1.8. Свойства дисперсии

1. Для дисперсии справедлива формула:

. (7)

Доказательство. По свойствам математического ожидания

.

Во втором слагаемом постоянный множитель вынесем за знак математического ожидания; в третьем слагаемом математическое ожидание константыравно самой этой константе. В результате получаем:

. ▄

2. .

Действительно, формулы (5) и (6) приводят к суммам неотрицательных слагаемых. ▄

3. .

Доказательство. Применим формулу (7):

. ▄

4. Если случайная величина является постоянной («неслучайной») величиной:, то есть имеет закон распределения

то .

Доказательство. По свойству математического ожидания . Поэтому в формуле (7) для дисперсии

. ▄

5. Обратно, если , то случайная величинаявляется постоянной:.

Доказательство. Пусть, — дискретная случайная величина, и . Если бы она с ненулевыми вероятностями принимала по крайней мере два разных значения, то есть имела закон распределения, то

,

поскольку, по крайней мере, одно слагаемое строго больше нуля. ▄

6. Теорема сложения для дисперсии. Если случайные величины инезависимы, то .

Доказательство. По теореме умножения для математических ожиданий . Применим кформулу (7):

. ▄

Замечание. Аналогичное утверждение имеет место и для суммы/разности нескольких независимых случайных величин. Например,

.

Лемма (о независимости константы). Если случайная величина является постоянной:, то есть с вероятностьюпринимает значение, то для всякой случайной величиныимеет место независимостьи.

Доказательство. Пусть ипроизвольные промежутки. Рассмотрим два возможных случая.

1. . Тогда событиеявляется достоверным, и. Далее,

,

так что условие независимости выполнено.

2. . Тогда событиеявляется невозможным, и. Далее,

. ▄

Следствие. Если случайная величина является постоянной:, то для всякой случайной величиныимеет место равенство:.

Доказательство. Поскольку случайные величины и независимы, то

. ▄

7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического.

Теорема. Если случайные величины независимы и имеют одинаковое математическое ожидание, равное, и одинаковую дисперсию, равную, то для их среднего арифметическогосправедливы формулы:

. (8)

Доказательство. Прежде всего, среднее арифметическое имеет такое же математическое ожидание, как и:

.

Далее, используя уже доказанные свойства дисперсии, получаем:

. ▄

Замечание. Из формулы (8) следует, что дисперсия среднего арифметического в раз меньше исходной дисперсии отдельного слагаемого. Иными словами,среднее арифметическое имеет меньшее рассеивание вокруг математического ожидания . Это связано с тем, что в среднем арифметическом при суммировании отклонения разных знаков в значительной степени погашают друг друга.

Последнее находит применение в практике измерений. Так, например, в навигации принято производить измерения по приборам трижды и в качестве результата брать среднее арифметическое полученных значений.