Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chast_8_Teoria_polya

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

				z bt c2 ,
bc	costdt c
bc	costdt c		costdz dz bdt , x c1 cost,
1		1		y c sin t.
				y c sin t.
					1
В точке P(1,0,0) получаем:
1 c1,			c1	1,
	0,		c1	1,
0	0,		c	0.
	0 c2 ,		c	0.
0	0 c2 ,		2

Векторные линии поля

x cost,

y sin t, представляют

z bt

собой винтовые линии.

Найти векторные линии в векторном поле

a 9zj 4yk.

РЕШЕНИЕ:

Векторные линии для векторного поля

y, z i ay x,

y, z j az x, y, z k

описываются

a ax x,

системой дифференциальных уравнений

ax x, y, z

ay x, y, z

az x, y, z

Согласно этой формуле, имеем

или

№9

4ydy 9zdz,

0 9z 4y

4y2 9z2 C12 ,

x C2 .

dx 0.

Интегрируя, получаем

C ,

или

x C2

2C1 ,

x C2 ,

то есть векторные линии этого поля представляют собой эллипсы с центрами на оси Ox, , лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Найти векторные линии поля


	a z 3 i yj x 3 k.			2		2	C1,
№10			x 3		z 3		C1,
№10			x z C y.
	РЕШЕНИЕ:
	РЕШЕНИЕ:				2
	Векторные линии векторного поля		ax , ay , az
	Векторные линии векторного поля	a	ax , ay , az

могут быть найдены из системы

Для нашего поля имеем

z 3

x 3

Решим эту систему с помощью метода

составления интегрируемых комбинаций.

Равенство

образует первую

z 3

x 3

интегрируемую комбинацию.

x 3 dx z 3 dz,

x 3 2

z 3 2

x 3 2 z 3 2 C .

Вычитая числители и знаменатели первой и

третьей дробей, получаем вторую интегрируемую

комбинацию

d x z

z x

x z

x z C y.

x z

Таким образом, векторные линии задаются

системой

z 3

C1,

x 3

x z C y,

т.е. являются линиями пересечения

гиперболических цилиндров с плоскостями.

Поток векторного поля

Дивергенция векторного поля

Теорема Остроградского - Гаусса

Найти поток векторного поля a через часть

плоскости

расположенной в первом

октанте

(нормаль образует острый угол с осью Oz ), если

P : x 2 y 3z 1.

a xi 2yj zk ,

РЕШЕНИЕ:

Запишем

уравнение

плоскости

"в

№11

отрезках":

Из него

1 2

1 3

видно,

что

точки

пересечения плоскости P с координатными осями

есть A 1,0,0 ,

0,0,

ds ,

где

часть

плоскости P,

a,n

расположенная в первом октанте. Если плоскость

задана	уравнением							Ax By Cz D 0,					то
нормальный		вектор
нормальный		вектор				n A, B,C . Следовательно,
для нашей плоскости P
для нашей плоскости P							n 1, 2,3 .
			n
									2		2
									2		2
	n0			.	n		1 2			3		14.
	n0			.	n		1 2			3		14.
			n

Так как нормаль образует острые углы с осями координат, то для n выбираем знак «+». Таким образом,

n0 cos ,cos ,cos

1		2		3
	,		,		.

14		14		14
14		14		14

	П ax cos ay cos az cos ds
						S
			произведем проектирование
				на плоскость Oxy
				на плоскость Oxy
	ax cos ay cos az cos																																			dxdy
																																				cos

