Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9 ОПРЕДЕЛЕ.DOC

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

3.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

9.15. Несобственные интегралы

Несобственными интегралами называются 1) интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода); 2) интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Несобственный интеграл от функции в пределах отдоопределяется равенством

. (9.35)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются:

и . (9.36)

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке отрезкаи непрерывна прии при, то несобственный интеграл 2-го рода определяется следующим равенством:

. (9.37)

Несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, если оба предела в правой части существуют и конечны; если же хотя бы один из интегралов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример 19. Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): а) ; б); в).

Решение. а) Согласно формуле (9.35) получим

т.е. предел не существует и несобственный интеграл расходится.

б) Используя четность подынтегральной функции и формулу (9.36), получим:

Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен .

в) Используя формулу (9.37), получим:

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Задание 9.1. Вычислить определенные интегралы:

1. а)	б)	в) .
2. а)	б)	в) .
3. а)	б)	в) .
4. а)	б)	в) .
5. а)	б)	в) .
6. а)	б)	в) .
7. а)	б)	в) .
8. а)	б)	в) .
9. а)	б)	в) .
10. а)	б)	в) .
11. а)	б)	в) .
12. а)	б)	в) .
13. а)	б)	в) .
14. а)	б)	в) .
15. а)	б)	в) .
16. а)	б)	в) .
17. а)	б)	в) .
18. а)	б)	в) .
19. а)	б)	в) .
20. а)	б)	в) .
21. а)	б)	в) .
22. а)	б)	в) .
23. а)	б)	в) .
24. а)	б)	в) .
25. а)	б)	в)

Задание 9.2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

1. x = acos³t, y = asin³t;	14. y² = x, y = x²;
2. y = lnx, 2  x  5;	15. y = –x²+2x+3, y = x²–4x+3;
3.  = acos3, (a>0);	16. x = 6(t–sint), y = 6(1–cost) (y9);
4. xy = 4, x=1, x=4, y=0;	17. y = arсcos x, x = 0, y = 0;
5. xy = 4, x+y–5=0;	18. ;
6.  = cos2;	19. y² = 2x, y² = –x²+4x;
7. y² = 16–8x, y² = 24x+48;	20. ;
8.  = sin3;	21. ;
9. y = x²–3x, 3x+y–4=0, x=0;	22. ;
10.  = 6cos3,  = 3 (3);	23. ;
11. x = tg3x, y = 0, x = /12;	24. ;
12.  = 2cos6;	25. .
13. ;

Задание 9.3. Найти длину кривой:

1. ;	14. ;
2. x = 5(t–sint), y = 5(1–cost) при 0  x  ;	15. ;
3. 9y² = x(3–x)², между точками пересечения кривой с осью Ox;	16. ;
4. , ,0  t  , (R>0);	17. ;
5. ;	18. ;
6. ;	19.;
7. , между точками пересечения линии с осями координат;	20. ;
8. , между точками пересечения линии с осями координат;	21. ;
9. ;	22.
10. ;	23. ;
11.;	24. ;
12. ;	25.
13. ;

Задание 9.4. Определить объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси плоской фигуры, ограниченной заданными линиями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. .

Задание 9.5. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением линии: