Ch_7_Integraly_po_figure
.pdfМАТЕМАТИКА
Часть 7. ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ
Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Часть 7. ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ
Екатеринбург
УрФУ
2012
Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
МАТЕМАТИКА
Часть 7. ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ
Курс высшей математики для бакалавров
Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева
Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 270800 «Строительство» всех форм обучения
Екатеринбург
УрФУ
2012
УДК 517.37(075.8) ББК 22.161.1 я 73
К 78
Авторы: О.А. Кеда, Л.П. Мохрачева, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева
К 78 МАТЕМАТИКА: учебное пособие Часть 7: ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ / О.А. Кеда, Л.П. Мохрачева, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург:
УрФУ, 2012.-104 с.
ISBN
Данное издание представляет собой седьмую часть курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.
Пособие включает теоретические сведения интегрирования по фигуре, примеры вычисления двойных и тройных интегралов, а также поверхностных и криволинейных интегралов первого рода, текст домашних заданий, пример оформления и задания индивидуальных расчетных работ, образец контрольной работы и справочный материал по теме.
Библиогр.: 5
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 517.37(075.8) ББК 22.161.1 я 73
© Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, 2012
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ФИГУРЕ................. |
4 |
|
1. |
ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ................................................................................................. |
4 |
|
1.1. Основные определения ................................................................................................. |
4 |
|
1.2. Задача об отыскании массы тела .................................................................................. |
6 |
|
1.3. Определение интеграла по фигуре ............................................................................... |
7 |
|
1.4. Классификация интегралов по фигуре ......................................................................... |
7 |
|
1.5. Свойства интегралов по фигуре ................................................................................... |
8 |
|
1.6. Геометрический смысл интегралов по фигуре .......................................................... |
10 |
|
1.7. Механический смысл интегралов по фигуре ............................................................. |
10 |
2. |
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ..................................................................................................... |
10 |
|
2.1. Геометрический смысл двойного интеграла.............................................................. |
10 |
|
2.2. Вычисление двойного интеграла................................................................................ |
11 |
|
2.3. Замена переменных в двойном интеграле.................................................................. |
15 |
|
2.4. Двойной интеграл в полярных координатах.............................................................. |
18 |
3. |
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ...................................................................................................... |
20 |
|
3.1. Задача о вычислении массы тела................................................................................ |
20 |
|
3.2. Замена переменных в тройном интеграле.................................................................. |
23 |
|
3.3. Тройной интеграл в цилиндрических координатах................................................... |
24 |
|
3.4. Тройной интеграл в сферических координатах ......................................................... |
25 |
4. |
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА .................................................... |
27 |
|
4.1. Криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой..................................... |
27 |
|
4.2. Криволинейный интеграл первого рода по пространственной кривой .................... |
28 |
|
4.3. Геометрический смысл линейного интеграла по плоской кривой............................ |
28 |
5. |
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА .................................................... |
29 |
|
5.1. Вычисление поверхностных интегралов.................................................................... |
30 |
6. |
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ |
|
|
ПО ФИГУРЕ ....................................................................................................................... |
31 |
|
6.1. Длина, площадь, объем фигуры.................................................................................. |
31 |
|
6.2. Масса фигуры.............................................................................................................. |
32 |
|
6.3. Момент инерции фигуры............................................................................................ |
33 |
|
6.4. Статические моменты фигуры. Центр тяжести фигуры............................................ |
35 |
II. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ............................................................................ |
38 |
|
1. |
Двойные интегралы и их приложения............................................................................... |
38 |
2. |
Тройные интегралы и их приложения ............................................................................... |
44 |
3. |
Криволинейные интегралы первого рода и их приложения............................................. |
55 |
4. |
Поверхностные интегралы первого рода и их приложения.............................................. |
59 |
III. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ................................................................................. |
63 |
|
ДЗ № 1. Двойные интегралы.................................................................................................. |
63 |
|
ДЗ № 2. Тройной интеграл..................................................................................................... |
67 |
|
ДЗ № 3. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода............................................. |
68 |
|
IV. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА..................................................................................... |
71 |
|
1. |
Титульный лист .................................................................................................................. |
71 |
2. |
Варианты заданий............................................................................................................... |
72 |
V. ФОРМУЛЫ......................................................................................................... |
97 |
|
VI. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................ |
104 |
3
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ФИГУРЕ
1.ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРЕ
1.1.Основные определения
Впланиметрии (стереометрии) принято называть фигурой произвольное подмножество плоскости (пространства). Таким образом, по сложившейся традиции в классической геометрии слово "фигура" употребляется вместо слова "множество". В этом разделе необходимо дать аналитическое определение фигуры, которое будет использовано при определении кратных интегралов и поверхностных и криволинейных интегралов первого рода.
