Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chast_8_Teoria_polya

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ется линейным интегралом вектора a по дуге AB в направлении от А до В.

Обозначение:
Обозначение:	(a	,dr ) . Координатная форма записи:
	AB
			axdx ay dy azdz =
		(a,dr )	axdx ay dy azdz =
		AB	AB

=ax (x, y, z)dx ay (x, y, z)dy az (x, y, z)dz ,

(a,dr ) =

lim	n
lim		(a(P), r ) .
		i	i
max ri 0	i 1
	i 1

Линейный интеграл иногда называют криволинейным интегралом второго рода.

4.2.Свойства линейного интеграла

1.Свойство линейности:


(( a	b),dr ) =	(a,dr ) +	(b,dr ) .
AB		AB	AB

2.Свойство аддитивности:


(a	,dr ) =	(a	,dr ) +	(a,dr ) .
AB	AC			CB

C Z

3.При изменении направления интегрирования линейный интеграл меняет

знак:
знак:	(a	,dr ) =	(a,dr ).
	AB		BA

Свойства 1-3 доказываются из определения.

Определение криволинейного интеграла остается справедливым, если начальная и конечная точка совпадают.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля

по замкнутому контуру: C
	(a,dr ) .
L		+

Положительным направлением обхода считается то, при котором область, ограниченная контуром, остается слева.

4.3. Вычисление линейного интеграла

Пусть AB L и кривая L задана параметрическими уравнениями:

x x(t)

L : y y(t) ,

z z(t)

		x x(t				)		x x(t )
при этом при t	t0		0		0		t1	1	1
при этом при t	t0	имеем точку A: y0		y(t0 ) , при t			t1	B : y1	y(t1) ,
		z	0	z(t	0	)		z z(t )
			0		0			1	1
тогда
							(x, y, z)dz =
(a	,dr ) = ax (x, y, z)dx ay (x, y, z)dy az						(x, y, z)dz =
AB		AB

= {ax (x(t), y(t), z(t)) x(t) ay (x(t), y(t), z(t))y az (x(t), y(t), z(t))z}dt ,

где обозначения x, y, z означают дифференцирование по переменной t. ПРИМЕР. Дано:


	x R cost
		, A(t0	=0),	B(t1 =2 ).
a	zi xj yk , L: y R sin t	, A(t0	=0),	B(t1 =2 ).

Вычислите линейный интеграл по AB .

Решение:

				2	t		R
					t		R
(a, dr ) =			zdx xdy ydz = {			( R sin t) R costR cost		Rsin t}dt =
(a, dr ) =			zdx xdy ydz = {			( R sin t) R costR cost		Rsin t}dt =
AB			AB	0	2		2
AB			AB	0
	R	2	2
=		sin tdt =…= R +R.
=	2	sin tdt =…= R +R.
	2	0
		0

4.4. Физический смысл линейного интеграла

Рассмотрим в качестве поля a силу F , приложенную к материальной точке Р и меняющуюся по величине и направлению при изменении местоположе-

- работа по перемещению материальной точки по уча-

ния точки Р. A (F,dr )

стку dr , тогда

(F,dr ) A - работа силы F по перемещению материальной

точки по дуге АВ.

4.5. Ротор (вихрь) векторного поля

Пусть вектор-функция

a a(P) (ax ,ay ,az )

является непрерывно диффе-

ренцируемой в каждой точке области определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ротором векторного поля (вектора) a называется век-

тор, обозначаемый символом rota , равный

rota i

Это выражение удобно записать в виде символического определителя

			k

	i	j

rota				,
rota	x	y	z	,
	x	y	z
	ax	ay	az
который вычисляется разложением	по	первой строке (базисным векторам

i , j,k ); произведение частных производных на компоненты вектора понимает-

ся как дифференцирование последних,

т.е.

и т.п. С использованием

оператора набла rota

или rota

a .

Если в некоторой точке поля rota 0,

то поле в этой точке называется безвих-

ревым.

z)k .

