Раздел II элементы теории тензоров

§ 1. Основные теоремы и определения

Пусть Е_n – евклидово пространство и пусть {е₁, е₂, ..., е_n} и {е¹, е²,..., еⁿ} –два базиса в Е_n.

Def. Два базиса {е_i} и {е^j} называются взаимными, если .

Т°. Любой базис из Е_n имеет единственный взаимный базис.

Т°. Если базис ортонормирован, то он совпадает со своим взаимным базисом.

Пусть {е_i} и {е^j} – взаимные базисы в Е_n. Тогда:

хЕ_п х = x₁e₁ + х₂е₂ + ... + х_ne_n и х = x¹e¹ + х²е² + ... + хⁿeⁿ.

Величины (x₁, х₂, ..., х_п) называются ковариантными, а величины (x¹, х², ..., х^п) контравариантными координатами вектора х.

Соглашение. Пусть имеется выражение, составленное из сомножите­лей, которые снабжены индексами (т. е. каждый сомножитель имеет конеч­ное число верхних и нижних индексов). При этом договоримся, что все верхние индексы обозначаются разными символами (аналогично нижние). Если в таком выражении встречаются два одинаковых индекса (один верхний, а другой нижний), то считается, что по такому индексу произво­дится суммирование от 1 до п {п = dimЕ_п). Такой индекс называется «немым», потому что после суммирования этот индекс будет отсутствовать.

Например: ; .

Используя это соглашение, запишем формулы для нахождения ковариантных и контравариантных координат вектора х, называемые формулами Гиббса:

.

Из формул Гиббса следует, что:

е_j = (е_je_i)eⁱ = g_jieⁱ, е^j = (е^jeⁱ)e_i = g^jie_i. Здесь g_ji = (е_je_i); g^ji = (е^jeⁱ).

С помощью этих формул можно легко строить взаимные базисы. Важно отметить, что при этом матрицы (g_ji) и (g^ji) – взаимообратные.

Для перехода от пары взаимных базисов {е_i, eⁱ} к другой паре взаимных базисов {е_i, e^i} достаточно знать матрицу перехода от базиса {е_i} к базису {е_i}. При этом:

а) базисные векторы преобразуются по формулам: ;

б) не базисные векторы преобразуются по формулам: .

Def. Тензором А типа называется объект, который:

1) в любом базисе {е_i} линейного пространства V_n определяется п^p+q координатами (индексы принимают значениякаждый).

2) его координаты в базисе {е_i} связаны с координатами в базисе {е_i} соотношением: .(*)

Здесь – матрица перехода от старого базиса к новому(е_i  е_i), а – матрица обратного перехода. Число r = p + q называется рангом тензора.

Примеры тензоров: скаляр – тензор нулевого ранга; вектор – тензор первого ранга типа (1, 0) или (0, 1) в зависимости от выбора базиса; матрица би­линейной формы представляет тензор второго ранга типа (2, 0); матрица линейного опе­ратора представляет тензор второго ранга типа (1, 1).

Операции над тензорами.

1. Умножение тензора на число, сложение и вычитание тензоров для тензоров одинакового типа выполняются покоординатно.

2. Умножение тензоров. Для тензоров ипроизведение определяется по формуле: .

3. Свертка тензора по паре индексов (один индекс верхний, один нижний). Для тензоров, у которых p  0, q  0, свертка по верхнему индексу и нижнему индексупроиз­водится по правилу: . Свертка переводит тензор типа (р, q) в тензор типа (р – 1, q – 1).

4. Симметрирование по паре нижних индексов ипроизводится так:

.

Полученный тензор будет симметрическим по указанной паре индексов.

Аналогично производится симметрирование по паре верхних индексов.

5. Альтернирование по паре нижних индексов и:

,

дает тензор кососиметричный по указанной паре индексов. Аналогично определяется альтернирование по паре верхних индексов.

Аффинные ортогональные тензоры. Отметим, что ортонормированный базис {е_i} совпадает со своим взаимным {еⁱ}, т. е. е_i = eⁱ, и тогда xⁱ = х_i т. е. верхние и нижние индексы эквивалентны.

