Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Беляева-Соловьева, Э. А. Конструирование механизмов радиоэлектронных аппаратов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

его корни

k 1 ) 2 = — F ± ]/f*— со2

(75)

Возможны три случая сопротивления. 1. Случай малого сопротивления

f<co .

Корни характеристического уравнения комплексные".

k l l 2 - = — f ± у ш2 — f» - i .

(76)

Обозначив

Ш2 — f2 = U)j,

.получим:

	k i =			—	f +	«aU		(77)
	k2		=	—f—		">! i.		(77)
	k2		=	—f—		">! i.
Общее решение уравнений					(64)		будет
-	q = e - f t (C,		coscct +			Cosincoit).		(78)
При								i
	Ci = A sin ф0				и C2	=	A cos <po
будем иметь '							(
	q =	Ae-r i sin (coit + q>o),						(79)
где
A =	/ С ?	+	C2 : sin Ф п			=	— — .

V c j + cj

Значения Ci и C2 можно определить, задавшись началь ными условиями при t = 0.

-60

Построим графики функций (рис. 7, г): q = Ae~»

q = _ A e - » .

Поскольку величина sin (coit-f-фо) по модулю не больше едини цы, то точки графика колебаний 1 располагаются в области, ограниченной кривыми 2 и 3.

Время между двумя последовательными размахами назы

вается	у с л о в н ы м	периодом, или периодом затухающих
.колебаний
	т	_ 2тс
		(80)
«•	гр	2тС

1 1

V f2

Очевидно, что

Следовательно,

T i > T .

Сопротивление несколько увеличивает период колебаний. Первое максимальное отклонение будет

q, = Ae-n 'sin(u),t, + <р0).

(81)

Второе максимальное отклонение произойдет в момент

t a = tj + T,

и будет равно:

q2 =	Ае - f ( t . + T . ) s	i	n	[С0, ( t ]
_	A e _ f t , e - f T l s	i	n	( u ) i t i

Согласно (68)

+ т,)	+ <р0]	=
_\|_ Ш 1 T i	+(?Qy	(82)

coiTi = 2 п .

Тогда
q, = e_ 1 T i Ae-f t - s l n ^ tx +					<p0 + 2«)		=
	== e-, T ' A e ~ n '			sln(u>i t4	+ <p0\
или
	q2 =		Qie-f T '.
В общем случае
	qi+i		= Q i e - f T ' .						(83)
Раэмахм колебаний убывают по закону							геометрической
прогрессии. Величиной е_ г Т,называется						д е к р е м е н т о м			з а-
т у х а я и .я к о л е б а л и й, а -(величина е
	In-			lne-f T >		I = i T „			(84>
	qi
л о г а р и ф м и ч е с к и м			д е к р е м е н т о м				затухания.
		s =	fT,.					(85)
2.- Случай	большого	сопротивления
		f > ( 0 .
Корин характеристического			уравнения
	k „ 2 =	— f ± ] / f 2 — U)2.						(86)
Общее решение уравнения				(73) имеет вид
q = C 1 e ( - ,		+ / ^ )		4 C 2 e (	- f	- l / ^ t	.	(87;>
На рис. 7, д показаны		возможные .графики движений							тела
в зависимости	от начальных			условий при qo>0:
1 — начальная	скорость	положительна				( q > 0 ) ;
2 — начальная	скорость отрицательна				(q<());•			. •>

3— начальная скорость отрицательна и достаточно велика

( q < 0 ) .
При f>co			имеет	место		а п е р и о д и ч е с к о е				затухание
колебания.
3.	Второй		случай	большого сопротивления					f =	со.
Корни	характеристического					уравнения
				К, =		К2 =—f.
Решение уравнения движения имеет вид
				q =	e-"(C1		+ C2 t).			(88)
						1
Тип движения тот				же,	что и		при	f > c o —	апериодическое
затухание		колебаний.
Характерным примером						свободных		затухающих (демпфи
рованных)		колебаний		является			колебание относительно оси

вращения подвижной системы электроизмерительного прибо

ра	с	механическим или магнитоиндукционным успокоителем
(7,	13,	14].

П. В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я .

Рассмотрим случай, когда на тело массой m Действует перио

дически	изменяющаяся		так	называемая		в о з м у щ а ю щ а я
сила F,	направленная вдоль			оси q.
		4	F =	F0 sin coot,			(89)
где Fo и coo —начальное			значение силы и частота ее воздей
		ствия на	тело.
' В случае вынужденных колебаний					(при	отсутствии	сопро
тивления)		на тело действует только			возмущающая		сила F
(рис. 8,	а).
Так как сила сопротивления отсутствует,						то уравнение (51)
запишется		так:
		:	— = F0 sin o>0 t;
		dt 5q	oq

или

mq + c q = F0 sinu)0 t	(90)
	63

Подставляя в последнее	выражение
с	=	2	Fo
—	=	ш и — = х,
m			m
где т — линейное ускорение,
получим
q -f	ш2	q =	т sin u)01.	(91)

Общее решение полученного уравнения имеет вид

Ч — Qoo-од- "Ь Чч-hi

где q0 6-од-—общее решение однородного уравнения

q + „rq = 0;

(92)

