0

Федеральное агентство морского и речного транспорта

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ»

————————————————————————————————

М.Ю. Ястребов

МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ II.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Учебное пособие

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

2005

УДК

ББК

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент

Кузнецов В.О.

Ястребов М.Ю. Математика. Теория вероятностей. Часть II. Случайные величины: Учебное пособие. — СПб: СПГУВК, 2005 — 66 С.

Учебное пособие предназначено для студентов второго курса экономических и технических специальностей. Оно соответствует рабочей программе дисциплины «Математика» и может быть использовано как при подготовке к экзамену, так и для текущих учебных занятий.

УДК

ББК

© Санкт-Петербургский государственный

Университет водных коммуникаций, 2005

Глава 1. Дискретные случайные Величины

1.1. Понятие случайной величины

Определение. Случайной величиной называется числовая величина, удовлетворяющая двум условиям:

1) в результате испытания она принимает неизвестные наперед значения;

2) принятие ею значения, лежащего в каком-либо наперед заданном промежутке, является случайным событием, имеющим определенную вероятность.

Замечание. Второе условие означает, что в теории вероятностей рассматриваются в качестве специальных объектов — случайных величин — не любые величины с неизвестными наперед значениями, а только такие, которые:

— во-первых, связаны с многократно воспроизводимыми (в неизменных контролируемых условиях) испытаниями;

— во-вторых, принимают значения из любого наперед заданного диапазона с относительной частотой, которая проявляет при большом числе испытаний свойство устойчивости [13, п.2.4].

Будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами: и т. п.

1.2. Функция распределения случайной величины

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция, заданная при каждомформулой:

.

Таким образом, выражает вероятность случайного события, которое заключается в том, что в результате испытания случайная величинапримет значение, меньшее аргумента.

Свойства функции распределения.

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :.

Действительно, есть вероятность некоторого случайного события, а вероятность всегда лежит в указанных пределах [13, п.3.2]. ▄

2. .

Доказательство. Введем случайные события:

, , ,

так что

.

Тогда , и правая часть есть сумма несовместных событий (рис. 1). Отсюда:

, и . ▄

3. Функция распределения является неубывающей:

при .

Доказательство. В предыдущих обозначениях событие влечет за

собой событие :. Следовательно, по свойству вероятности [13, п.3.2], выполняется неравенство, то есть. ▄

Рис.1.

4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то:

при ;

при .

Доказательство. При событиеявляется невозможным; поэтому. Присобытиеявляется достоверным; поэтому

. ▄

Укажем без доказательства следующие свойства:

5. Поведение на бесконечности:

, или .

6. Функция распределения непрерывна слева, то есть для каждого левосторонний предел функции в точкеравен значению функции в этой точке:

, или в другой записи: .