Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Chast_8_Teoria_polya

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>


ПРИМЕР.	Найдите нормаль к поверхности u x2 y 2 z2											в точке Р(1,1,1).
Решение:	По	свойству 3 n	u ,					grad u 2xi 2y j 2zk ,				u 2xi 2y j 2zk

2i 2 j 2k		= 2,2,2 n0		1		,	1		,	1	.

					3		3		3

ПРИМЕР. Найдите градиент функции r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 (модуль радиус-вектора).

Решение:

P0 -фиксированная точка, P(x,y,z) – изучаемая точка поверхности.

grad r	r	i	r	j	r	k =			x x0 ; y y0 ; z z0	= r0

									(x x0 )2 (y y0 )2 (z z0 )2
	x		y		z
- единичный вектор направления вектора P0P.
Например, покажем, что для скалярной функ-										grad(r1 r2 )
ции u P r1 r2 ,					где			r1 , r2 - расстояния от
										r20
точки Р до фиксированных точек F1 , F2 , ли-										r10
ниями уровня являются эллипсы.
Решение:
Имеем: grad (r r ) r 0 r 0 , т.е. градиент равен
1			2		1		2

диагонали ромба, построенного на ортах ради-

ус-векторов, проведенных к точке Р из фокусов F1 и F2 . Нормаль к эллипсу в какой-либо точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведёнными в эту точку.

Физическая интерпретация: луч света, вышедший из одного фокуса, попадает в другой фокус.

	1.5. Векторное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если с	каждой точкой		Z	P(x,y,z)
P(x; y; z) пространственной	области	G связана


векторная функция её радиус-вектора		a a P , то			a(P)

	говорят, что в области G задано векторное поле.	Y
	Векторное поле определяется тремя скаляр-
		X
	ными характеристиками – координатами вектора

a , a ax ,ay ,az или a ax i ay j az k , где

ax ax (x, y, z) , ay ay (x, y, z) , az az (x, y, z) - проекции векторного поля на оси координат или компоненты вектор - функции. Будем считать, что они непрерывны и дифференцируемы по всем переменным.

1.5.1. Векторные линии

Векторное поле можно изобразить графически, указав положение вектора a в некоторых точках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторной линией поля a a P в области G называется кривая, в каждой

точке которой вектор a направлен по касательной к этой кривой.

Найдём уравнения векторных линий. Предположим, что векторные линии есть прямые,

тогда их уравнения: x x y y z z , ax ay az

x y z . Так как любую кривую можно на ax ay az

бесконечно малом участке величины

dr (dx,dy,dz) заменить отрезком касательной, а направление касательной совпадает с направлением a , то уравнения векторной линии имеют вид:

dx dy dz . ax ay az

На самом деле речь идет о системе дифференциальных уравнений первого порядка.

dy ay ; dz az ; dz az . dx ax dx ax dy ay

1(x, y, z) C1;

Общее решение этой системы:

2 (x, y, z) C2

определяет двухпараметрическое семейство линий и дает совокупность всех векторных линий поля.

	Z	a(P)
	Z	a(P)
		a(P)

P(x, y, z) P(x, y,z)

a ( P ) Z P(x, y,z)

P(x, y, z)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторной трубкой называется совокупность всех векторных линий, пересекающих часть некоторой лежащей в векторном поле поверхности S, ограниченная замкнутым контуром Г.

1.5.2. Плоское векторное поле

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле называется плоским, если все вектора лежат в параллельных плоскостях.

Уравнение векторных линий dx dy dz . ax ay 0

В плоском поле векторные линии есть плоские кривые y x .

ПРИМЕР. Найдите векторные линии поля, если поле за-

дано вектором: a yi xj bk в точке Р(1,0,0) Решение:

y x

1).

xdx ydy xdx ydy 0 ;

c12

; x2 y2 c2 2 ;c2

- уравнение окружности.

x c1 cost;

2).

bdy xdz

y c1 sin t;

bc1 costdt c1 costdz dz bdt ,

z bt c2 ;

P (1,0,0);

x c1 cost ,

y c sin t;

1 c1

x cost

0 0

y sin t

0 c

z bt

уравнение винтовой линии.