' s f///m/////////h(h///m/

0,5

1,0

),5 iOg/uj

Рис. 8

q ч „ — частное решение неоднородного уравнения

		q +	co2q =			т sin co0t.
При со Ф соо частное			решение				неоднородного уравнения
будет
		q4.n		=	A0 sin co0t,						(93)
Яч.н=:шо A0cosio0t;					q4 .H	= —ш? A0 sinu>0 t,					(94)
где Ао —начальная		амплитуда				колебаний.
Подставляя выражения (93) и (94)								в (91),	получим
А0 (ш2 — m'g)sinu>0l =								^sin w0 t.			(95>
Это равенство будет		выполняться лри любом t, если
		Ао (со2			— соо2) = т.
Отсюда
		А0		=	- Г	Ч		•			Об)'
					ш *—со-
Подставим значение		Ао в уравнение						(93), тогда
	q4.n = - r ^ - . s i n							«o0f,			(971
	q06.cu =			As3n(u>t				+ <p0 ).
С учетом выражений				(97)		общее решение				дифференци
ального уравнения	будет
q = A sin(cot +				ср0) +			— - — : sin ш0 1.				(98)
Отсюда видно, что в дан-ном случае колебание										складывается
из 'собственных колебаний					с амплитудой				А,	зависящей	от

3. Зак. 66

начальных условий, и частотой со и из вынужденных колеба-

.лий с амплитудой

не зависящей от начальных условий, и частотой соо. Амплитуду вынужденных колебаний можно представить з

следующем виде:
Ап		(99)
\	со
Тогда статическое отклонение тела q F	под	действием возму
щающей силы Fo с учетом выражений	(90)	будет •

'Значение qF подставляем в (99):

(100)

Таким образом, амплитуда An зависит от отношения частоты возмущающей силы к частоте собственных колебаний Графически эта зависимость представлена на рис. 8, б.

Подбором		соотношений между	соо и со можно получить
разные амплитуды вынужденных			колебаний.
Если частота возмущающей силы равна частоте собствен
ных	колебаний	(соо = со), то возникает явление р е з о н а н
са,	и, если нет сил сопротивлений,		амплитуда колебаний бес

конечно возрастает, что приводит « разрушению колебатель ной системы.

Рассмотрим случай вынужденных колебаний при наличии сопротивления.

€6

Пусть на тело действует возмущающая сила F и сила со противления, оказываемая демпфирующим устройством; коэф фициент успокоения системы равен Р (рис. 8, в).

Тогда уравнение Лагранжа примет вид

d dL	dL	,-. '	_
— —	— = — Р q +		F0 slnu>0 t,
df dq	дЧ

ИЛИ

mq + cq = — P q + F0 sin <o0t.

Принимаем

— = 2f. m

С учетом данного выражения и равенств (90) уравнение Лагранжа будет

		q +	2f q +	u.2	q =	? sin ш 0 1 .	(101)
	В случае	наличия	сопротивления (f<co)				q0 6-<wравно:
		q' + 2iq +			o-2q	= 0 ,	(102)
a	q4 . н убудет .					.
-	•	q +	2f q +	m2 q =-csinu)0 t.			(103)

Общее решение однородного уравнения находим из выраже ния

qo f l .oa -= Ae-f t sin(o)] t + <о0),

где

wt = У ш2 — f\

;

. (104)

А частное решение,	согласно	[10; 2], ищем в	следующей
форме:
q4 . H	= М c o s	co0t -j-Nsin M0t,	(105)

где MHN — произвольные постоянные. Дифференцируя выражение (105), получим

q4'.H — — ш0 М sin oi„t	-f ш0 N cos	w 0 t ;
		(106)
q4 .„ = — cog M cos u>01	— cog N sin	C D 0 t.

Подставив полученные выражения в уравнение (ЮЗ), полу чим

—	Шо Mcos »'0 t— cog N sin co0t — 2f n>0 M sin co0t						+
+	2f co N cos co		1 +	a)	M cos ш01 +	со N sin ш01	=
	0	0		2		2
		' = T s i n < J D 0 t .					(107)*

Для выполнения этого равенства при любом t необходимо, чтобы сумма коэффициентов соответственно -при cos coot и от дельно при sin coot была равна нулю, т. е.

	— cog М +	21 со0		N + и-.я М = 0;				(108)
	— logN — 2 f » 0			M + V N	—т =	0,		(108)
	— logN — 2 f » 0			M + V N	—т =	0,
или
	(ш2 — cog) М		Ь 2f o-0N =		0;	I'	*	(109)
	(a>« — cog) N — 2f ш 0 М — x = 0. J							(109)
	(a>« — cog) N — 2f ш 0 М — x = 0. J
Из	первого уравнения	(109)		получим
	N	=	— И ? ~ Ю ' ' М .					(110)
				2f о) 0
	Второе уравнение (109)		после подстановки				в него выраже
ния	(ПО) примет вид						(
	_ > а - ' ° " - > а М — 2fco0 M — -с - 0 .							(111.)

После преобразований
— (со» _<og)»M — 4Рш= М — 2Ы0х					=	0;
_ M [ ( m 2 — cog)2 +		4 f »	cog] =	2 f i o 0	T .	( 1 1 2 )
Отсюда
М =	= 2	1 ^	.			(ИЗ).

С учетом выражения (ИЗ) формула (ПО) запишется так:

Выразим М и N через значение начальной амплитуды M = A0 sincpi и N = A0 coscpi.

Тогда амплитуда вынужденных колебаний будет А0 = ] / M 2 + N 2 .

Подставляем		>в данное	выражение	значения	М	и	N из	(113)
и	(114):		,
.	А^р . /	' 4f»	cog -с»	• <	; »	(	« ) » _	; -

:»[4fco?, + (<o!!-u)g)]2

Значение

An =

T —

( 1 1 6 )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