			Dxy
			Dxy							cos											cos

						a									a												a					dxdy
						a									a												a					dxdy
									x									y
									x	cos								y			cos									z
			Dxy							cos											cos
			Dxy							1							2


						x							2 y							z													dxdy
						x							2 y							z													dxdy
			D							3							3								1			1 x 2 y
				xy																						z
				xy																						z
																								3
								1					4				1		1 x 2y
										x				y																dxdy
								3		x			3	y			3													dxdy
			D					3					3				3
			xy
							1		x	1																																						1	1
									x																																							1	1
		1					2 2					1 2									2							1					1				2				1					2			x
		1					2 2					1 2									2							1					1				2				1					2		2 2
	dx															x						y		dy dx												y			xy						y
	dx															x						y		dy dx												y			xy						y
		0							0			3 3									3							0						3			3				3							0
		0							0			3 3									3							0						3			3				3							0
			1 1							1			1					2						1						1				1			1				1 2
											x										x						x											x							dx
											x										x						x											x							dx
					3					2			2					3						2						2				3			2
			0		3					2			2					3						2						2				3			2				2
		1 1								2													1						x3					2						1	1					5				1
																																								1

					0	5x 8x 3 dx																					5				4x					3x											4 3				.
		12				5x 8x 3 dx																					5				4x					3x											4 3				.
		12																					12					3												0	12					3				18
																							12																	0
	Найти поток векторного поля a через часть
№12	плоскости P, расположенную в первом октанте																																								9	5
	(нормаль образует острый угол с осью Oz), если																																								9	5
	(нормаль образует острый угол с осью Oz), если																																								4	2
																																			x						4	2	z
																																			x								z
	a 5πxi 1 2 y j 4πzk ,																															P :					4y							1.
	a 5πxi 1 2 y j 4πzk ,																															P :					4y				3			1.
																																		2							3

РЕШЕНИЕ:
Нормаль			к плоскости P
1	1		Она образует острые
n	,4,	.

2	3

углы	с осями		координат,
следовательно,		1		1		1
		1		1		1
n0 cos ,cos ,cos					,4,		.
				2		3

			n

Пa n0 ds

S
проектирование

на плоскость Oxy

										cos														cos
					a					cos									a					cos						a					dxdy
					a			x											a		y									a				z	dxdy
								x			cos										y				cos									z
		Dxy									cos														cos
		Dxy								3
										3
						5 x										1 2 y 12 4 z																																			dxdy
						5 x										1 2 y 12 4 z																																			dxdy
		D								2																																			x
			xy																																				z 3 1									4 y
			xy																																				z 3 1									4 y
																																											2
							1		x				1
		2				8							4 15																																	x
	dx																	x			12 24y 12																			1								4y					dy
	dx														2			x			12 24y 12																			1						2		4y					dy
		0						0							2																															2
		2								3																																						y2					1	x		1
		2								3																																						y2					8 4
	dx													x 12 1 y																					24 1 2
	dx									2				x 12 1 y																					24 1 2													2
		0								2																																						2				0
		0																																																		0
		2						1								1						9							3
											x																				x 6 9												dx
											x											2									x 6 9												dx
		0						8								4						2							2
		2					3				3 1 x											2					3		2 x								3												3
																																																		dx
																											8																							dx
		0				16																					8										2												2
						1			3 1 x											3				3				2 x								2					3							3							2
						1														3				3												2					3							3
																																																			x
																								16																											x
					16																			16																	2							2							0
				3								1					3						3										9					9						5			.								0
				3								1					3						3			3							9					9						5
																										3
			2							2					4								2									2					4						2
	Найти поток векторного поля a через часть
	поверхности S,																						вырезаемую плоскостями P1 и
	P2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности,
	образуемой данными поверхностями), если
																															2	k ,			S		: x			2		y				2		1,					P1 : z 0,
№13	a x y i x y																										j z					k ,			S		: x					y						1,					P1 : z 0,				0
№13	P2 : z 2.																																																								0
	P2 : z 2.
	РЕШЕНИЕ:
	1способ. Найдем поток методом проектирования
	на три координатные плоскости. Для этого
	воспользуемся формулой

Пa ds ax dydz ay dxdz az dxdy.

Таким образом, для нашего вектора a

П x y dydz x y dxdz z2dxdy

x y dydz x y dxdz z2dxdy П1 П2 П3.

S S S

Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Так как S - цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz, то

П3 z2dxdy 0.