Z	a(P)
	a(P)
	Y
X

2.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1.Односторонние и двусторонние поверхности

Рассмотрим гладкую и незамкнутую поверхность , ограниченную кусоч-

но-гладким контуром . Это означает, что для уравне-
ния поверхности существуют частные производные по		n
всем переменным. В точке Р проведём нормаль n к по-	Z	Г
верхности. Через точку P проведем замкнутый контур Г,	Z
верхности. Через точку P проведем замкнутый контур Г,
не имеющий общих точек с границей .
При обходе контура возможны две ситуации:		Y
а) нормаль к поверхности n при возвращении в		Y
а) нормаль к поверхности n при возвращении в	X
точку P сохранит свое направление;	X
точку P сохранит свое направление;
б) при непрерывном движении вдоль замкнутого

контура Г, непрерывно меняясь по направлению, нормаль изменит направление на противоположное при возвращении в исходную точку.

В случае «а» поверхность называется двусторонней, в случае «б» – односторонней. Совокупность точек поверхности с определенным направлением нормали n называется стороной поверхности.

Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.

2.2.Площадь поверхности

Пусть S - незамкнутая гладкая поверхность. Разобьем ее на участки Si , (i 1,...,n ), с помощью сети кривых. Выберем в каждом участке Si точку Pi . Проведем в точке Pi касательную плоскость к поверхности S и спроектируемSi на касательную плоскость. На проекции получим плоскую фигуру с площадью Si .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Площадью поверхности S называется предел суммы площадей Si (i 1,...,n ) при условии, что диаметры всех частей разбиения Si

стремятся к нулю: S lim Si .

Si 0 i 1

Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Пусть поверхность задается явным уравнением z z x, y , где z x, y -

непрерывно дифференцируемая функция, и однозначно проектируется в

плоскую область		xy			на координатной плоскости Oxy . Нормаль n к
поверхности S , как вектор,						ортогональный к касательной плоскости, имеет
	z			z		, и направляющие косинусы нормали n равны:
компоненты: n			,		, 1
		x		y



cos n,i cos



cos n, j cos

z 2



cos n,k cos

					.

	z 2		z 2
1

		x		y

Выбор знака перед радикалом соответствует острому или тупому углу нормали n с соответствующей осью координат и определяет сторону поверхности S .

Спроектируем элементы Si на касательной плоскости на координатную плоскость Oxy ; площадь проекции

i Si

cos

z 2

Следовательно,

z 2

cos

и предел, фигурирующий в определении площади поверхности S , представляет собой двойной интеграл по области xy

dx dy

z 2

dx dy .

cos

Если уравнение поверхности S дано в виде x x y, z или

y y x, z , то

площадь может быть представлена как


S		dy dz
		cos

	yz		yz
	yz		yz

или


S		dx dz
		cos

	xz		xz
	xz		xz

x 2		x 2
1			dy dz

	y	z

	y 2	y 2
1			dx dz ,

	x	z

где yz и xz - проекции поверхности S на плоскости Oyz и Oxz .

2.3. Система координат и ориентация поверхности

Введем систему координат в пространственной области G. Система векто-

ров a,b,c образует правую тройку, если поворот от вектора a к вектору b , видимый из конца вектора c , совершается против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой. В дальнейшем будем работать с правой

системой координат. В случае незамкнутой поверхности сторону можно определить, задавая направление обхода контура.

Выберем определенную сторону незамкнутой дву-	c
сторонней поверхности, а в ней замкнутый контур Г.	c
сторонней поверхности, а в ней замкнутый контур Г.	Z
Он ориентирован положительно, если обход совершает-	Z
ся против часовой стрелки (+), и отрицательно, если об-	a	b
ход совершается по часовой стрелке (–).	a
ход совершается по часовой стрелке (–).
Проведём внутри контура нормаль и воспользуем-		Y
ся: «правилом буравчика».		Y
ся: «правилом буравчика».	X
Поверхность является положительно ориентиро-	X
ванной, если при обходе контура Г в положительном

направлении движение винта совпадает с направлением нормали. Если движение винта противоположно направлению нормали, то поверхность отрицательно ориентирована.

