Тема 4_векторный анализ (теория поля)

Вариант №11

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

имеет вид (r) arcsin

1

, где r

радиус-вектор точки,

r

r

. Построить по-

r

верхности равного потенциала для случаев ,

,

.

Найти производную поля f x, y,z x3y2 z

6

4

3

2.

в направлении градиента функ-

ции x,y,z x2 4x y 5y 6z2 в точке M 3,1,

13 .

3.

Показать, что поле вектора

3y

4x3

1

2x4

2

4

по-

à

i

3y

j 5z

k

x4

y2

y3

x3

тенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля вектора a x y2 z2

i y j zk .

z2

5.

Вычислить работу силы F x i

j yk

при перемещении по замкнуто-

3

2

9 y

2

1,

му контуру 4x

z 2x y 1.

4

2

6.

Вычислить поток поля

a

y z

j

x y k

через часть поверхности

y

z2 x2 , лежащую в I октанте и отсеченную плоскостью y 3, в направле-

нии внешней нормали.

2

7.

y

2

z

2

k

через замкнутую поверхность, огра-

Найти поток поля a x

i

j

ничивающую область

x2 y2 2,

в направлении внешней нормали.

0 z y2,

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 4x2 y x2

i 4 y2

j zk ,

ность интегрирования – часть поверхности цилиндра x2 y2 a2,

0 z 4 и

z 4.

9. Найти div grad f r , где

r2 x2 y2 z2 , а f r произвольная дважды

дифференцируемая функция от r.

10. Найти a , если a

с

, c y,z,x , r2 x2 y2 z2.

sin r

Вариант №12

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

имеет вид (x, y,z)

x2 y2

. Построить эквипотенциальные поверхности для

z

случаев 0, 1.

2.

Найти производную поля u(x,y,z) arctg

y

xz

в точке M 2, 2, 1 по

x

5z

3

2

3.

Показать, что поле вектора

а 4x3ey

i x4 ey

1 j

15z

1 k по-

2

x

x

тенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля вектора a z y

i z 3

j y 3

k .

5.

Вычислить работу вектора силы F yi x j zk

при перемещении по за-

2

y

2

z

2

1,

мкнутому контуру x

x z.

Вычислить поток поля a

2

x 4

6.

i z j 6 k через часть поверхности

x2 y2 z2 4, лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7.

2

через замкнутую поверхность, ограни-

Найти поток поля a x

i y j 2zk

x

2

y

2

6 y,

чивающую область

1

в направлении внешней нормали.

0 z

x2

y2 ,

16

8.

y z

2

2

2

k , при-

Проверить формулу Стокса для поля вектора a

i zx

j x y

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2

9,

z 1, а за поверхность

d f

r

9.

Доказать, что c

d r

, где c

, r f r , c - постоянный вектор,

r

r - радиус-вектор точки,

r

r

,

f r - произвольная дифференцируемая функ-

ция от r.

a , если r - радиус-вектор точки,

10.

Для поля вектора a r3 r . Найти a,

r

r

.

2.

Найти производную поля f(x, y,z) x y3z4

в направлении градиента функ-

ции x, y,z x3 4x2y 5z2 3в точке M -1,21,-1 .

3.

Показать, что поле вектора

y z4 z4

z y

5

4y z3

z y

à

i

ze

6 y

j

ye

k

x2

x

x

потенциально. Найти потенциал поля.

i

j

k

4.

Найти векторные линии поля вектора a

.

x 3

y 4

z 9

5.

2

при переме-

Вычислить работу силы F y z x2

i xz y

j x y z2

k

2

y

2

9,

лежащей в I октанте, от точки A 3,0,0

к

щении по окружности x

z 0,

точке B 0,3,0 .

6.

Вычислить поток поля a x y

i y j zk

через плоский треугольник с

вершинами в точках A 2,0,0 , B 2,0,4 ,

C 2, 2,

0 . В направлении оси OX .

7.

Найти поток поля a x z

i x y j z y

k

через замкнутую поверх-

ность, ограничивающую областьx2 y 2 z 23

3

, в направлении

x2 y2

внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора

2

z

2

x

2

y k , при-

a

y

z i

x j

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2

4,

z 2, а за поверхность

интегрирования – круг, ограниченный этой окружностью.

9.

Доказать, что div f r r 3 f r r

dd rf , где r

радиус-вектор точки,

r

r

, f r произвольная дифференцируемая функция от r.

10. Для поля вектора a r3c

найти rot a,если

r

2

x

2

y

2

z

2

,

2

c 2xi

y

x j z k.

à y zxy 1 1 i 5z y4 xyzln x 2y

j y5 xy 3z2 k

потенциально. Найти потенциал поля.

2

4.

z

x

Найти векторные линии поля вектора a z i

j x k .

5.

Вычислить циркуляцию вектора a y i x j z k

по контуру, составлен-

ному из осей координат и дуги кривой x a cos3t,

y a sin3t

между точками

A a,0,1 и B 0,a,1 в плоскости z 1.

y

6.

Найти поток поля a y i x

k через часть поверхности

2

y

z2 x2, лежащую в IV октанте и отсеченную плоскостями y 2, в

направлении внешней нормали.

7.

Найти поток поля a y i x j z k

через замкнутую поверхность, ограни-

2

y

2

4,

x 2

в направлении внешней нормали.

чивающую область

0 z 8 x,

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a yz i xz 4x j x y k ,

принимая за контур интегрирования эллипс 4x2 y2 4,

z 0, а за поверхность

интегрирования – часть поверхности цилиндра

2

y

2

4,

и плоскости z 2.

