книги из ГПНТБ / Василенко, Ю. А. Синтез дискретных структур учеб. пособие

ношения: eCi >*x*t

~

для всех

( * 2 , 3 , , . . ,

п ;

К=0,1 ,2 ......... 2 ‘*г

- і ;

iCls.s^* 3 ,e

Следовательно,

функция f

симметрична.

^jt

Пример

2

«

Установить симметричность

четы­

функции

шения: ÜiK„ -

для

всех /<=‘2 , 3 , п

и К>

* 0, 1,« . *, 2

—Ij

~

^ ^35 ~

^ і і ^

следовательно,

функция

f

несимметрична.

I 2.

Алгоритмы минимизации

ее

склеиванием ,

использующие логическое

дерево .

Пусть дани функции

ft

и

fe

\

f t

-

имшшкаита для

,

если

fg

¥

f g m

f t

. Тот факт,

что

fg

иипликанта для

,

б у ­

дем

обозначать в виде

£

= £

.

Так как

f

'

V t . * ^ . то

f g ^ f é

. Пусть

ft

3

f t

и

f g

s

f j

.

Тогда

и

f t

= fa

V

fs

.

Значит,

fg

- h

У i f ,

v

f a

)

* < ff

¥

fa h

І Ф

І .

Значит,

,

Пусть

f * s

fg

и

—£

. Тогда

f^= f

v f,~

и

f t

*

.

Значит,

1,t

’г

.

Таким образом,

соотношение

удовлетворяет

аксиомам

fg

з

f .

•

3^ f 3

Если

( з

Г .

и

1.

,

то

І

э

f

/ я

/

Если

f g 3

f z

и

1

3

г

,

то

Г

Г

i

f

)

'

- f ,

—

' t

f

Е с т

некоторое бинарное

соотношение

удовлетворяет уело-

ияи

/

2

/ ,

то данное соотношение называется частичной упо -

рчдочениостьв.

Таким образом, соотношение

fg

3

f ,

является

частичной упорядоченностью.

Очевидно,

что

/

а

/

и

f s

V

для любой функции

f

.

Заметим,

что

£

тогда и толь­

ко тогда,

если из

f g

»I вытекает,

что

*

I.

Пусть

X t

f f o ,

* п t

¥ a r t

и

f t

- X i

Ъ(Ф,х-я ,..., r n )

V x t

Зведеи обозначения:

f

К ’

f t ( 0

, r x , . . . , X ^ ) =

ctg ,

f 1*.

r nh ^ ,

f t

..... л

Ы

-

ТЕОРЕМА

I.

ff

~Э fz

тогда и только тогда,

когда

и

*s><xt

Пусть

ft = f,

.

Полодии,

что

atg

х л )•= i

Тогда

fg (v,

w ° )

i

. Значит,

t ’/e> х , * х / г .,.г x

‘h * .

Ф

c

J

Из последнего вытекает, что <х ( хх ,

х п у = і

Значит,

Qi3

* t

.

Пусть

Гт/ ,

... ,

* m У * t •

Тогда

f

Я'*>-*г*

) =*

•

0*сода

вытекает,

......

Значит,

,

Поломи

теперь,

что

o f» * ,

и

•

Пусть

£

Гаг/, а;* .- » ««У .

Рассмотрим сначала случай ^*«6? .

Тогда

ft

(€»*/„,

*’* Ѵ 9Р«#“ >я’а’ ^

*

Так как

<*э<г< .

то

.

Значит, f c r ß . . * n" > - t

.

Пусть теперь

т ] ^

і

.Т о гд а

t *

f t <t **» .*„ *

f f '*•*,— * * ’+ )

Так

как

. .

то

.З н ач и т .

/ 7 / ar/..t

) ~ /

,

этик доказано,

что f

з

f t

Творена

I доказана.

ТЮРЕМ

2.

Пусть

f- 3 ? « tV J tjr

и

f j f a x f

.

Тогда

/*= .?<*

УД

f f * «

Действительно,

пусть

'*

.

Тогда

'* • '*

И/У

Значит,

f ~

3 t(X V ß r

=

3cf<* v ß ) V^JC

*

яч*

Если ^

a

a f

,

то ß * - ß

.З н а ч и т ,

f • 'SForVß***

*

rar

V t ß W )

- t

**’*<# v j i r

ѵ э г з )

v j s * *

m

V ß *

Теорем e доказана.

