книги из ГПНТБ / Василенко, Ю. А. Синтез дискретных структур учеб. пособие

го

-

количество

функций

•го яруса

,п -€

логики,

зависящих от

2 - количество различных функций алгебры

переменных.

Л ^

Если

2

* £

,

то во всех вершинах / -го яруса

можно

разместить

попарно различные

функции. В этом случае

•?

;

1оул 1 * п - £

;

£oyt £ * £ g n

.Но £ f

П - / .

Пусть

/*'■*-/,

Тогда

* я

,

бтовда

fa -4 )4 £

и

* ■?.

, или

«■< 3

,

’

Значит,

в

случае

л<«£

во всех

вершинах логического

дерева

можно разместить попарно различные функции.

Пусть

П>3 .

Тогда

при

л - /

имеем:

2

** г

< г

Значит, на

-ом

ярусе уже нельзя

в различных

вершинах раз -

4 •

что

£

„ * - 4

2

^

2

л

,

/с /

/ 5 /

Число £0

,

удовлетворяющее

соотношениям /5 /,

является един -

ственным. Ярус с номером

^

называется

ярусом перелома.

Известно /"б/ ,

что

число £0

выражается через

п,

следую -

щим соотношением

4

”

п

-

£орл п

*

??

П к

У?< 4 )

.

/6 /

с

<.

ТЕОРЕМА.

Пусть на

£ -ом

ярусе в дереве г>п

стоят

различ­

ные функции. Тогда во

всех вершинах 0 . ? , 2 , . . ,

£ - 1

ярусов стоят тоже различные функции.

....

Доказательство.

Сначала

покажем,

что

на

каждом

J

- ом

ярусе

( j f [ 0 , 1 , 2 , . . . ,

t-i j )

в

различных

вершинах стоят

различные

функции.

Для

этого

достаточно

показать,

что

в ( (

- I ) -ом

ярусе

во

всех

вершинах

стоят

различные

функции.

Для этого достаточно показать,

что в

f и f

ярусе во всех вер­

шинах стоят

различные

функции.

Пусть

любые две функции

(і-1)-го

яруса. По

соотношению /2 /

г

t

t % > ,

где

f ,

f ,

f t ,

f

t

принадлежат

ярусу

£

и они все попарно

раз- ■

личные.

Отсюда к

вытекает,

что

f

*

f

.

Покакеи теперь, что функция, стоящие в вераиаах разданных яру­

сов

і

и J

( і , / €

/ о . 1 , 2 , . .. ,

/ ] )

,

различны.. Пусть

i > J .

Тогда функции

і

- г о яруса не зависят

от

переменной

Теорема

доказана.

Пусть

І5Л

-любое дерево

с

**

ярусами.

Через

І

f)9 i

обозна­

чим количество всех различных функций,

стоящих в вершинах дерева Т)ѣ .

Дерево

Х)ң

называется

самым сложным из деревьев

, воли

-л -

для

любого

дерева п

Пусть

П > 3

,

І 9 -

ярус перелома.

Расставим

в

С

-ом

ярусе

в различных вершинах различные

функции,

зависящие от

переменных

,

8

результате

получим дерево

$-jj£ .

ТЕОРЕМА.

Дерево

0 _

является самым сложным.

Доказательетво.

о; , СТОЯЩИ X

I.

і

е-

-

г

*

'

*

Через

А

обозначим

ыножэетво

функций дерева

В

f

,

f t -

£

ярусах, Л

-

множество функций,

СТОЯЩИХ В

0 , 1 ,2 , .. . , f 0 - I

ярусах.

Очевидно,

что АПВ=0.

/ а /

Введем обозначения:

А ,

ІА I-количество

функций

множества

I В I -количество

функций

множества

В

,

JAUBI

-

количество

функций,

стоящих в вершинах деоева

Ä А .

1 A U B ( = t A I +IBJ

/ 9/

/ А ' Ѵ 3 ' } * t A ’l + t B ' l

/ІО /

Очевидно, что

І А Ч * І Л І ,

t ß ' K l B I

/ I I /

Отсюда

ІА' і / ß ' t * M l

*

ІВЧ < ( A h

/12/

l A ' f f B ' f * IAUBI

Для олучая

<? °*

теорема доказана.