4x

0 z 2,

9.

Показать, что любое решение уравнения a k2 a 0, удовлетворя-

ющее условию соленоидальности, удовлетворяет векторному уравнению

Гельмгольца 2 a k2 a 0.

10. Вычислить rot a и diva, где a yzi 2xz j

cosr,

r2 x2 y2 z2.

верхности для случаев 0,

4.

z y

2.

Найти производную скалярного поля u(x,y,z) x

в точке

y

x

M 1, 1, 2 по направлению нормали к поверхности x2 y2 z2

4, образующей

острый угол с положительным направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

10x4

z

2x5

2 y

y

y2

à

y

i

z

j

1

k

y2

1 y2z2

1 y2z2

z2

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля вектора a y 2 i x 2

j z 2 k .

x

2

y

2

5.

Вычислить работу силы F

i

j x yk

при перемещении по дуге

z

окружности x2 y2 1,

z

z 1, расположенной в I октанте между точками

x

2

через полную поверхность пирами-

7. Найти поток поля a

i x y j 3zxk

ды с вершинами в точках A(4, 0, 0), B 0, 2,

0 , C 0, 0,

4 , O 0,0,0

в направле-

нии внешней нормали.

2

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора a z i x j x y

k , прини-

мая за контур интегрирования окружность x b cost,

y 0,

z b sint,а за по-

верхность интегрирования – поверхность конуса с высотой H , натянутую на

этот контур.

a, r , где r радиус-вектор точки поля,

9. Доказать, что r r, a 4

10. Найти rot a f r , где a

y i 2 j xzk ,

f r произвольная дифференци-

руемая функция, a r2 x2 y2 z2.

ца?

Изобразить эти поверхности в случае u 0, u 9.

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z)

4 z2 в точке

x y

3.

Показать, что поле вектора

3

3x

à

yzsin x i

i zcosx 1

j

ycosx

1 k

z

z2

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля вектора a y z 1 i x z 1

j x yk .

мой из точки A 2, 3, 1 и B 4, 6, 2 .

6.

Вычислить поток поля a x y

i z y j x y k через плоский тре-

угольник с вершинами A 6,6,0 , B 6,6,0 ,

C 0,6,6 в направлении оси OY .

7.

Найти поток поля a 75 x3

через замкнутую поверхность,

i y3

j z3k

x

2

y

2

x,

ограничивающую область

в направлении внешней нормали.

y2 ,

0 z x2

10. Найти rot a и diva для вектора a rsinr r ,

r

r

, r радиус-вектор

точки.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x2 y2 z2

3

2.

2 в точке

M 1, 1, 0 по направлению нормали к поверхности заданной уравнением

2x2 y2 z2 1.

3.

4x3

3x4

Показать, что поле вектора à

z3

i zcos y 1

j sin y

z4

2z k по-

тенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля вектора a 1 z i y j x 1 k .

5.

Вычислить циркуляцию ротора вектора

F y z2

2yk

по контуру,

i

x2z j x

состоящему из дуги параболы y x2 и отрезка прямой y x в плоскости z

0.

6. Найти поток поля a y i x j z k через часть поверхности z 4 2 x2

16,

9.

2

Доказать, что

, (x, y,z)- дважды дифференциру-

емая функция.

10.

Найти rot a и diva для вектора a r b cosr , где r

r

, r - радиус-

описывается функцией (x, y,z)

3

. Построить эквипотенциальные по-

x2 y z2

à

3

4y 5y

4y

2

ze4y

3z4

i 4xz e

4

j xe

3z3

1 k

x

x

линии x Rcost, y Rsint,

z

4t

от точки пересечения кривой с плоскостью

z 0

до точки её пересечения с плоскостью z 8.

1

6.

Вычислить поток поля

a y 2 i

z 2 k через часть поверхности

z 2

x2 y2 , лежащую во II октанте, в направлении внешней нормали.

7.

Найти поток поля

2

через замкнутую поверхность, ограни-

a x

i y j z k

2

y

2

2 y,

в направлении внешней нормали.

чивающую область x

0 z 4 y,

1

3

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a y z i

xz

x

j x y k ,

8

принимая за поверхность интегрирования боковую поверхность пирамиды,

ограниченную плоскостями x 0, y 0,

x 2 y 4z 8

z 0 , а за контур инте-

грирования – линию её пересечения с плоскостью z 0.

9.

Доказать, что rot

c f r 1 d f r,c , где r

r

,

r радиус-вектор точки,

r

d r

c постоянный вектор,

f r - произвольная дифференцируемая функция от r.

10. Найти a и a

для поля вектора a csin r , если c постоянный вектор,

r

r

, r радиус-вектор точки.

Вариант №20

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

описывается функцией (x, y,z)

1

. Построить эквипотенциальные по-

y

2 z2 x

верхности для случаев 1, 2.

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) ln ex ey ez

в начале ко-

ординат по направлению луча, образующего угол 60 с осью абсцисс,

угол 45

с осью ординат, а с осью аппликат – тупой угол.

1

z

y

5

y

3.

Показать, что поле вектора à

i

e

j

1 k по-

x y z

y z

тенциально, найти потенциал поля.

x

y

x y z

4.

Найти векторные линии поля вектора a z 1 i z x

j x 1 k .

z2

y2

5.

Вычислить работу силы F z y i

j

k

при перемещении вдоль ли-

x

x

нии (L): x = 4, x 4, y2 z2 16 от точки A 4, 4, 0

к точке B 4, 0, 4 .

2

7. Найти поток поля a 6x y i 3y