Дадим некоторые вспомогательные определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функции t и t непрерывны на сегменте , . Тогда множество
точек M x, y , где x t , y t , задает простую плоскую кривую L, если различным значениям параметра t соответствуют различные точки плоскости.
Замечание
Если функции t , t |
и t непрерывны на сегменте , , то множе- |
ство точек M x, y, z , где |
x t , y t , z t , задает простую про- |
странственную кривую L, если различным значениям параметра t соответствуют различные точки пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть L1 и L2 − две простые плоские кривые на , с совпадающими гра-
ничными точками и несовпадающими любыми неграничными точками. Тогда объединение этих кривых образует замкнутую простую плоскую кривую.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть функция z z x, y непрерывна в плоской области G, ограниченной замкнутой простой кривой L . Множество точек M x, y, z x, y задает простую
поверхность , если различным точкам P x, y G соответствуют различные точки М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть 1 и 2 − две простые поверхности, заданные в области G с совпадающими граничными точками и несовпадающими любыми не граничными точками. Тогда объединение этих поверхностей образует замкнутую простую поверхность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вдальнейшем под фигурой Ф будем понимать:
1)отрезок a,b оси Ox;
2)часть плоскости XOY, ограниченной простой замкнутой плоской кривой L;
3)часть трехмерного пространства G, ограниченного простой замкнутой поверхностью (тело);
4
4)простую плоскую или пространственную кривую L , заданную на сегменте , ;
5)простую поверхность в пространстве, заданную в плоской области G, ог-
раниченной замкнутой простой кривой L.
Замечание
Из данного определения следует, что фигура есть ограниченная, замкнутая, связная область.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя точками фигуры. Например, на рисунке d AB .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин, вписанных в кривую ломаных. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Плоская фигура F называется квадрируемой, если для любого e 0 существует пара многоугольников P и Q, такие, что P F Q и
S Q S P e , где S(P) обозначает площадь многоугольника P.
Многоугольники, содержащие фигуру F и содержащиеся в фигуре F, можно составить из одинаковых квадратов, откуда и возник термин «квадрируемость». При уменьшении размеров квадратов разность площадей многоугольника, содержащего фигуру, и многоугольника, содержащегося в фигуре, должна стремиться к нулю.
Следующее утверждение связывает эти два понятия.
Теорема
Если граница L плоской фигуры Q представляет собой спрямляемую кривую, то фигура Q квадрируема.
Площадь многогранных поверхностей определяется как сумма площадей их плоских граней. В качестве более широкого класса чаще всего рассматривают кусочно-гладкие поверхности с кусочно-гладким краем (или без края). Для них площадь поверхности обычно определяют с помощью следующей процедуры:
1)поверхность разбивают на мелкие части с кусочно-гладкими границами;
2)в каждой части выбирают точку, в которой существует касательная плоскость;
5
3)ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке;
4)площадь полученных плоских проекций суммируют;
5)переходят к пределу при всё более мелких разбиениях (таких, что
наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю).
При определении понятия кубируемого тела повторяется предыдущее определение квадрируемости, но квадраты заменяются на кубы. Разность объемов тел, составленных из одинаковых кубиков, из которых бòльшее тело содержит, а меньшее – содержится в рассматриваемом теле G, должна стремиться
кнулю при уменьшении размеров кубиков.
Вдальнейшем в качестве областей интегрирования будем рассматривать только измеримые фигуры, т.е. такие фигуры, которым можно сопоставить
меру. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Под мерой μ будем понимать для фигур:
1)длину отрезка a,b , μ b a ;
2)площадь плоской области D, μ S ;
3)объем трехмерного тела G, μ V ;
4)длину кривой L, μ l ;
5)площадь поверхности , μ Sï î âåðõ. .
Изложенные выше требования означают, что кривые должны быть спрямляемыми, плоские области и поверхности – квадрируемыми, трехмерные тела –
кубируемыми.
1.2. Задача об отыскании массы тела
Пусть фигура Ф обладает массой, распределенной по всей фигуре. В каждой точке фигуры P распределение массы описыва-
ется плотностью ρ P . Зададим плотность ρ P в виде:
ρ x ,
ρ P ρ x, y ,
ρ x, y, z ,
если соответственно Ф – отрезок, плоская область или объект, протяженный в трех измерениях (линия, поверхность или тело).
Найдем массу фигуры в случае, если Ф − часть плоскости XOY: ρ P ρ x, y .
1.Рассмотрим случай однородного распределения плотности по фигуре, т.е. ρ P const. Следовательно, m ρ P μ .