Для замкнутой поверхности считается, что внешняя поверхность ориентирована положительно, а внутренняя - отрицательно.

2.4. Поверхностный интеграл 1-го рода

Поверхностные интегралы первого рода – это обобщение двойных интегралов по области D . Рассмотрим фигуру, которая является поверхностью; . Интеграл по фигуре в данном случае является поверхностным интегралом 1-го рода от функции f (P) f (x, y, z) по поверхности

f (x, y, z)d lim f (Pi ) i

rn 0 i 1

2.4.1. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода

Вычислим f x, y, z d . Пусть f x, y, z 0,

а поверхность задана уравнением z f x, y .

Лемма. Площадь проекции плоского участка одной плоскости P1 на другую P2 равна площади самого участка, умноженной на модуль косинуса двугранного угла между плоскостями:

Sï ð S cos .

Доказательство:

S l a	Sï ð a l	cos	S	cos	(поскольку
Sï ð 0, косинус берется по модулю).
Пусть	требуется вычислить поверхностный

P2 a

интеграл 1-го рода по поверхности . Область D является проекцией поверхности на плоскость

xOy . Через точку

проведем касательную

плоскость.

Ее

уравнение:

Выберем часть по-

верхности d и спроектируем ее на касательную плоскость. Обозначим проекцию d . Будем считать

d ~ d .			Обозначим n -		нормаль к плоскости:
z		z		. Поскольку k	0,0,1 - нормаль к xOy ,
n	,		, 1
		y
x

то угол - угол между касательной плоскостью и плоскостью Oxy , он равен углу между векторами n

	z
	z f (x,y)
0	y
	D
x

и k .

Найдем связь между dS (проекцией d на плоскость xOy ) и d


cos	n,k					1		;	cos			1
	n,k					1						1


							2						2
							2						2
		n	k		z 2		z			1	z 2		z
				1
				1
						x	y					x	y

в пределе при

r 0,

d d ,

dS d

cos

;

cos

z 2

d dS 1

;

f x, y, z d f x, y, z x, y dS

z 2

Так записывается поверхностный интеграл, если поверхность задана уравнени-

ем z z x, y .

Если поверхность задана уравнением y y x, z , то

f x, y, z d f x, y x, z , z		yx 2 yz 2 1 dS .
	Dxz

Аналогично, если x x y, z , то

f x, y, z d f x y, z , y, z		1 xy 2 xz 2 dS ,
	Dyz
где Dxz , Dyz - проекции на плоскости Oxz, Oyz .
Итак, для	поверхности S , в каждой	точке которой задана функция:

f (P) f (x, y, z), если поверхность однозначно проектируется на плоскость Oxy

в область xy и задана уравнением

z f (x, y) , то

f (x, y, z)dS f (x, y, z(x, y))

dxdy

cos( )

f (x, y, z(x, y))

z 2

dxdy .

2.5. Поверхностный интеграл 2-го рода

Рассмотрим ориентированную поверхность S . Спроектируем элемент поверхности Si на координатную плоскость Oxy . Составим интегральную сум-

му произведений значений функции в произвольной точке Pi Si на величину

площади проекции части Si	на координатную плоскость i :
n		n
f (Pi ) i		f (xi , yi , zi ) i .
i 1		i 1

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции f (x , y , z) по определенной стороне поверхности и обозначается:

Ixy f (P)dxdy f (x, y, z)dxdy .

S S

Знак (+) соответствует положительной (внешней), а (–) отрицательной (внутренней) сторонам поверхности.

Если на данной поверхности заданы другие функции f1 (x, y, z) , f2 (x, y, z) , то проектирование на другие координатные плоскости дает интегралы:

I yz f1(x, y, z)dydz; Ixz f2 (x, y, z)dxdz .

