Решение

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы и обозначим эти направления стрелками с символом тока и номером ветви.

Для выбора независимых контуров составим ненаправленный граф рассматриваемой цепи (рис. 26). Дерево графа образуем из второй, третьей и четвертой ветвей. Добавляя к дереву поочередно пятую, шестую и первую ветви, получим в качестве независимых контуров левый и правый верхние контуры и нижний контур исходной схемы.

Рис. 25. К примеру расчета методом контурных токов

Рис. 26. Ненаправленный граф электрической цепи

Зададимся контурными токами I_a, I_b, I_c, и обозначим их на схеме стрелками (см. рис. 25). Направления контурных токов примем совпадающими с направлениями токов соответственно в пятой, шестой и первой ветвях. На основе второго закона Кирхгофа составляем систему линейных алгебраических уравнений для независимых контуров относительно контурных токов:

После подстановки в эту систему численных значений имеем:

И окончательно:

Выполняя решение этой линейной алгебраической системы уравнений относительно контурных токов с помощью определителей с использованием формул (10), (11), получаем:

Токи первой, пятой и шестой ветвей совпадают с контурными токами:

I₁ = I_a = – 3 А; I₅ = I_b = 0,5 А; I₆= I_c = 1 А.

Токи второй, третьей и четвертой ветвей определяются путем алгебраического суммирования контурных токов:

I₂ = I_a + I_b = – 2,5 А; I₃ = – I_a + I_c = 4 А; I₄ = I_b + I_c = 1,5 А.

8. Метод узловых потенциалов

В методе узловых потенциалов сначала определяются потенциалы всех узлов схемы по отношению к одному из узлов, потенциал которого условно принимается равным нулю. Далее с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС рассчитываются токи в ветвях схемы.

Покажем возможность такого подхода. Рассмотрим схему рис. 27.

Схема содержит семь ветвей и четыре узла. Параметры схемы известны. Требуется определить токи ветвей.

Заземлим один из узлов схемы, например, узел cи примем его потенциал равным нулю (φ_c = 0). Для определения потенциалов оставшихся (n– 1) узлов необходимо составить систему из (n– 1) уравнения относительно неизвестных потенциалов.

Рис. 27. К методу узловых потенциалов

Для вывода этой системы зададимся положительными направлениями токов в ветвях и для узлов a,b,d (рис. 27) составим уравнения по первому закону Кирхгофа:

Полученная система из трех уравнений содержит семь неизвестных токов и решения не имеет. Необходимо свести ее к системе из трех уравнений с тремя неизвестными. В качестве таких неизвестных целесообразно представить потенциалы узлов a,b,d. Выразим токи ветвей через потенциалы узлов, ЭДС источников и проводимости ветвей:

где потенциалы φ_a, φ_b, φ_dпока неизвестны, потенциалφ_c = 0, а проводимости ветвей есть величины обратные сопротивлениям ветвей

g₁ = 1/R₁, g₂ = 1/R₂, g₃ = 1/R₃, g₄ = 1/R₄, g₅ = 1/R₅, g₆ = 1/R₆, g₇ = 1/R₇.

Подставив выражения для токов ветвей в исходную систему уравнений, сгруппировав в левой части члены, содержащие неизвестные потенциалы φ_a, φ_b, φ_d, и перенеся в правую часть члены, не содержащие неизвестных величин, получим следующую систему уравнений

Эту систему уравнений можно записать иначе в общем виде, справедливом для любой схемы с четырьмя узлами

где g_aa,g_bb,g_dd – собственные проводимости узловa,b,d (суммы проводимостей ветвей, входящих в каждый из этих узлов); g_ab=g_ba,g_ad=g_da, g_bd=g_db – смежные проводимости узловa,b,d (суммы проводимостей ветвей, соединяющих пары узлов, взятые со знаком минус).

В правых частях уравнений рассматриваемой системы берутся алгебраические суммы произведений gEдля ветвей, входящих соответственно в узлыa,b,d. Причем члены этих сумм берутся со знаком плюс, если стрелка источника ЭДС направлена к соответствующему узлу, и со знаком минус, если стрелка направлена от узла.