Из геометрических

соображений понятно, что нормаль n образует острый угол с осью Ox в тех точках, где x 0, и тупой – в тех, где x 0, и аналогично острый (тупой) угол с осью Oy в точках, где y 0 ( y 0 ). Для вычисления интеграла П1 разобьем поверхность S плоскостью

Oyz на две части S1 и S2 ( S1 - та часть, где x 0 ). Проекцией S1 и S2 на плоскость Oyz является одна и та же область Dyz, но при сведении поверхностного интеграла к двойному в

первом случае перед интегралом берется знак «+», во втором – «-», так как для S1 направляющий косинус нормали cos 0 , а для S2

- cos 0 .

П1 x y dydz x y dydz x y dydz

x y

dydz

x y

dydz

Dyz

1 y2

Dyz

1 y2

y dydz 2

1 y2

1 y2 dydz

Dyz

	2		1									y sin t, dy			cos tdt
2 dz					1 y			2	dy				1		, t 1
2 dz					1 y				dy			t
	0			1								t
													2			2

												1 cos 2t
			2			2				2		1 cos 2t				1		2
2 2			cos				tdt		4					dt	2 t		sin t
2 2			cos				tdt		4				2	dt	2 t	2	sin t
													2			2
																			2

			2							2
			2							2
2					0			0			2 .

		2					2
		2					2

Аналогично вычисляем П2 . При вычислении этого интеграла поверхность S разбиваем на две части плоскостью Oxz.

П2 x y dxdz

x y dxdz x y dxdz

S1 y 0

x y

dxdz

x y

dxdz

Dxz

y 1 x2

Dxz

y 1 x2

dxdz 2

dxdz 2 .

1 x2 x

1 x2

Dxz

Таким образом, П 2 2 0 0. 2способ. Найдем поток векторного поля a

через часть поверхности цилиндра x2 y2 1, вырезаемую плоскостями z 0 и

z 2 как разность потока П1 через замкнутую поверхность S1, образованную этим цилиндром и этими

плоскостями, и потоков П2 и П3 через части плоскостей z 0 и z 2 , вырезаемые цилиндром

x2 y2 1.
Для вычисления потока П1			воспользуемся
формулой Остроградского-Гаусса:
П
П	a	ds divadv ,
	S		V

т.е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V , ограниченному данной поверхностью.

Вычислим дивергенцию вектора a.

	ax	ay	az
diva				1 1 2z 2z.
diva	x	y	z	1 1 2z 2z.
	x	y	z

Таким образом,

перейдем в цилиндрическую

П1 a ds

2zdv

систему координат

2 d

d zdz 2 2

2 4 .

Вычислим теперь поток П2

через круг S2 ,

являющийся нижним основанием цилиндра, в

направлении внешней к цилиндру нормали.

Для

единичный вектор нормали

0,0, 1 .

ds az cos ds z

dxdy 0.

П2 a ds a

Dxy

z 0

Аналогично вычисляем П3 через верхнее

. Для S

основание цилиндра S

0,0,1 .

dxdy 4

dxdy 4 S

4 .

4 R

круга

Dxy

z 2

Dxy

R 1

Таким образом, П П1 П2 П3 4 0 4 0.

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S1 , вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями), если

y z j z y k ,

S1 : x

a xi

P : z 0, z 0 .

РЕШЕНИЕ:

1способ. Найдем

№14

поток методом

проектирования на

54 .

одну координатную

плоскость.

Поверхность S1

однозначно

проектируется в круг на координатной плоскости

Oxy.

dxdy

n ds

cos

Dxy

Находим n1 .

n1 cos i cos j cos k

F 2

где F x, y, z 0 - уравнение поверхности.

У нас F x, y, z x2

2x,

2y,

2z.