S S

Соединение этих интегралов дает общее выражение для поверхностного интеграла 2-го рода:

I f (x, y, z)dxdy f1 (x, y, z)dydz f2 (x, y, z)dxdz .

Между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода существует следующая связь:

f (x, y, z)cos dS f (x, y, z)dxdy ,

S S

причем при интегрировании по положительной стороне поверхности: cos 0; cos dS dxdy ,

а по отрицательной: cos 0;cos dS dxdy .

Поверхностные интегралы 2-го рода обладают всеми свойствами двойных интегралов.

Поверхностный интеграл 2-го рода может быть также записан в более компактном виде. Пусть a ax , ay ,az , где ax ax (x, y, z) , ay ay (x, y, z) , az az (x, y, z) - векторное поле. Составим для координат этого вектора поверхностный интеграл 2-го рода.

I ax (x, y, z)dydz ay (x, y, z)dxdz az (x, y, z)dxdy

ax (x, y, z)cos ay (x, y, z)cos az (x, y, z) cos dS .

S
Так как n0 cos ,cos ,cos , n0	- единичный вектор нормали к выбранной
		dS .
стороне поверхности S , то I a	(x, y, z) n0	dS .

Вводя dS n0 dS - векторный элемент площади, направленный по нормали n0

и имеющий длину dS , получаем I a(x, y, z) dS .

3.ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

3.1.Определение потока векторного поля

Пусть a a P - непрерывное векторное поле,

а - ориентированная кусочно-гладкая поверхность (конечное число границ - линий излома). Разобьем поверхность на n частей 1, 2 , ..., n , каждая из ко-

торых имеет площадь 1, 2 , ..., n , и выберем

точку Pi	на каждом из участков i		. В точке Pi построим
единичный вектор нормали n0 (Pi )			к поверхности i .
Составим		вектор i n0 (Pi ) i с длиной i ,
направленный по нормали n0 (Pi ) . Вычислим скалярное
произведение		a(Pi ) i , просуммируем по всем уча-
n

сткам a(Pi ) i и рассмотрим предел суммы при max i 0.

i 1

i 0 i

Pi 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности на участки i и от выбора точки Pi , то он называется

потоком векторного поля a a P			через поверхность .
Ï				n
Ï	(a	d ) ad		lim a	(Pi ) .
				max( ) 0 i 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Используя введенное ранее понятие поверхностного интеграла 2-го рода, можно определить поток вектора a через поверхность как поверхностный интеграл второго рода от вектора a по поверхности .

Поток вектора a - скалярная характеристика векторного поля.

3.2.Свойства потока

1.Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации поверхности :


(a,d ) (a,d ) .

2.Свойство аддитивности по отношению к области интегрирования. Если поверхность состоит из нескольких гладких частей: 1, 2 , ..., n , то по-

ток векторного поля a равен сумме потоков поля a через поверхности:

	1, 2 , ..., n : Ï	n	n
	1, 2 , ..., n : Ï	Ï i (a,d )
		i	i i
3. Свойство	линейности
3. Свойство	линейности	( a	a)d (a,d ) (a,d ),

где и - некоторые постоянные.

3.3. Вычисление потока

Введем d n0d - векторный дифференциальный элемент поверхности, тогда


a d a n0d a n0 d , (a	d ) a	n0	d (Ï ðn0 a)d .

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.2018832 Кб10Chast5.doc
#
29.03.20154.38 Mб172Chast_10_TV.pdf
#
23.02.20154.6 Mб29Chast_2_VA_i_AG.pdf
#
23.02.20154.66 Mб36Chast_3_novyy.pdf
#
23.02.2015220.05 Кб15Chast_7_4_RR.pdf
#
23.02.20152.2 Mб32Chast_8_Teoria_polya.pdf
#
01.07.202544.91 Кб1Chelovek_i_Potrebnosti.docx
#
01.03.2025457.22 Кб3chertov9-46.doc
#
22.02.20151.39 Mб28chistovik.docx
#
23.02.20153.03 Mб46Ch_7_Integraly_po_figure.pdf
#
01.05.2025535.04 Кб3CLU (3).doc