ПРИМЕР. a (x y)i ( y z) j

rota

i (

( y z))

x z

y z

x2 z

(x z)) = i j(2x 1) 0k = 1, 1 2x, 0 .

j (

(x2 z)

(x z)) k (

(y z)

4.6. Свойства ротора (вихря)

Линейность:

rot( a b) rota rotb , где и - некоторые посто-

,b .

янные. Иначе, ,( a

2.Пусть u u(x, y, z) - скалярное поле, тогда rot(u a)

= gradu,a u rot(a) .

В векторных обозначениях: [ ,(ua)] [ u,a] u[ ,a].

Доказательство:

[ ,(ua)]

(

(uaz )

(uay ))

(uaz )

(uax ) +

uax

uay

uaz

(

(uay )

(uay ) = {i (

ay )

j (

ax ) k

(

ay ) }

(

ay ) j

(

ax ) + k (

ay ) = u rot(a) gradu,a

ПРИМЕР. a const

rot(

]

[grad

a) [grad

, a

rota

, a]

4.7. Теорема Стокса

r		1
	a		r	a .
r		r

(устанавливает связь между циркуляцией и ротором)

Циркуляция

непрерывно

дифференцируемого

векторного

поля

a axi ay

j az k по произвольному кусочно-гладкому контуру L вычисляется

по формуле

dx a

dy a

cos

cos d .

При этом выбор стороны поверхности и направление обхода контура L со-

гласованы (по правилу винта).

Доказательство:

Для доказательства сгруппируем слагаемые в правой

части с одинаковыми координатами вектора

a :

(rota,d ) =

cos

cos d +

y1(x)

y2(x)

cos

d +

cos

cos d .

Рассмотрим первый из интегралов:

I1 (

cos

cos )d = (

cos

)cos d .

cos

Пусть поверхность

является такой,

что любая прямая пересекает ее

z z(x, y) ;

z 2

лишь в

одной

точке,

тогда

| n |

1 ;

| n0 |

	(	z	,	z	, 1)
	(		,	y	, 1)
		x		y

z 2				z 2
						1
						1
	x				y

	cos	z			; cos d dxdy .
, тогда			, так как (n0,OZ )
, тогда	cos	y	, так как (n0,OZ )	2
	cos	y		2

Переходя к двойному интегралу по Dxy: , получим

				Dxy
	ax	(x, y, z)	z	ax (x, y, z)
I1					dxdy .
		z	y	y
Dxy

По формуле дифференцирования сложной функции, записывая полную производную сложной функции, имеем:

ax (x, y, z(x, y)) ax (x, y, z) ax (x, y, z) z ,

y y z y

	a	x	b	y2 ( x)	a	x
		x	(x, y, z(x, y))dxdy dx			x	(x, y, z(x, y))dy =
	z		(x, y, z(x, y))dxdy dx				(x, y, z(x, y))dy =
D	z		a	y ( x)	y
xy				1

= ax (x, y2 (x)), z(x, y2 (x))dx +

+ ax (x, y1(x)), z(x, y1(x))dx = ax (x, y, z)dx .

Докажем последнее преобразование.

ax (x, y, z)dx ax (x, y, z)dx ax (x, y, z)dx …

	L	L1	L2
		{пусть L задана параметрически}…
t2		t1
= t1	ax	(x(t), y(t), z(t)) x(t)t dt t2	ax (x(t), y(t), z(t)) x(t)t dt =
		…{t x; x(t)t	1}…=
	b	b
= a		ax (x, y1(x), z(y1(x)))dx a ax (x, y2 (x), z( y2 (x)))dx .

Остальные два слагаемых рассматриваются аналогично. Почленное суммирование этих выражений приводит к формуле Стокса.

1). Используя обозначение ротора, формулу Стокса можно переписать в век-

				rota через ориентирован-
торном виде: (a,dr ) = (rota,d ) . Поток вектора				rota через ориентирован-
L

ную поверхность равен циркуляции поля a по контуру L, ориентированному в соответствии с ориентацией .

