Chast_8_Teoria_polya

a r ,

1 2 3 ,

1 2 3 .

П1 a

d =

1

№18

= r

n1 d =

1

3 R2H

={ r n1 R , из

рисунка ясно, что проекция r на нормаль к 1

1

1

П2

r

d = r n2 d ={из рисунка ясно,

2

2

что проекция r

на

n по 2 равна H, т.е.

a n2 2

2

H }= Hd H d R2 H .

2

2

П3 a

d

= r

n3 d =0.

2

3

П П П

2

П

3

3 R2H.

1

Вычислите поток векторного поля a y2 j zk

2

2

y (нормаль

через всю поверхность : z x

внешняя):

z 2.

РЕШЕНИЕ:

№19

Разобьем

2

поверхность на две

части

1 2

и

представим поток в

виде П П1 П2 ;

d ,

a(r) 0, y

2

, z ;

П1 a d =

a

n0

1

1

n 2x, 2y, 1 ,

n

n

4x

2

4y

2

1, n0

(знак

n

выбирается «+», так как cos( ) 0 ),

2x

2y

1

n0

;

;

.

4y2 1

4y2

4x2

4x2 4y2 1 4x2

1

П1

2y3 z

d

4x

2

4 y

2

1

1

2y3 z

4x

2

4y

2

1dxdy =

4x

2

4y

2

1

Dxy

0

0

d ...

П2 a

d

= a

n0

2

2

Dxy

Dxy

Найдите поток вектора a xyi yz j xzk

через

часть сферы x2 y2 z2 1, расположенную в

первом октанте (нормаль внешняя).

РЕШЕНИЕ:

П axdydz ay dxdz az dxdy {компоненты поля

№20

и области

3

интегрирования

16

обладают симметрией

относительно замены

x y z и

D yz Dxy Dxz }

3 x

1 x2 y2 dxdy

Dxy

/ 2

1

3

3 d cos

2

1 d =

.

16

0

0

№21

РЕШЕНИЕ:

0

div a

c1

c2

c3 0 .

y

x

z

Вычислите дивергенцию векторного поля

№22

a r

xi yj zk .

3

РЕШЕНИЕ:

div r

x

y

z 1 1 1 3 .

x

y

z

Вычислите

поток

поля

2

i y

2

j z

2

k

через

a x

2

y

2

z

2

2

,

замкнутую поверхность Σ:

x

R

0 z 0

.

.

z

РЕШЕНИЕ:

(a

d )

diva dxdydz

G

2x 2y 2z dxdydz

G

№23

{перейдём в сферическую систему координат}

R4

2

2

R

2

d

d r2dr

r cos sin sin cos

0

0

0

R

2

2

2

2

2

r3dr

sin d

d

cos sin d

cos d

0

0

0

0

0

4

R

4

r

2

R

2 1 R4.

2

sin

2 2

4

0

0

0

4

Найти работу силы

F

при перемещении вдоль

линии L от точки M к точке N , если F xi xy2 j,

L : отрезок MN,

M 1,0 ,

N 0,2 .

РЕШЕНИЕ:

Вычисляем работу силы F, применяя

формулу

№24

A F dl Fx dx Fy dy.

-2,5

L

L

Следовательно, A xdx xy2dy.

Так как вдоль линии L переменные связаны

равенством y 2x, то dy 2dx.

Таким образом, криволинейный интеграл

сводится к определенному интегралу:

0

2

0

3

x2

4

0

A xdx x 2x

2dx

x 8x

dx

2x

2,5.

1

1

2

1

Найти работу силы F при перемещении вдоль

линии L от точки M к точке N , если F x y i j,

L : x2 y2 4 y 0 , M 2,0 , N 2,0 .

РЕШЕНИЕ:

Запишем уравнение

кривой L в

параметрическом виде:

x 2cost,

y 2sin t.

Точке M соответствует t 0, точке N – t .

№25

Вычислим работу силы F :

2π.

A F dl

Fx dx Fy dy

L

L

t2

Fx x t , y t x t Fy x t , y t y t dt.

t1

Следовательно, A F dl x y dx dy

L

L

2cost 2sin t 2sint 2cost dt

0

2sin 2t 4sin2 t 2cost dt

0

cos 2t 2t sin 2t 2sint

2 .

0

Найти криволинейный интеграл вектора

№26

вдоль дуги винтовой линии

2 a2.

a yi xj xyk

x a cost,

y a sin t, z at

от точки A a,0,0

до

AB

t1

at 0,

t 0

t1

0,t2

2 .

at 2 a, t 2

ax

y sin t,

ay

x a cost,

2

a2

az

xy a

cost sin t

sin 2t,

2

xt a sin t,

yt a cost,

zt a.

2

a

2

I

asin t asin t a cost a cost

sin 2t a dt

0

2

2

a

3

a

3

2

a2

sin 2t dt a2t

cos 2t

2 a2.

0

2

4

0

возрастанию параметра t ), если

y

a

i

3xj

xk ,

№27

x y z 1.

52

π.

3

Таким образом, это замкнутая линия с периодом

2 .

Вычисляем циркуляцию.

y

Ц a dl axdx ay dy

az dz

dx 3xdy xdz

3

Г

Г

Г

переходим к параметрическому

заданию кривой

2

2sint

2sint 3 2cost 2cost 2cost 2sint 2cost dt

3

0

2

4

2

2

sin

t 16cos t 2sin2t dt

3

0

2

26

22

52

cos 2t 2sin 2t dt

.

3

3

3

0