„

я

А

а Л -Л

2

е°<

г г ‘

Здесь.

%****> £ *

-возникают два подолучая:

а / в /І^+ і У

ярусе расположены все возможные различные функции.

Тогда доказательотво проводится аналогично доказательству

случая I;

б/ в

/ /

+1)

-ом

ярусе

находится только часть всех функций

/а

их—•?

/ .

ä

этом случае мы можем 'изменить дерево

так,

чтобы

в

$£ +

X/

-ом ярусе стояли все возможные функции. Мы знаем, что в £0

ярусе

все

функции $о всех вершинах различны. В / К + і ) -он

ярусе

име­

ем только часть различных (функций, причем количество вершин здесь

больше количества различных Функций, т .е .

в некоторых вершинах, находя»

тся одинаковые функции. Пусть

f f ö , . . . , f t J- колич^во недостающих

функций, расположенных

ярусах. Возьмем и в одну

из

вершин,

содержащих одинаковые (функции, поместим (функцию

^

из

^

)

.

Возникает

вопрос, а не

получим ли мы в

£„ -ом

ярусе вершины о одинаковыми функциями. Но для этого необходимо,

что­

бы

вершины

(£в +1)

-го

яруса

,

которые являются входящими

для некото-

бенных подграфов /поддеревьев/ / .

Через Q обозначим сходность за

счет концевых ребер.

ТЕОРЕМА, Для любого дерева функции

/ ('a j,..., осп ) справедливо:

Sf - P~R + Q

/1Ч/

P*R. равно

Доказательство.

сумме

ЗС-

-сходностей по всем выходным функциям всех

вершин дерева,

кроме тех его вершин, которые участвуют

при подсчете

сходности, т .е . кроме вершин,

входящих в левые ветви

особенных под­

деревьев /это

следует из

определения величин Р и

Ft

/ . Н о

сход­

ность

S a

равна сходности за счет сходных вершин

плюс Q

. Обо­

значим

сходность за

счет

сходных вершин через

.

Тогда

S

^ “

“ 5^* * Q (*). Но

S л ^

R

і~

Отсюда получаем

=

Sf~P~R

Подставляя это

выражение

в

/

а /.получим

-

17

-

_____ _

t

l

О

о

кх

]

<

I

I

■*3

0

о

0

0

I

I .

I

0

I

0

о

I

г

. i

0

0

0

I

•'S

•г '

о

о

I

I

X .

I

I

I

о

**л

V

I

0

0

I

7

X /

<Ч

X е

о

V

/

что

переменная

принимает

значение

О, а .

X /

означает,

переменная

принимает

значение

I / .

5 , .

9

-гг-сходность функции

f (ос,, аг

jr

х .

Х г >

'»

I I

-

-сходность,

*

*Сг J J

у >

£ /

Jf

S,f3 »

и

-

Х3

~ сходность,

â f

»7

-

JT^

-сходность,

^ *

7

-

Xs

-СХОДНОСТЬ функций

f ( act , se4, : . , Jlt f )

Полная

сходность функции

f

(Х х t X<, x s , 4 ^ x s )

равна

Sr * (

* $ / *

• fS * & 0

Теперь

определим сходность графа

&п

этой

ие Функции /ом,

рис.12/.

Сходные

вершины графа обозначены

сверху

черточкой.

«

І-й способ.

, f

^ <<Л

*s “‘ - s f' <SJ‘ *S j‘+S/’-

S i-

с

- s/‘ >sf‘ < s,*< s/’.sf-- s;

* s/j<sf‘-

- iS? , 3S f ‘ г

SA<s;-

*

&C 1)

t- 2 - /

" 2 -(i* z * ~ { ! -* 3 ■(z*

/ )

t

2 ( i

■>1 ) •

- г м і , 2 • г V7 <= 8 t $ + < / t 7 ^ z g

Г*с. публичная»

I

научно - технике

кая

I

библиотек*

c t eтi;*Р

I

Э К З Е М П Л Я Р , яь I

ииТАЛЬКОГО ЗЛ ^Л

*