2). Для того чтобы криволинейный интеграл по любому кусочно-гладкому контуру равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Стокса:

;

z ;

x .

ПРИМЕР. Вычислите циркуляцию вектора

a yi x2

j zk

по контуру L:

x2 y2 4;

x cost 2;

sint 2;

z 3;

z 3.

Решение:

C ydx x2dy zdz dt{sin t2( sin t)2 4cos2 t 2cost 3 0}=

1 cos 2t

= - 4 sin2 tdt +8 cos2 td sint = 4

dt +8

(1 sin2 t )d sint

4t | 2

sin 2t | 2 8sint | 2 8

sin3 t

| 2 4

;

C (rota,d )

= (rota,n0 )d =

(rota,(0,0,1))d

= (rota)z d =

= ( 1 2x)d =…

Dxy

0i 0i ( 1 2x)k } = (2x 1)dxdy =

{rota

Dxy

= d

(2 cos 1) d =

d (2 cos 1)d = d {2 sin |0

2 }=

= 2 2 2 4 4 . 2 2

4.8.Инвариантное определение ротора

	i	j	k

Ранее было дано определение ротора rota				, справедливое
Ранее было дано определение ротора rota	x	y	z	, справедливое
	x	y	z
	ax	ay	az
лишь в декартовой системе координат.

Теорема Стокса позволяет дать инвариантное (независящее от системы координат) определение ротора векторного поля.

	Пусть a a(P) - векторное поле, удовлетво-	a
ряющее теореме Стокса; n0 - некоторое фиксирован-		no
ное	направление, проходящее через точку М;	M
ное	направление, проходящее через точку М;
D -	плоская область величины SD , охватывающая

точку М, а L - граница области D. Направления обхода контура L и ориентация области D согласованы в соответствии с теоремой Стокса:


	(a,dr ) = (rota,d ) или (rota,d ) = пpn0

rotad .

L		D

По теореме о среднем М1: пpn0 rota(M1) SD	(a,dr ).

Тогда пp rota(M )

n0 1


(a	,dr )
L		. Будем стягивать контур L в точку М, тогда точка

SD

	(a,dr )		(a	,dr )

M1	→ M и пp	rota(M ) = lim	L			. Поскольку	L		- средняя поверхно-
			L

	n			S	Ä			SD
	0	L M		S	Ä			SD
	0	L M

стная плотность циркуляции поля по площади SD, то проекция rot(a) на прав-

ление n0 не зависит от выбора систем координат и равна поверхностной плот-

ности циркуляции вектора a по контуру L, который стягивает площадку, перпендикулярную этому направлению.

4.9. Физический смысл ротора

Пусть вектор a V (P)

задает поле линейных скоростей жидкости, движу-

щейся вокруг оси Oz, и в точке Р

угловая скорость вращения k .

Тогда

0 0

V (P) r

yi xj,

вычислим

rotV

(P)

i 0 j ( )k 2 k .

Итак, ротор поля линейных скоростей равен удвоенной угловой скорости вращения бесконечно малого объема, окружающего точку Р, в предположении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Это объясняет название «вихрь» вектора, так как в обычном представлении вихрь связан с интенсивностью вращения движущихся частиц жидкости (турбулентность, водоворот).

4.10. Формула Грина

Пусть в односвязной плоской области D, имеющей границу L, задано не-

прерывно	дифференцируемое векторное поле						j az k ,	тогда
прерывно	дифференцируемое векторное поле					a axi ay	j az k ,	тогда
		ay	a		x )dxdy , при этом контур обходится так, чтобы об-
(axdx ay dy) = (					x )dxdy , при этом контур обходится так, чтобы об-
L	D	x		y
ласть D оставалась слева.
Доказательство:
Рассмотрим формулу Стокса для данного случая:						L1	L	2
							L

(a,dr ) = (rota,d ) .

L		L L1	L2	L3

D :

cos

dxdy

cos

d ; rota

; откуда следует

(rota)z dxdy = (

)dxdy .

