1

, , . . ,

t

’ * .