7. Исследование функций и построение графиков
7.1 Условие монотонности функции. Экстремумы функции
Функция f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух чисел x1 и x2 из этого интервала из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x1 )< f( x2).
Если же из неравенства x1< x2 следует нестрогое неравенство
f (x1 ) f( x2), то функция называется неубывающей в этом интервале.
Функция f(x) называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел x1 и x2 из этого интервала из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x2)< f( x1).
Если же из неравенства x1<x2 следует нестрогое неравенство f (x2) f( x1), то функция называется невозрастающей в этом интервале.
Функции возрастающие и убывающие, а также функции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.
Признак монотонности функции.
Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и f /(x)0 (f /(x)0) на (a,b), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b).
Говорят, что функция f(x) в точке x0 имеет максимум (минимум), если значение функции f(x) в точке x0 больше (меньше), чем ее значение во всех точках интервала, содержащего точку x0.
Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.
Точка x0, в которой f /(x0)=0, называется стационарной точкой.
Точки, в которых f /(x)=0 или f /(x) не существует, называются критическими точками.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Точки экстремума следует искать среди критических точек.
Необходимое условие экстремума.
Если дифференцируемая функция y= f(x) имеет в точке x= x0 максимум или минимум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.
Достаточные условия экстремума.
Первое достаточное условие.
Если при переходе через критическую точку слева направо f /(x) меняет знак с «+» на «–», то эта точка есть точка максимума функции, а если f /(x) меняет знак с «–» на «+», то эта точка есть точка минимума функции. Если же при переходе через критическую точку слева направо f /(x) не меняет знак, то функция f(x) в этой точке экстремума не имеет.
Второе достаточное условие.
Если в точке x= x0 первая производная функции f(x) равна нулю:
f /(x0)=0,
то при x= x0 имеет место максимум, если f //(x0)<0,
и минимум, если f //(x0)>0.
Если же f //(x0)=0, то для заключения об экстремуме в этой точке требуется дальнейшее исследование (предполагается, что функция f(x) в окрестности точки x=x0 имеет непрерывную вторую производную).
Третье достаточное условие.
Пусть f /(x0)=0, f //(x0)=0,…, f(n-1) (x0)=0, f(n)(x0)0. в этом случае функция f(x) имеет в точке x0 экстремум, если n– четное число, а именно, максимум при f(n)(x0)<0 и минимум при f(n)(x0)>0. Если же n – нечетное число, то функция f(x) в точке x0 экстремума не имеет.