5. Пределы

5.1 Краткие сведения из теории

Основное определение предела функции:

Число А называется пределом функции пристремящимся к, если для любого малого0 существует такое малое δ0, что неравенство  наступает, как только наступает  .

Обозначается: .

Очень удобным для понимания этого определения является определение предела функции «на языке окрестностей»: точка А называется пределом функции у= в точке a ( т.е. ), если по любойε-окрестности ()А найдется δ-окрестность ()такая, что для любогох, принадлежащего δ-окрестности ()(), соответствующее значение функцииу= попадает в ε-окрестность ()А.

Оба эти равноценные определения иллюстрируются на рис. 4.1

y у= f(x)

А+ε

А

А-ε

а- а а+ x

Рис. 4.1

Эти определения охватывают все возможные ситуации, когда А и конечны, равны 0 или бесконечны (одно их них или оба). Для вариантовА=∞ и =∞ соответствующие неравенства выглядят так:>М; >N, где М>0, N>0 – сколь угодно большие. На рис. 4.2 приводится геометрическая «трактовка» остальных восьми определений пределов функции без самих определений.

yy

M

ε

- ε

y y

у= f(x)

ε у= f(x) A+ ε

A

- δ δ x A- ε

- ε

- δ 0 δ х

y

y

M

у= f(x)

у= f(x) ε

x

- δ δ x -ε N

y y

A+ε

A M у= f(x)

A-ε y=f(x)

N х N x

Рис.4.2