Решение

Задаемся положительными направлениями токов в ветвях схемы. Заземляем узел c, и приравниваем его потенциал нулю. Определяем проводимости ветвей схемы:

g₁ = 1/(R₁ + R_i1) = 1/(4 + 1) = 0,2 См; g₂ = 1/R₂ =1/16 = 0,0625 См;

g₃ = 1/(R₃ + R_i3) = 1/(9 + 1) = 0,1 См; g₄ = 1/R₄ = 1/8 = 0,125;

g₅ = 1/R₅= 1/3 = 0,3333; g₆ = 1/R₆= 1/6 =0,1667.

Определяем собственные и смежные проводимости узлов:

g_aa = g₁ + g₂ + g₃ = 0,2 + 0,0625 + 0,1 = 0,3625 См;

g_bb = g₁ + g₄ + g₆ = 0,2 + 0,125 + 0,1667 = 0,4917 См;

g_dd = g₃ + g₅ + g₆ = 0,1 + 0,3333 + 0,1667 = 0,6 См;

g_ab = g_ba = – g₁ = – 0,2 См; g_ad = g_da = – g₃ = – 0,1 См;

g_bd = g_db = – g₆ = – 0,1667 См.

Составляем систему уравнений метода узловых потенциалов:

Подставляем в нее численные значения:

Выполним решение этой линейной алгебраической системы уравнений относительно потенциалов узлов с помощью определителей, причем в отличие от примера 1 рассчитаем дополнительные определители Δ_a, Δ_b, Δ_dнепосредственно (без вычисления алгебраических дополнений):

С помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС определяем токи ветвей:

Вычисляем напряжения на зажимах источников:

Построим потенциальную диаграмму (рис. 29) для контура cbadc.

Рис. 29. Потенциальная диаграмма для контура cbadc

Начнем построение из узла c, потенциал которого равен нулю. Потенциалы узловb,a,d найдены ранее в процессе расчета. Потенциалы промежуточных точек 1 и 2 равны:

Как видим, при переходе через источник в направлении увеличения ЭДС потенциал возрастает, а при переходе в обратном направлении – убывает.

На потенциальной диаграмме по оси абсцисс откладываем сопротивления соответствующих участков, по оси ординат – потенциалы узлов. Узел cна потенциальной диаграмме расположится в начале координат. Из начала координат по оси абсцисс откладываем в масштабе сопротивлениеR₄ = 8 Ом, а по оси ординат – потенциал φ_b = –12 В. Из концов соответствующих точек восстанавливаем перпендикуляры к осям, и на их пересечении получаем точку b.Точкиc иb на потенциальной диаграмме соединяем отрезком прямой. Далее по оси абсцисс откладываем внутреннее сопротивление первого источника R_i1 = 1 Ом, добавляя его к сопротивлению четвертой ветви, а по оси ординат откладываем из начала координат потенциал φ₁ = 24 В. Получаем точку 1. Соединяем ее отрезком прямой с точкой b. Затем по оси абсцисс откладываем сопротивление R₁ = 4 Ом, а по оси ординат – потенциал φ_a = 8 Ом. Получаем точку a. И т.д. до узла c.

Сравним потенциальную диаграмму рис. 29 для замкнутого контура схемы рис. 28 с потенциальной диаграммой рис. 6 для участка электрической цепи, изображенного на рис. 5. Как видим, потенциальная диаграмма рис. 29 замкнутая, а рис. 6 не замкнутая. Кроме того, наклоны отрезков прямых на участках с пассивными элементами на рис. 6 одинаковы, поскольку на участке электрической цепи через все эти элементы течет один и тот же ток. На рис. 29 наклон отрезков прямых на участках с пассивными элементами различен, поскольку эти элементы принадлежат разным ветвям и через них текут разные токи. В схеме рис. 5 источники идеальные. На рис. 6 им соответствуют вертикальные отрезки прямых. В схеме рис. 28 источники реальные. На рис. 29 им соответствуют отрезки прямых b1 и 2d, наклон которых обусловлен наличием внутренних сопротивлений источников.