Из решения рассматриваемой системы уравнений определяются потенциалы узлов a,b,d, а по ним с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС – токи ветвей.

Рассматриваемую систему уравнений можно представить в матричной форме, обобщив ее для случая схемы с n=y + 1 узлами

где g^(y) – квадратная матрица узловых проводимостей;

φ^(y) – матрица-столбец узловых потенциалов;

(ΣgE)^(y) – матрица-столбец алгебраических сумм произведений gE.

Общее решение системы линейных алгебраических уравнений порядка yотносительно любого из узловых потенциалов, например, потенциалаl-го узла можно записать в виде следующего выражения:

гдеΔ – определительматрицы узловых проводимостей;Δ_l – дополнительный определитель, который составляется изопределителя Δ за счет замены в нем столбца l столбцом свободных членов; Δ_pl – алгебраическое дополнение, получаемое из определителя Δ путем исключения столбца l и строки p и умножения получающегося минора на (–1)^р+l.

Методика расчета по методу узловых потенциалов.

1. Задаемся положительными направлениями токов в ветвях схемы.

2. Заземляем один из узлов схемы и приравниваем его потенциал нулю.

3. Составляем систему уравнений для определения потенциалов оставшихся узлов. Число уравнений в системе должно быть равно числу узлов минус единица. Каждое уравнение системы составляется для своего узла. В левой части уравнения записывается алгебраическая сумма произведения собственной проводимости узла на потенциал этого узла и произведений смежных проводимостей на потенциалы узлов, связанных ветвями с рассматриваемым узлом. (Собственные проводимости узлов – положительные величины, смежные проводимости - отрицательные величины). В правой части каждого уравнения системы записывается алгебраическая сумма произведений вида gE для ветвей, входящих в рассматриваемый узел и содержащих источники ЭДС. При этом соответствующие gE берутся с плюсом, если источник ЭДС направлен к рассматриваемому узлу, и с минусом, если источник ЭДС направлен от узла.

4. Решается система уравнений, и определяются узловые потенциалы.

5. С помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС определяются токи ветвей.

Примечания.1) Собственные и смежные проводимости узлов определяются на основе проводимостей ветвей (не элементов, а ветвей!). Поэтому если ветвь содержит несколько включенных последовательно сопротивлений (в том числе и внутренних сопротивлений источников), то вначале нужно найти результирующее сопротивление ветви как сумму всех последовательно включенных сопротивлений ветви. А затем определить проводимость ветви как величину обратную результирующему сопротивлению ветви. Например, если в первой ветви схемы рис. 27 источник ЭДС не идеальный и характеризуется некоторым внутренним сопротивлением источникаR_i1, то результирующее сопротивление первой ветви равноR₁ + R_i1,и проводимость первой ветви находится какg₁ = 1/( R₁ + R_i1).

2) При наличии в схеме идеальных источников тока правые части уравнений системы в алгебраических суммах ΣgE будут содержать также токи идеальных источников токаI_k, если ветвь с источником тока входит в рассматриваемый узел. Выбор знака для источника тока такой же, как и для источника ЭДС. Проводимости ветвей, содержащих идеальные источники тока, равны нулю, т.к. внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности.

Метод узловых потенциалов эффективен, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров. В противном случае более эффективен метод контурных токов.

Пример 2. Рассчитать токи в ветвях схемы рис. 28 методом узловых потенциалов, вычислить напряжения на зажимах источников, и для контура, содержащего два источника, построить потенциальную диаграмму. Схема характеризуется следующими параметрами: E₁ = 40 В, E₃ = 30 В, R₁ = 4 Ом, R₂ = 16 Ом, R₃ = 9 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 3 Ом, R₆ = 6 Ом, R_i1 = 1 Ом, R_i3 = 1 Ом.

Рис. 28. К примеру расчета методом узловых потенциалов