Область D может быть и неодносвязной. В этом случае под линейным интегралом понимается сумма по всем компонентам границы D.

В некоторых случаях формула Грина позволяет упростить вычисление циркуляции векторного поля.

ПРИМЕР. Вычислите циркуляцию вектора


	2	y	2		2	y	2
a 1 x		y		c y[xy ln(x 1 x		y		)]j

по контуру L: x2 + y2 = R2.

Тогда: C= 1 x2 y2 dx y[xy ln(x...)]dy .

y 1

1 x

1 x2 y2

x 1 x2 y2

1 x

= y

1 x2 y2

С= (a,dr ) =

(

)dxdy = (y

)dxdy =

1 x

...

Dxy

y2dxdy = d ρdρ(ρ2

sin2 ) =

Dxy

1 cos 2

d ρ3dρ =

2π

sin 2

2π

πR4

2π

5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

5.1. Потенциальное векторное поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле a называется потенциальным, если оно

является градиентом некоторого скалярного								поля (функции)	u u(P) , т.е.
a grad(u) . Это		векторное			равенство равносильно трем				скалярным:
ax (x, y, z)	u(x, y, z)	; ay	u	; az		u	. Иначе:	du axdx aydy azdz . Функция
	x
			y			z

u в этом случае называется силовой функцией, или потенциалом поля.

Потенциал u определяется с точностью до постоянного слагаемого.

ПРИМЕР. Покажите, что поле

потенциально.

Рассмотрим функцию u

;

= e

) = e

(

) e

x2 y2 z2

(

;

r2 x

x r

x2 y2 z2

;

grad (u)

r ; a grad(u) u - потенциал поля a .

5.1.1. Условия потенциальности поля

10 . Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему в области непрерывности потенциального поля, равна нулю.

Доказательство:

Рассмотрим

rot(grad(u))

(

) i

(

) j +

y z

z y

z x

x z

(	2u	2u	)
(	x y	y x	)
	x y	y x

По теореме Стокса (a,dr ) = (rota,

k 0. rota 0.

d ) 0.

L Q

20 . Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования.

Доказательство:	u		u		u
Так как поле потенциально a grad(u)
		i		j		k ,
	x
			y		z

axdx aydy azdz =

(a,dr ) =

(

dz)=

= dt

x(t)

y(t) +

dt = du

u(x(t), y(t), z(t)) |tA u(x(t

), y(t

), z(t

) -

-u(x(tA ), y(tA ), z(tA )) u(B) u(A).

30 . Для того чтобы векторное поле a a(P) в некоторой односвязной области G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. rot(a) 0 .

Доказательство:

Необходимость

Пусть a a(P) - потенциальное поле a grad (u) Достаточность

В силу условия 20 , если зафиксировать начальную точку А (0,0,0), криволинейный интеграл станет некоторой функцией переменной точки

P(x,y,z): u(P) =
P(x,y,z): u(P) =	(a	,dr ) . Вычислим производную
	AP

функции u(P) в точке A. При переходе от точки P к точке P' функция u получит приращение

rota rot(grad (u)) 0 .

A(x ,y ,z ) P(x,y,z)

P1(x,y0 ,y0 ) P2(x,y,y )

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.2018832 Кб10Chast5.doc
#
29.03.20154.38 Mб170Chast_10_TV.pdf
#
23.02.20154.6 Mб27Chast_2_VA_i_AG.pdf
#
23.02.20154.66 Mб30Chast_3_novyy.pdf
#
23.02.2015220.05 Кб13Chast_7_4_RR.pdf
#
23.02.20152.2 Mб32Chast_8_Teoria_polya.pdf
#
01.05.20252.76 Mб1Chemical engineering.doc
#
01.03.2025457.22 Кб0chertov9-46.doc
#
22.02.20151.39 Mб28chistovik.docx
#
23.02.20153.03 Mб44Ch_7_Integraly_po_figure.pdf
#
01.05.2025535.04 Кб0CLU (3).doc