3. Вывод дифференциального уравнения неравномерного движения в виде

Важнейшей задачей расчета неравномерного движения является построение кривых свободной поверхности потоков. Для решения этой задачи необходимо установить зависимость глубины потока от расстояния вдоль оси потока.

Рассмотрим участок потока при неравномерном движении (рис. 10.10). Будем полагать, что изменение сечения русла по длине происходит постепенно, так что соблюдаются условия плавной изменяемости движения. Уклон дна I₀ принимаем достаточно малым для того, чтобы живые сечения считать вертикальными, измеряя глубину h по вертикали. Ось длины l направим вдоль линии дна русла.

Рис. 10.10

Запишем уравнение Бернулли для двух вертикальных сечений потока 1–1 и 2–2, расположенных на бесконечно малом расстоянии dl друг от друга. Отметка дна относительно плоскости сравнения О–О в первом сечении z, глубина h, средняя скорость , а во втором сечении – соответственноz + dz, h + dh, . Приращения могут быть и положительными, и отрицательными. Тогда уравнение Бернулли для точек в сечениях, расположенных на поверхности потока, запишется так:

,

где – потери энергии по длине между сечениями.

Разделив это уравнение на расстояние между сечениями dl и приведя подобные члены, получим дифференциальную форму уравнения Бернулли: .

Заметим, что – это уклон дна русла. Знак «минус» возникает потому, что уклон принимается положительным в сторону уменьшения отметок дна. Кроме того,– это гидравлический уклон или уклон трения. Из уравнения (10.1) видно, что.

Объединяя эти рассуждения, получим

.

(10.4)

Из этого уравнения следует, что приращение удельной энергии сечения по длине потока равно разности уклона дна и уклона трения.

Уравнение (10.4) называется основным дифференциальным уравнением установившегося неравномерного движения в открытом русле. Оно справедливо для общего случая движения потока в русле произвольного сечения.

4. Вывод дифференциального уравнения неравномерного движения для призматического русла из выражения (10.4)

При определении уклона трения будем допускать, что потери напора при неравномерном плавноизменяющемся движении выражаются теми же формулами, что и при равномерном движении воды. То есть для определения уклона трения будем использовать формулу Шези , где– модуль расхода.

Для равномерного движения справедлива зависимость , гдеK₀ – нормальный модуль расхода.

Тогда можем записать ,

и правая часть уравнения (10.4) примет вид .

Преобразуем левую часть уравнения (10.4). Умножим и разделим ее на dh: .

Удельная энергия сечения является функцией двух переменных: h и l. Длина l, в свою очередь, также зависит от h.

Поэтому .

Отсюда

.

(10.5)

В соответствии с уравнением (10.2) .

Тогда

.

(10.6)

Здесь использовано соотношение , гдеB – ширина канала по верху. С другой стороны: .

Используем следующие известные соотношения: .

Тогда

Подставляя эти выражения в формулу (10.5), получим левую часть уравнения (10.4) в виде

.

Объединяем левую и правую части уравнения:

.

Выразим из этого соотношения величину изменения глубины потока вдоль течения – .

(10.7)

Уравнение (10.7) – это дифференциальное уравнение для определения изменения глубины потока при плавноменяющемся движении в руслах произвольного сечения. Для цилиндрических и призматических русел, т. е. русел, у которых площадь сечения вдоль потока остается постоянной , из уравнения (10.7) получим

.

(10.8)