Алгорити ти п и зац и и

со

склеиванием обосновывается на

теоремах I и 2.

Один из вариантов алгоритма со склеиванием заключен в

следующем. Сначала на структуре дерева

расставляет

метки.

Пусть

o(0

o(i

..,

_все

метки,

полученные

при

данной расстановке.

После

этого составляем следующей таблицу:

(Г ,

• * * * % %

)»

и

,

4 *а *

Ію

d u

•

•

« ж .

tm ..............

*

Следствие 2.

Пусть

f ( x t

...

\шас fSe>Jt4... хп j у

ь

V

я ,

Тогда соотношение f

U

f t i

, х п )

имеет место тогда и только тогда,

когда

f

представляется

в ви­

де

f= осх ,

VJ&

, где

ot

и

ß

де

зависят от 'я г .

Необходимость

вытекает из

теоремы

2,

а достаточность

-

из теореш

5 .

Причем,

в

/

J /

*

" /

не эагасят

от « у . Действи

тельно,

из ocxt

Vj3oct

** f

вытекает, что

o t- / / öjt .

)*

ш ft* * * ...

=

Значит,

f ™otx,

voter, =

Из

A r tj - V ß

имеем

а Э* v j t - а д*, ^jsör, v j i x ,

а

~ А Т ,

ѵ(Ыv ji)

x t -

f(o srt ... jt,

)& ,

(/ ay ЙГД.....;

Значит,

,

Отсвда

« vjs vjs** *** vj**** f ■

ТЕОРЕМА

7.

Если

f - я *

ffose, ... x n \ V f

f t x r ... -rn J г л

•

из

вытекает,

что

из

f * « ? .

вытекает,

что

г-<?

из

f »«<

вытекает.

что

f «

Причем аг

и ^

не зависят

от X

•

Из

f = A x ,

v j c e

вытекает

<*«

f to х я

» с . Значит,

f

' - j x

Из f ^ c<Xi Vj3

вытекает f * <*Tt У /*/5 * к J*y

V /i)r, v jv t,,

Зн ачи т,

ас

f t o

x J t...

х л

> = о

.

З н ач ат , л

• 0

я

ß -О .

Поэтому

f т 0 .

Пусть

dCVXt ß

.

Тогда

f - o ( x i

УО(Хі

v x x ß ~

oLSt

V Xt

(<3tVß) .

Значит,

0(= f ( о х л ... xn ) = o

•

Поэтому

oC~0

И

a t V ß ^ ß

.

Значит,

f ~ ß x t

Причем, здесь

ас

и ß

не

эаш сят от

х х .

Пусть

f^aC&c

VjSXü

'огда

j & ~ c c ( t , x x , . . . , х л ) - о

Значит,

. Пусть

f^ ocacx

vj e

.

Тогда

Л

<ХХх V j S x x Vj 3 X t

^(оС vj& Jxx yjXg .

Значит,

у ? =

f d x t

К,)>

«

0 . Поэтому

/ = ог<зг>

. Пусть f ^ o c v J 3 X X

.

Тогда

f ~ a c x t y a x t

yj3 X x ^ f d c y j g ) x x УоСхх

.

Значит, *

v ß ■

-

0 . Поатоиу

f

ш о.

ТЕОРЕМА

9.

Пусть

f**d?x f ( o , a j,..., лгл У

/ > < гг;,..,. ■S.A'

Тогда

из

f = o t x x

v ß a c t

,

вытекает

^

из

f=aCxt

У^в

вытекает

/ -

из

вытекает

f /

Пусть

utx,

і/

.

Тогда

«

=■ ftox^ .«

у

Значит,

f ^ J X ,

V ß X j

= /> ,

узсг ) Х х

v ß * ‘г

- ( у у ^ ) х ,

у

Пусть

/ ’

at Х<ѴJ3

.

Тогда

f

=- X :rY

у j s / х ,

v a-t

/

(U V ß )

r f

I/ ß x t

.

Значит, or

V j i

• l. Поэтому,

f

J-x, У s x t u-, y y t