5. Удельная энергия сечения и ее график. Критическая и нормальная глубины, критический уклон, их определение.

Будем рассматривать случаи неравномерного движения в призматических руслах, например, трапецеидального или прямоугольного сечений. Считаем уклон дна I₀ русла, а также его размеры и шероховатость стенок и дна известными.

Обратим внимание на следующее обстоятельство – один и тот же расход Q может быть пропущен через такое русло при различном его наполнении, т. е. при разных глубинах в каждом сечении. При больших глубинах вода будет двигаться с меньшей скоростью, при малых глубинах – с большей. Однако равномерное движение заданного расхода возможно только при одной глубине, определяемой формулой ,

так как значению расходной характеристики (модулю расхода) соответствует определенное значение глубины потока (см. рис. 9.5).

Глубина равномерного движения потока жидкости h₀ называется нормальной глубиной для данного расхода. Отвечающее нормальной глубине значение расходной характеристики K₀ будем называть нормальной расходной характеристикой. В заданном русле при всех глубинах, отличных от нормальной, заданный расход будет проходить при неравномерном режиме движения. Каждому расходу в определенном русле соответствует свое значение нормальной глубины. Зная форму и размеры русла и расход жидкости, нормальную глубину можно определить графически. Для этого следует построить график зависимости : задаваясь некоторыми значениями глубиныh, можно вычислить соответствующие значения расходной характеристики K и по полученным точкам построить график (рис. 10.5).

Затем на оси K следует отложить величину нормальной расходной характеристики , и на осиh определить соответствующее значение нормальной глубины h₀.

Рассмотрим некоторое сечение потока (рис. 10.6). Удельную энергию протекающей жидкости в соответствии с уравнением Бернулли можно отсчитывать относительно произвольной плоскости сравнения, например плоскости A–A. В зависимости от расположения плоскости сравнения значения удельной энергии будут разными. Назовем удельной энергией сечения удельную энергию, рассчитанную относительно плоскости сравнения, проведенной через низшую точку сечения – плоскость O–O

на рис. 10.6.

Обозначив удельную энергию сечения через Э, запишем трехчлен Бернулли: .

Нетрудно убедиться, что в открытых руслах для любой точки в потоке ,

(10.1)

т. е. величина удельной потенциальной энергии равна глубине воды в сечении.

Тогда

Таким образом, удельная энергия сечения складывается из удельной потенциальной энергии h и удельной кинетической энергии . С учетом выражения средней скорости движения через расход

.

(10.2)

Из уравнения (10.2) видно, что даже при постоянном расходе Q удельная энергия сечения при неравномерном движении меняется с изменением глубины потока h и соответственно площади живого сечения ω. Характер зависимости, определяемый уравнением (10.1), приведен на рис. 10.7. На графике изменение удельной потенциальной энергии h изображено пунктирной прямой, проходящей под углом 45º к осям координат. При удельная энергия сеченияЭ также стремится к бесконечности. Изменение кинетической энергии показано пунктирной гиперболой. При увеличении глубины возрастает площадь живого сечения потока, скорость, а с ней и кинетическая энергия уменьшаются. При площадь живого сечения стремится к нулю (), скорость и кинетическая энергия возрастают. Суммарная кривая, отображающая изменение полной удельной энергии сечения состоит из двух ветвей. Вдоль верхней ветви энергияЭ возрастает с увеличением глубины h, это увеличение происходит за счет увеличения потенциальной энергии.

Рис. 10.7

Вдоль нижней ветви энергия Э возрастает с уменьшением глубины за счет увеличения кинетической энергии. Очевидно, что функция Э имеет минимум в точке соединения двух своих ветвей. Глубина, при которой удельная энергия сечения достигает минимального значения Э_min, называется критической глубиной h_кр. Для определения критической глубины можно воспользоваться условием минимума удельной энергии сечения Э – функции, определяемой формулой (10.2). Возьмем производную этой функции по h: .