2.В случае, если ρ P const, разобьем фигуру Ф про-
извольным образом на n элементарных областей Фi , |
с |
||
кусочно-гладкими |
границами, |
таких, |
что |
6
Ф1 Ф2 ... Фn Ф , |
Фi Фj 0, i j , |
и выберем точку Pi i . Пусть n |
||||
достаточно |
велико, |
чтобы |
полагать |
в |
каждой элементарной |
фигуре |
ρ Pi const. |
Обозначим μi |
– меру каждой |
элементарной фигуры Фi. |
Масса |
элементарной
n
фигуры: mi ρ Pi μi . Масса всей фигуры m ρ Pi μi .
i 1
1.3. Определение интеграла по фигуре
Пусть дана фигура Ф и функция f P , P , определенная на множестве Ф. Разобьем фигуру Ф произвольным образом на n элементарных
областей Фi и выберем точку Pi i . Вычислим f Pi |
и составим интеграль- |
n |
|
ную сумму вида: Sn f Pi μi , соответствующую данному разбиению. |
|
i 1 |
|
Для каждой элементарной фигуры Фi найдем диаметр di ; наибольший из |
|
диаметров обозначим rn и назовем рангом разбиения, |
rn max di . В дальней- |
|
i 1,2,...,n |
шем будем рассматривать только такие последовательности разбиений, для ко-
торых rn 0 |
при n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Интегралом по фигуре Ф (обозначение f P dμ ) будем называть предел |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
интегральной суммы Sn |
при rn 0, если этот предел существует и не зависит |
||||||||||||||||
от |
способа |
|
разбиения |
и |
выбора |
точек |
|
Pi . |
Таким |
образом, |
|||||||
|
f P dμ lim |
n |
f P μ |
|
, Ф – область интегрирования. |
|
|
||||||||||
|
i |
|
|
||||||||||||||
|
r 0 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ф |
|
n |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.4. Классификация интегралов по фигуре |
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
|
Пусть фигура |
– |
часть |
прямой, |
a,b , |
f P f x , |
dμ dx , |
|||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f P dμ f x dx – определенный интеграл по отрезку a,b . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f P f x, y , |
|
|
2. |
|
Фигура |
– |
часть |
плоскости |
XOY, |
D , |
|
dμ dS , |
||||||||
|
|
f P dμ f x, y dS |
– двойной интеграл от функции |
f P f x, y по |
|||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
области D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f P f x, y, z , |
|
|||
3. |
|
Фигура – пространственная область, G , |
dμ dV , |
||||||||||||||
|
|
f P dμ f x, y, z dv |
– |
тройной |
интеграл |
от |
функции |
||||||||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f P f x, y, z по области G. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
|
Фигура |
– |
линия |
|
|
на |
плоскости |
или в |
пространстве, |
L , |
||||||
|
|
f P f x, y |
или |
f P f x, y, z , dμ dl , |
|
f P dμ f x, y dl или |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
7
|
f P dμ f x, y, z dl |
– криволинейный интеграл от функции |
f P по |
||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
кривой L. |
|
поверхность, |
, |
f P f x, y, z , |
dμ dσ , |
|
5. |
Фигура |
– |
|||||
|
f P dμ |
f x, y, z dσ |
– |
поверхностный интеграл от |
функции |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f P f x, y, z по области . |
|
|
|
|||
Теоремы существования интеграла по фигуре |
|
|
|||||
1. |
Если функция |
f P непрерывна в двумерной (трёхмерной) ограниченной, |
замкнутой области Ф с границей меры нуль, то она интегрируема в этой облас-
ти, т.е. интеграл |
f P dμ f x, y dS |
( f P dμ f x, y, z dv ) сущест- |
||
вует. |
|
D |
|
G |
|
|
|
|
|
2. Пусть L – плоская или пространственная гладкая кривая (т.е. задающие её |
||||
функции x t , |
y t |
( x t , y t , z t ) непрерывны на сегмен- |
те , и имеют на нём непрерывные производные, не обращающиеся одно-
временно в нуль). Тогда если функция f P |
непрерывна на L, то она интегри- |
|
руема, т.е. существует интеграл f P dμ f x, y dl |
||
|
|
L |
( f P dμ f x, y, z dl ). |
|
|
|
L |
|
3. |
Пусть – гладкая поверхность z z x, y , заданная в ограниченной |
|
замкнутой области G. Тогда если функция |
f P непрерывна на , то она ин- |
|
тегрируема, т.е. существует интеграл f P dμ f x, y, z dσ . |
||
|
|
|
Замечание. Непрерывность на кривой и поверхности определяется как непрерывность в сколь угодно малой, но конечной двумерной (для плоской кривой) или трёхмерной области (для пространственной кривой и кривой поверхности), целиком содержащей данную фигуру.
1.5. Свойства интегралов по фигуре
Доказательства свойств интегралов следуют из определения интеграла по фигуре Ф.
Свойства, определяемые равенствами
1. Линейное свойство. Если функции f P и g P интегрируемы
по фигуре Ф, то функция f P g P , где , R , также интегрируема по
Ф и имеет место равенство f P g P dμ f P dμ g P dμ .
8