Формула Гиббса для нахождения координат вектора х в ортонормированном базисе {е_i}: х = х_iе_i = (хе_i)е_i.

При переходе от ортонормированного базиса {е_i} к ортонормированному базису {е_i} базисные векторы преобразуются по формулам:

е_i = p_iie_i; е_i = p_iiе_i,

где (p_ii) – матрица перехода от {е_i} к {е_i}, а (p_ii) – матрица обратного пере­хода.

Для не базисных векторов: x_i = p_iix_i; и x_i = p_iix_i , т. е. те же формулы, что и для базисных векторов.

При ортогональных преобразованиях матрица перехода от одного базиса к другому является ор­тогональной, т. е. Р^–1 = Р^Т или РР^Т = Р^ТР = Е.

В силу этого, при ортогональных преобразованиях все координаты будут ковариантные и все индексы нижние.

Def. Аффинным ортогональным тензором А ранга r называется объ­ект, который:

1) в каждом ортонормированном базисе {е_i} евклидового пространства Е_n определяется п^r координатами (индексы принимают значения 1, 2, …, п каждый);

2) при переходе от одного ортонормированного базиса {е_i} к другому ортонормированному базису {е_i} eгo координаты изменяются по пра­вилу:

,

где – матрица перехода от {е_i} базиса к базису {е_i}.

Операции над аффинными тензорами производятся аналогично опера­циям над тензорами общего типа. Отношение равенства тензоров, сложе­ние и вычитание тензоров, умножение тензора на число определяются как операции покоординатного равенства, сложения, вычитания и умножения на число в некотором базисе.

Умножение и свертка тензоров производится, как и в случае тензоров общего вида, но при свертке отмечается не один верхний и один нижний индексы а, естественно, два нижних. Свертка тензора по индек­сам i_k и i_m – это, фактически, умножение на :.

Комбинация операции умножения тензоров с последующей сверткой по паре индексов называется скалярным или внутренним произведе­нием тензоров.

Имеют место и операции симметрирования и альтернирования тензо­ров.

Def. Псевдотензор – это величина, координаты которой при ортого­нальных преобразованиях преобразуются по закону:

,

где  = det P (Для ортогональных преобразований det P = ±1). При этом:

1°. Сумма двух псевдотензоров – псевдотензор;

2°. Произведение двух псевдотензоров – тензор;

3°. Произведение тензора и псевдотензора – псевдотензор;

4°. Свертка псевдотензора – псевдотензор.

Рассмотрев величины _ikl = (е_iе_k)е_l, где е_i е_k, е_l – орты ортогональ­ной, правой системы координат в Е₃, получим, что: ₁₂₃ = ₂₃₁ = ₃₁₂ = 1; ₂₁₃ = ₁₃₂ = ₃₂₁ = – 1, а остальные _ikl равны нулю.

Величины _ikl образуют абсолютно антисимметричный псевдотензор третьего ранга. Он называется алгебраическим символом Леви-Чивита.

Для символа Леви-Чивита:

; ; .

С помощью тензора _ik (символ Кронекера) и псевдотензора _ikl (сим­вол Леви–Чивита) операции скалярного и векторного произведения векто­ров иможно записать в виде:;.

Def. Тензорным полем ранга r называется совокупность 3^r функций , которые в любой точке пространства образуют тензор ранга r.

1°. Если – тензорное поле ранга r, то величины образуют тензорное поле ранга (r +1). Оно называется градиентом тензорного поля .

2°. Для тензорного поля ранга r можно построить r тензорных полей (r – 1)-го ранга «типа дивергенции» в зависимости от того, какой из индек­сов исходного поля сворачивается с индексом дифференцирования:

; ; … ;.

3°. Для тензорного поля ранга r можно получить r различных тензор­ных полей ранга r «типа ротор»:

; ; …;.

Схематически операции градиента, дивергенции и ротора тензорного поля можно записать так:

; ; .

Известные формулы математического анализа: формула Стокса и формула Гаусса-Остроградского в записи для тензорных полей имеют вид:

формула «типа Гаусса–Остроградского»:

(справа и слева «немой» индекс должен быть один и тот же);

формула «типа Стокса»: .