Приращение площади живого сечения при изменении глубины может быть представлено (рис. 10.6) как , гдеB – ширина живого сечения по верху. Тогда .

.

(10.3)

При глубине, равной критической , функцияЭ имеет минимум, значит, в этой точке производная должна быть равна нулю, тогда

Здесь и– площадь живого сечения и ширина его по верху при критической глубинеh_кр.

Формула (10.3) позволяет определить критическую глубину для русел любой формы. Поскольку критическая глубина входит в формулу неявным образом, ее находят способом подбора. Критическую глубину можно определить и графически, построив по нескольким точкам график функции . Далее, отложив на оси абсцисс величину, получим на оси ординат искомое значениеh_кр (рис. 10.8).

Для некоторых форм поперечных сечений русел критическую глубину можно определить аналитически. Например, для русел прямоугольного сечения ее можно вывести из формулы (10.3) с учетом того, что ,. Тогда.

Рассуждая аналогично, для симметричных треугольных русел получим выражение , гдеm – коэффициент откоса русла.

Для русел параболического сечения ,, гдеp – параметр параболы.

Отсюда из формулы (10.3) находим . Для русел трапецеидальной формы составлены таблицы и графики для определения критических глубин в зависимости от параметров сечений.

Из выражений, определяющих величину критической глубины, можно видеть, что она зависит от формы и размеров русла и от расхода, но не зависит от уклона и шероховатости стенок русла. В то же время при равномерном движении нормальная глубина зависит как от расхода, формы и размеров русла, так и от его уклона и шероховатости. При изменении уклона критическая глубина не меняется, а нормальная – меняется. В зависимости от уклона нормальная глубина может быть больше или меньше критической, а при некотором уклоне нормальная глубина может стать равной критической. Уклон дна, при котором нормальная глубина становится равной критической, т. е. , называетсякритическим уклоном. При критическом уклоне расход определится по формуле для равномерного движения

Подставив это выражение в формулу (10.3) и решив его относительно , получим.

При уклоне дна меньше критического, , нормальная глубина больше критической –. Такие уклоны называютпологими. При уклоне дна больше критического, , нормальная глубина меньше критической –. Такие уклоны называюткрутыми.

В зависимости от соотношения действительной и критической глубин потока различают три состояния потока.

Если действительная глубина больше критической, состояние потока называют спокойным. Основным видом энергии такого потока является потенциальная энергия.

В тех сечениях, где глубина потока равна критической, состояние потока называют критическим. При глубине меньше критической поток называют бурным. Энергия потока сосредоточена главным образом в кинетической энергии

.6 ???. Типы задач при расчете неравномерного движения в призматических руслах в зависимости от соотношения нормальной и критической глубин.

В зависимости от соотношения глубин потоков различаются три их состояния (рис. 1.3):

Рис. 1.3. Состояние потока при неравномерном движении

1) бурное состояние потока, при котором глубина меньше критической (h < h_кр);

2) спокойное состояние потока, при котором глубина больше критической (h > h_кр);

3) критическое состояние потока, при котором глубина равна критической (h = h_кр).

Уклон дна, при котором нормальная глубина потока равна критической, называется критическим уклоном и определяется по формуле

(1.17)

Если фактический уклон дна водотока i < i_Kp, тогда h₀ > h_кр, и поток, движущийся равномерно, находится в спокойном состоянии. Если же i > i_кр, h₀< h_кр, поток находится в бурном состоянии.

При неравномерном движении независимо от величины уклона поток может находиться как в спокойном (если h > h_кр), так и в бурном состоянии (если h < h_кр)

При переходе потока из спокойного состояния в бурное происходит явление гидравлического водопада, а при переходе из бурного состояния в спокойное - явление гидравлического прыжка.

Один и тот же расход Q в зависимости от уклона и шероховатости может протекать в данном поперечном сечении русла с различной скоростью и, следовательно, с различной глубиной.

Основные гидравлические понятия и формулы приведены в приложениях 1-3, допускаемые скорости и основные гидравлические коэффициенты - в приложениях 4-7.