Chast_8_Teoria_polya

Таким образом, по данной формуле поток сводится к

интегралу 1-го рода по поверхности от скалярного

0

произведения вектора a P на нормаль n0 (P ) к этой

поверхности (иначе: от проекции поля a P

на

0

нормаль к поверхности n0

(P )).

xy

3.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость

Пусть поверхность задана явно уравнением

z f (x, y)

и однозначно

проектируется в область Dxy на координатной плоскости Oxy .

fx , fy , 1 ,

n

Тогда

n

n0

n

fx

fy

1

;

;

=

,

2

2

2

2

2

2

1

1

fx

fy

fx

fy

fx

fy

1

и поток вектора a a P a x, y, z

через эту поверхность равен

dxdy

2

fy

2

a,n0 d

a,n0

a,n0

fx

1

dxdy

cos

D

D

ные плоскости для поверхностей вида x f ( y, z)

и y f (x, z) .

3.3.2. Проектирование на три координатные плоскости

Пусть поверхность задана (неявно) уравнением F x, y, z 0 ;

n

2

2

2

n

n

, n0

=

Fx

,

Fy

, Fz ,

Fx

Fy

Fz

Fy

n

F

F

;

;

x

z

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Fx

Fy

Fz

Fx

Fy

Fz

Fx

Fy

Fz

ется уравнением z z(x, y) ,

а поле a P

в поверхностном интеграле берётся в

точке P , для любой его компоненты координата z

выражается через x и

y ,

az x, y, z az x, y, z x, y ,

d

dxdy

,

и

az cos d =

cos

dxdy

az

(x, y, z(x, y))cos

az (x, y, z(x, y))dxdy .

cos

Dxy

Dxy

Dyz

ay

cos d ay (x, y(x, z), z)dxdz ,

Dxz

и окончательно имеем:

(x,(y, z), y, z)dydz ay (x, y(x, z), z)dxdz az (x, y, z(x, y))dxdy .

(a,d ) ax

Dyz

Dxz

Dxy

сти a V , а - произвольная поверхность в поле, то-

гда: a,d ,n d =

V

cos d = Ï ð V d - объём

0

0

n

Pi

0

столба жидкости с основанием d

и высотой Ï ðn0V ,

d

т.е. объем жидкости, протекающей через площадку d

в единицу времени в направлении n0 . Суммируя по по-

-

верхности , получаем, что a d

поток жидкости, протекающей через

поверхность в единицу времени.

ПРИМЕР. Вычислить поток векторного

поля радиус-

вектора a r(x, y, z) через внешнюю сторону цилиндра

Z

0

3

(H– высота, R- радиус).

0

2

Решение:

Y

a(r) r ;, 1 2 3

X

0

1

следовательно,

1 2 3 .

П1 a,d = r,n0 d =…

1

1

на нормаль к 1

равна R}

{ r,n0 R , из рисунка ясно, что проекция r

…= Rd R d 2 R2 H .

1

1

П2 r

,d = r,n0 d = …

2

2

{из рисунка ясно, что проекция r

на n0

по 2

равна H,

т.е. a, n0 2 H }

…= Hd H d R2 H .

2

2

П3 a, d = r, n0 d =0.

2

3

3 R2H.

П П П

2

П

3

1

Решение:

1 2

и пред-

Z 0 2

П2

Разобьем поверхность на две части

Z=2

ставим поток в виде П П1 П2 ;

0

1 П1

П1

a(r) (0, y

2

, z) ;

a,d

=

a,n0 d ,

Y

1

1

X

n

n (2x,2y, 1) ,

n

4x

2

4y

2

1,

n0

(знак вы-

n

бирается «+», так как cos( ) 0 ),

2x

2y

1

n0

;

;

.

4y

2 1

4x2 4y2 1

4x2

4x2 4y2 1

П1

2y3 z

2y3 z

d

4x

2

4y

2

1dxdy =

4x

2

4y

2

4x

2

4y

2

1

1

Dxy

1

(2y3 (x2 y2 ))dxdy =…

Dxy

{перейдем в полярную систему координат}

2

2

... dφ d (2 3 sin3 φ 2 ) ... 2 .

0

0

П2

a,d =

a,n0 d ...

2

2

{ n0 (0;0;1) (a,n0 ) z }

... zdxdy 2 dxdy =2 (

2)2 4 .

Dxy

Dxy

П П1 П2

2 4 2 .

ПРИМЕР. Найдите поток вектора a xyi yz j xzk через часть сферы

x2 y2 z2 1, расположенную в первом октанте (нормаль внешняя).

Решение:

П ax dydz ay dxdz az dxdy

n0

{компоненты поля и области интегрирования обладают

симметрией относительно замены x y z и

Dxy

D yz Dxy Dxz }

П 3 azdxdy 3 x

1 x2

y2 dxdy

Dxy

Dxy

/ 2 1

3

3 d cos

1

2

d

=

.

16

0

0

ax

(x, y, z)