Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
6 функция.doc
Скачиваний:
31
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
1.05 Mб
Скачать
  1. Производная функции

6.1 Дифференцирование функций, заданных явно

Производной функцииy=f(x) в точкеx0называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная функцииy=f(x) обозначается черезy/, илиf /(x).

Операция нахождения производной f /(x) от функцииf(x) называетсядифференцированием этой функции.

Геометрически значение производной функции y=f(x) в точкеx=x0равно тангенсу угла, образованного положительным направлением осиОхи касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссойx0, то естьf /( x0)=tg (рис 6.1).

Число tg называютугловым коэффициентом касательнойи обозначаютk, то есть

k =f /( x0)=tg.

В прямоугольной системе координат уравнения касательной и нормали к некоторой кривой y =f (x) в точкеМ0(x0; y0) имеют вид

Рис 6.1

уравнение касательной,

уравнение нормали.

Если функция y=f(x) описывает какой–либо физический процесс, то производнаяy/есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Основные правила дифференцирования.

Пусть даны функции, имеющие производные u=u(x) и v=v(x), c=const

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7 если дана сложная функция y=f(u), где u=u(x), то есть y=f[u(x)], где функции f(u) и u(x) имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).

Основные формулы дифференцирования.

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем как сумму по формулам 6.4, 6.1, 6.3 правил дифференцирования и применяем формулу 6.8

Пример 2. Найти y// функции .

Решение. Дифференцируем как частное по формуле 6.5 правил дифференцирования и применяем формулы 6.2, 6.1 и 6.8

.

Пример 3. Найти y/функции .

Решение. Дифференцируем, применяя формулы производной сложной функции и формулы 6.8 и 6.12

Пример 4. Найти y/функции .

Решение. Вводим сначала дробные и отрицательные показатели, затем дифференцируем, применяя формулы 6.3, 6.2 и 6.1 и формулу 6.8

Пример 5. Найти y/функции .

Решение. Применяем сначала формулу 6.3, а для второго слагаемого формулу 6.4. Затем используем формулы 6.9, 6.14, 6.8 и 6.15

Логарифмический метод.

Иногда, прежде чем находить производную от заданного выражения, лучше выражение преобразовать так, чтобы процесс дифференцирования упрощался. Во многих случаях оказывается выгодным, прежде чем дифференцировать заданную функцию, взять ее логарифм, определить затем производную от этого логарифма и по производной от логарифма отыскать производную от заданной функции. Такой прием называется способом логарифмического дифференцирования.

Метод логарифмического дифференцирования позволяет находить производные от сложной функции вида , гдеu,v- функции аргументаx. Действительно, логарифмируя обе части исходного равенства, получаем

.

Дифференцируя последнее равенство, имеем

.

Умножая обе части равенства на y и заменяя затемy черезuv, окончательно получаем

.

Пример 6. Найтиy/, если.

Решение. Здесь основание и показатель степени зависят отx. Логарифмируя, получим

(так как).

Продифференцируем обе части последнего равенства по x. Так какyявляется функцией отx, тоlny есть сложная функцияxи. Следовательно,

или .

Умножив последнее равенство на y, получим

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]