Вероятностный смысл плотности

Пусть двумерная случайная величина непрерывна и имеет непрерывную плотность. Обозначим черезвероятность попадания случайной точкив прямоугольникс площадью(рис. 15).

EMBED Word.Picture.8

Рис. 15.

По формулам (34) и (35):

(применим свойство аддитивности к внешнему интегралу)

(применим свойство аддитивности к внутреннему интегралу)

.

Итак,

. (36)

Вывод: вероятность попадания непрерывно распределенной случайной точки в прямоугольник равна двойному интегралу от плотности по этому прямоугольнику.

Следствие: Применяя к двойному интегралу в (36) теорему о среднем, получаем для вероятности попадания в прямоугольник ABCD со сторонами:

, (37)

где — некоторая точка прямоугольника. Отсюда

. Если теперь , то точканеограниченно приближается к точке, так что

. (38)

Итак, плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины при малых приближенно равна отношению вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника.

4.4. Вероятность попадания случайной точки в заданную область

Теорема. Пусть двумерная случайная величина непрерывна с плотностью,— произвольная область плоскости. Тогда

. (39)

Поясним теорему. Разобьем область вертикальными и горизонтальными прямыми на непересекающиеся частичные области(почти все они являются прямоугольниками).

По формуле (37) для этих прямоугольников:

,

откуда, суммируя по всем прямоугольникам:

.

В левой части последнего равенства — сумма вероятностей попарно несовместных событий. По аксиоме сложения, примененной «в обратном направлении», она равна вероятности суммы этих событий; эта сумма событий означает попадание в объединение частичных областей:

.

Если ранг разбиения стремится к нулю, то объединение частичных прямоугольных областей стремится покрыть всю область , а интегральная сумма в правой части стремится к соответствующему двойному интегралу. В пределе получаем:

. ▄

4.5. Свойства плотности непрерывной двумерной случайной величины

1.

Доказательство. Беря в формуле (39) в качестве области всю плоскость, получаем:

. ▄

2. Составляющие инепрерывной случайной величинытакже являются непрерывными случайными величинами, и для их плотностей справедливы формулы:

, .

Доказательство. Проведем доказательство для составляющей . По свойству 4 функции распределения (п. 4.1) имеем:

,

где , так что составляющаянепрерывна, и ее плотностью является функция. ▄

4.6. Условные законы распределения составляющих

I. Случай дискретной двумерной случайной величины.

Пусть для дискретной двумерной случайной величины законы распределения составляющихиимеют вид:и. Обозначим, как и выше, черезвероятность:

.

Зафиксируем событие . Если составляющие не предполагаются независимыми, то тогда зависимы события и , и можно говорить об условной вероятности:

. (40)

Определение. Условным законом распределения составляющей при называется таблица

:	…		…
	…		…

Аналогично для фиксированного события условным законом распределения составляющей при называется таблица

	…		…
	…		…

Замечание. Если составляющие инезависимы, то по теореме умножения:

,

и условные законы распределения составляющих совпадают с безусловными.