Таким образом,

2xi 2yj 2zk

xi yj zk

4x2 4y2 4z2

x2 y2 z2

Из геометрических соображений понятно, что

внешняя нормаль образует острый угол с осью

Oz,

т.е. cos 0. z 0,

следовательно,

интересующая нас единичная нормаль

xi yj zk

x2 y2 z2

x x y z y z y z

П1

x2 y2 z2

dxdy

Dxy

9 x2 y2

y z y

dxdy

9 x2 y2

x2 y2

dxdy

Dxy

9 x y

9 x2 y2

перейдем в полярную

систему координат

9 2

9 2 9

54 .

2способ. Найдем поток векторного поля a как разность потока П через замкнутую поверхность, состоящую из полусферы x2 y2 z2 9 z 0 и

ограничивающей ее плоскости, и потока П2 через данную часть плоскости z 0.

П a

ds diva dv

V x

1 1 1 dv 3 dv 3Vполушара

54 .

0,0, 1 .

R 3

Для плоскости

z 0

П2

dxdy

a n2 ds az cos ds z y

Dxy

z 0

перейдем в полярную

ydxdy

Dxy

систему координат

2 3

d sin d cos

Следовательно, П1 П П2

54 0 54 .

Найти поток векторного поля a через замкнутую

поверхность

(нормаль

внешняя), если

k , S :

2x 2y z 4,

2y 5x i x 1

j 2 xy 2z

РЕШЕНИЕ:

x 0, y 0,z 0.

Уравнение плоскости 2x 2y z 4 "в отрезках":

Поток векторного

поля

№15

через

замкнутую

- 8

поверхность

направлении

внешней

нормали

П a

divadv.

Вычисляем diva 5 0 2 3.

Поэтому

П 3 dv 3Vтреуг. пирамиды 3

2 2 4 8.

Найти поток векторного поля a через замкнутую

поверхность S (нормаль внешняя), если

a x z i yk,

			2		2	,
	z 8 x			y		,
	S :	y2 .
	z x2	y2 .

№16	РЕШЕНИЕ:						16 .
№16							16 .
	П a	ds			divadv,
	S					V

где V - тело, ограниченное замкнутой поверхностью

S, образованной парой параболоидов вращения. Вычислим diva 1 0 0 1.

	П dv									переходим в цилиндрическую
	П dv
			V							систему координат
	2					2				8 2									2
	d d dz 2 8 2 2 d
	0					0				2									0
					2 2					4		2
												2

	4												16 .
	4									4			16 .
										4		0
												0
	Найти поток векторного поля a через замкнутую
	поверхность S (нормаль внешняя), если
		y		2		z		2	i xy y							2	j xz z k ,					x2 y2 1,
	a	y				z			i xy y								j xz z k ,					S :
	РЕШЕНИЕ:																					z 0, z 1.
	РЕШЕНИЕ:

	П a ds													divadv.
					S									V
	Вычисляем diva 0 x 2 y x 1 2x 2 y 1.
	П 2x 2y 1 dv															переходим в цилиндрическую							π.
№17	П 2x 2y 1 dv
№17	2		V		1				1							систему координат
	d				d 2 cos 2 sin 1 dz
	0				0				0
	2				1																1
	2				1																1
	d				d 2 cos sin 1 z
	0				0															1	0
	0				0																0
	2						2	3	cos sin									2


	d
	d					3
	0					3											2			0
	0	2													2					0
			sin cos														.



		3									2				0
		3									2				0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.2018832 Кб9Chast5.doc
#
29.03.20154.38 Mб157Chast_10_TV.pdf
#
23.02.20154.6 Mб23Chast_2_VA_i_AG.pdf
#
23.02.20154.66 Mб16Chast_3_novyy.pdf
#
23.02.2015220.05 Кб9Chast_7_4_RR.pdf
#
23.02.20152.2 Mб20Chast_8_Teoria_polya.pdf
#
22.02.20151.39 Mб25chistovik.docx
#
23.02.20153.03 Mб37Ch_7_Integraly_po_figure.pdf
#
13.03.2016726.51 Кб3CodeSeekerHelp.pdf
#
22.02.201567.58 Кб3codexes PR.doc
#
23.02.20152.37 Mб6cost management_Priluckaya_Cherepanova.pdf